張冬蘭

數(shù)學(xué)操作是以“問題探究”為導(dǎo)向，以“數(shù)學(xué)思考”為內(nèi)驅(qū)的一種動作認(rèn)知學(xué)習(xí)方式，是落實“主體性”理念的重要方式。

一、操作學(xué)具與數(shù)學(xué)特性一致

操作學(xué)具是數(shù)學(xué)操作學(xué)習(xí)活動的媒介，不是科技制作，亦非兒童玩具，因此不必過分追求技術(shù)含量的高低與外表的美觀與否。只要能直觀外化內(nèi)在數(shù)學(xué)知識特性，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和分析問題的，就是好學(xué)具。基于有效的才是最好的。任何一個數(shù)學(xué)概念，它的操作介質(zhì)是多樣的，教師要務(wù)實地審視、選擇學(xué)具，提高操作活動的有效性。

例如，教學(xué)人教版“三角形三邊關(guān)系”一課，不少教師采用“紙條”作為操作學(xué)具。筆者認(rèn)為該做法是欠妥的，原因有兩點：①紙條不具有線“細(xì)”的特征，當(dāng)演示特例“兩邊之和等于第三邊”時，用有寬度的紙條難以發(fā)現(xiàn)圍不成的現(xiàn)象。②紙條不具備刻度，學(xué)生看不到量，難以從量的大小上去分析問題。實際上對三角形三邊關(guān)系的研究，教師要引導(dǎo)學(xué)生透過直觀的“形”過渡到對“量”的分析與描述，揭開三角形三邊關(guān)系的本質(zhì)特性。據(jù)此，筆者利用有刻度的軟墊板作材料自制學(xué)具（如圖1所示）：分別制作紅、黑兩組線段，每組都由9cm、7cm長的兩條線段組成。教師啟發(fā)操作：①想一想：利用紅（或黑）線段圍三角形，可是都只有兩條，該怎么辦？②剪一剪：利用手中的兩組線段嘗試兩種剪法（一種是將長線段剪成2條線段，另一種是將短線段剪成2條線段）。③圍一圍：分別用紅、黑線段圍三角形，你發(fā)現(xiàn)了什么？

通過“剪”與“圍”，學(xué)生發(fā)現(xiàn)剪短線段的方法圍不成三角形，而剪長線段的方法能圍成三角形。兩種不同的結(jié)果激起學(xué)生的認(rèn)知沖突，使學(xué)生進(jìn)一步追尋原因。此時，教師引導(dǎo)學(xué)生將圍不成三角形的上面兩條線段往下壓一壓（如圖2所示），進(jìn)行觀察。學(xué)生會發(fā)現(xiàn)兩條線段接不起來，形不成三角形，是因為3cm+4cm=7cm，7cm<9cm，此時真相大白，學(xué)生知其然且知其所以然。自制的操作學(xué)具，符合數(shù)學(xué)知識特性，能引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。因此，這樣的操作學(xué)具是有效的。

二、操作過程與思維過程一致

兒童的智力活動是與他對周圍物體的作用密切聯(lián)系在一起的，也就是說，兒童的理解來自他們作用于物體的活動。兒童在操作過程中所獲得的感性經(jīng)驗是支撐數(shù)學(xué)理解、想象、推理等間接數(shù)學(xué)思維活動的橋梁。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)操作，不能將目標(biāo)僅定位于操作本身，只有當(dāng)操作的內(nèi)容、方法、順序等合乎數(shù)學(xué)原理，與數(shù)學(xué)思維一致時，學(xué)生才能實現(xiàn)正確的抽象與概括，形成數(shù)學(xué)概念與法則，操作才有效。

例如，進(jìn)行退位減法“62-46”的操作，是要在6個十和2個一的小棒中拿走4個十和6個一。由于學(xué)生平時看書、寫字習(xí)慣“從左往右”，導(dǎo)致學(xué)生往往先從6個十中拿走4個十剩2個十，接著又從十位上打開1個十為10個一，直接從10個一中拿走6個一，得出結(jié)果16。這樣的操作活動僅能算出62-46的結(jié)果，與計算法則“從個位算起，個位不夠向十位退一”的思維過程不一致。豎式計算時，學(xué)生頭腦中對豎式筆算運算順序的數(shù)學(xué)思考與操作活動所獲得的直接經(jīng)驗對接不上，使前面的操作活動成為游離于教學(xué)目標(biāo)的形式化活動。教師應(yīng)基于學(xué)生對數(shù)學(xué)思考建構(gòu)的高度，精心設(shè)計操作活動的順序?？梢龑?dǎo)學(xué)生邊思考邊操作：①思考，從個位減起，個位上只有2根小棒，要拿走6根，不夠怎么辦？②操作“退一”，個位不夠，從十位上拿1捆過來，打開與個位合并。③反思，“退一”后，個位上是幾減6？十位上是幾減4？為什么？操作始終與思考相結(jié)合，學(xué)生動手操作的過程就是數(shù)學(xué)思考的過程。

