☉浙江省柯橋中學(xué) 徐忠華

以函數(shù)圖像為載體的平面幾何問題探究

☉浙江省柯橋中學(xué) 徐忠華

如何提高學(xué)生的解題能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要課題之一.通過平時(shí)的練習(xí)測驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生解題時(shí)思路開闊，條理清晰，方法靈活；但也有相當(dāng)一部分同學(xué)分析問題和解決問題的能力較差.造成這種差別固然有多方面的因素，但作為數(shù)學(xué)教師卻不能不多從教學(xué)上去探究原因.愛因斯坦曾經(jīng)說過：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要.”數(shù)學(xué)的各種理論無一不是數(shù)學(xué)問題解決的結(jié)果.正如美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯所說：“數(shù)學(xué)存在的主要理由是解題.因此，數(shù)學(xué)真正的組成部分是問題和解，其中問題是數(shù)學(xué)的心臟.教師要善于發(fā)現(xiàn)并歸納問題的類型，并且引導(dǎo)大家有針對性地對于這些問題展開分析與探究.這樣才能夠幫助學(xué)生更好地意識到問題的癥結(jié)，并且找到好的處理方式.經(jīng)過有效的訓(xùn)練過程的不斷積累后，學(xué)生的解題能力自然會得到明顯的進(jìn)步與提升.

在知識交匯處命題是高考或模擬試題中的重要形式，其中代數(shù)與幾何的交匯又是常見題型，此類問題體現(xiàn)了數(shù)與形的有效結(jié)合，能夠考查學(xué)生對知識的掌握程度以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識靈活解答的能力.本文對一類以基本初等函數(shù)圖像為背景的平面幾何問題進(jìn)行探究.

例1如圖1所示，A是函數(shù)f（x）= 2x的圖像上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線平行于x軸，交函數(shù)g（x）=2x+2的圖像于點(diǎn)B，若函數(shù)f（x）=2x的圖像上存在點(diǎn)C使得△ABC為等邊三角形，則稱A為函數(shù)f（x）=2x上的好位置點(diǎn).函數(shù)f（x）=2x上的好位置點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）.

圖1

A.0B..1C..2D.大于2

本題以指數(shù)函數(shù)為背景，結(jié)合平面幾何中等邊三角形，以新定義的形式展現(xiàn)出來.形式新穎、內(nèi)涵豐富，能有效考查學(xué)生對所知識的綜合能力以及分析問題、解決問題的能力.

一、條件審視

解題是從條件審視開始，充分、準(zhǔn)確地利用條件是問題順利求解的關(guān)鍵.對于本題已知條件的處理，要審清如下幾個(gè)問題：

（1）題目條件中給了兩個(gè)函數(shù)，即f（x）=2x，g（x）=2x+2，這兩個(gè)函數(shù)之間有什么關(guān)系？

函數(shù)g（x）=2x+2可由函數(shù)f（x）=2x向左平移兩個(gè)單位得到，據(jù)此可判斷點(diǎn)A與B的橫坐標(biāo)之差為2，即|AB|=2.

（2）AB平行于x軸，可得出哪些有用信息？

由AB平行于x軸可知，A、B兩點(diǎn)的縱標(biāo)相等.

（3）若存在△ABC為等邊三角形，那么等邊三角形具有什么性質(zhì)？根據(jù)這些性質(zhì)可得出哪些結(jié)論？

聯(lián)想等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)，可知點(diǎn)C的橫坐標(biāo)與AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等；由xB＜xC＜xA知，yC＜yA；點(diǎn)C到AB的距離為，所以點(diǎn)C的縱坐標(biāo)可由點(diǎn)A或B的縱坐標(biāo)減求得.

二、問題解答

條件審清之后問題的解答就水到渠成了.

若函數(shù)f（x）=2x的圖像上存在點(diǎn)C，使得△ABC為等邊三角形，如圖2所示.設(shè)直線AB：y=c，因?yàn)锳是函數(shù)f（x）=2x的圖像上的動點(diǎn)，所以A（log2c，c）.