三、操作時機與難點突破一致

操作時機是指在一堂課中操作介入的時間。準(zhǔn)確地把握操作介入的時機，是有效操作的重要保證。然而，一些教師對操作的目標(biāo)達(dá)成與作用導(dǎo)向認(rèn)識不清，未能及時把握為突破“難點”而操作這個最佳時機，而是隨意操作，表面熱鬧卻功效甚微。

例如，上述退位減法“62-46”的教學(xué)中，多數(shù)教師在引出豎式后馬上組織學(xué)生操作：62減46等于幾？怎樣算呢？請用小棒擺一擺。結(jié)果生成了各種各樣的擺法?？梢钥闯?，此時的“擺”純屬一種操作活動，偏離以“擺”促思，以“擺”釋疑的根本意圖。事實上，本節(jié)課的“擺”更多的是為幫助學(xué)生思考并積累“退一”中“變與不變”的感性經(jīng)驗。基于突破難點的目標(biāo)，引出豎式后教師不應(yīng)急于組織學(xué)生“擺”，而應(yīng)先喚醒筆算經(jīng)驗，引導(dǎo)思考：筆算加減法，從個位算起，可這里個位上2減6，不夠減怎么辦？然后組織討論，統(tǒng)一觀點：向十位退一。此時學(xué)生躍躍欲試，處在“心求通而未得，口欲言而未達(dá)”的憤悱狀態(tài)，操作時機成熟。教師及時拋出3個問題，讓學(xué)生帶著問題去操作：①怎樣“退一”？②“退一”后什么變了？什么沒變？③“退一”后，被減數(shù)個位的數(shù)變成了幾？十位的數(shù)變成了幾？有“擺”的經(jīng)驗支撐，教師再把被減數(shù)的十位、個位生動地比作一個人身上的左、右口袋，把小棒從左邊的口袋拿到右邊的口袋，兩個口袋的小棒數(shù)變了，但總數(shù)不變。學(xué)生就能深刻地理解“退一”的內(nèi)因，感悟“變中不變”的數(shù)學(xué)思想。同時，操作將數(shù)與形、理與法對應(yīng)溝通起來，使被減數(shù)十位上“6”→“5”，個位上“2”→“12”的變化過程直觀化。本課的教學(xué)難點在操作中得以一一突破。

四、操作結(jié)構(gòu)與經(jīng)驗提煉一致

數(shù)學(xué)操作是揭曉知識特性的活動。任何知識都不是零碎的、彼此孤立的，而是按一定的邏輯關(guān)系組成的知識結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)知識的邏輯結(jié)構(gòu)就構(gòu)成了數(shù)學(xué)操作的邏輯結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作為一種認(rèn)知活動，是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用，進(jìn)而形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。只有將數(shù)學(xué)操作縱橫溝通、相互整合，形成合理的知識結(jié)構(gòu)時，才能跟學(xué)生已有經(jīng)驗發(fā)生同化、順應(yīng)，轉(zhuǎn)化成學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)經(jīng)驗的再提煉。

例如，人教版教材二年級下冊探究兩種情況的“平均分”方法，呈現(xiàn)了兩個例題。第9頁的例2是已知總數(shù)和份數(shù)，探求“平均分”的分法；第10頁的例3是已知總數(shù)和每份數(shù)，探求“平均分”的分法。兩種情況“平均分”的分法有不同之處，也有相通之處。教師如果孤立地教學(xué)這兩個例題，孤立地開展操作活動，留給學(xué)生的將是零碎的、繁雜的知識點。認(rèn)知建構(gòu)理論認(rèn)為，學(xué)生能否有效地建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在很大程度上取決于是否具有相對完整的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)?；诮?gòu)原理，在學(xué)生分別操作兩種情況的“平均分”方法后，教師應(yīng)將兩種情況的“平均分”方法進(jìn)行橫向、縱向的溝通與整合，可引導(dǎo)思考：兩種情況“平均分”的方法有什么不同？有什么相通之處？哪種情況的“平均分”方法又快捷又方便？像例2這種情況的“平均分”方法有點麻煩，能否通過“想乘法”6×（ ）=18，先想出每份數(shù)再平均分呢？這樣，通過溝通、比較、轉(zhuǎn)化，把零散的知識點的操作整合成具有結(jié)構(gòu)性的操作，使學(xué)生獲得以“每份數(shù)”平均分是最優(yōu)化方法的認(rèn)知經(jīng)驗。

數(shù)學(xué)操作姓“數(shù)”，其內(nèi)涵豐富，只有當(dāng)它蘊含著數(shù)學(xué)知識特性和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)原理時，操作才有效。

（作者單位：福建省上杭縣城東小學(xué)）