同理B（log2c-2，c）.

所以|AB|=log2c-log2c+2=2.

圖2

因?yàn)辄c(diǎn)C在函數(shù)f（x）=2x的圖像上，所以c的值唯一，故函數(shù)f（x）=2x上的好位置點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.評析：本題主要考查了指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及平面幾何性質(zhì)的應(yīng)用.

三、變式演練

1.變換問題的背景

例2如圖3，點(diǎn)A，B在函數(shù)y=log2x+2的圖像上，點(diǎn)C在函數(shù)y=log2x的圖像上，若△ABC為等邊三角形，且直線BC∥y軸，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，n），則m=（）.

圖3

圖4

本題從形式上看，將背景函數(shù)由指數(shù)函數(shù)變換為對數(shù)函數(shù)，問題的求解方法與例1如出一轍.

解析：如圖4所示，過點(diǎn)A作BC的垂線，交BC于點(diǎn)D.

由A（m，n），可得xC=xD=m+，yC=n-1，yB=n+1.

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)y=log2x+2，得

n=log2m+2.①

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y=log2x，得

n-1=log（2m+）.②

將式②代入式①，得log2m+2-1=log（2m+），整理得log2（m+）-log2m=1，即log2=1，所以=2，解得m=

評析：本題與例1如出一轍，只是將背景函數(shù)改為對數(shù)函數(shù)，解題的關(guān)鍵是把握平面幾何的幾何性質(zhì)以及準(zhǔn)確進(jìn)行指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算.

2.變換問題的目標(biāo)

例3如圖5所示，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1，1）.若函數(shù)y=ax（a＞0，且a≠1）及y=logbx（b＞0，且b≠1）的圖像與線段OA分別交于點(diǎn)M，N，且M，N恰好是線段OA的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則a，b滿足（）.

A.a＜b＜1B.b＜a＜1

C.b＞a＞1D.a＞b＞1

圖5

圖6

解法1：由圖像易知，0＜a＜1，0＜b＜1.

因?yàn)镸，N是線段OA的兩個(gè)三等分點(diǎn)且A（1，1），所

又因?yàn)辄c(diǎn)MN分別在函數(shù)y=ax及y=logbx的圖像上，

所以a＜b＜1.

解法2：由圖象易知0＜a＜1，0＜b＜1.

因?yàn)辄c(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（1，1），所以直線OA為y=x.

因?yàn)閥=ax過點(diǎn)M，所以其反函數(shù)y=logax亦經(jīng)過點(diǎn)M，且過點(diǎn)（1，0），其圖像如圖6所示，在函數(shù)y=logax及y=logbx中令y=1，得x=a，x=b，結(jié)合圖像易判斷a＜b＜1.

評析：本題考查了對數(shù)函數(shù)與指函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以及對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)關(guān)于直接y=x的對稱性.

3.變換問題的形式

例4已知點(diǎn)A在曲線P：y=x2（x＞0）上，⊙A過原點(diǎn)O，且與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為M.若線段OM，⊙A和曲線P上分別存在點(diǎn)B、點(diǎn)C和點(diǎn)D，使得四邊形ABCD（點(diǎn)A，B，C，D順時(shí)針排列）是正方形，則稱點(diǎn)A為曲線P的“完美點(diǎn)”.那么下列結(jié)論中正確的是（）.

A.曲線P上不存在“完美點(diǎn)”

B.曲線P上只存在一個(gè)“完美點(diǎn)”，其橫坐標(biāo)大于1

圖7

圖8

接下來考慮當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)越來越大時(shí)∠BAD的變化情況.

設(shè)A（m，m2），當(dāng)m＜1時(shí)∠AOy=，此時(shí)圓T與y軸相離或相切時(shí)，點(diǎn)A不是“完美點(diǎn)”，所以只需考慮m≥1，且當(dāng)m增大時(shí)，∠BAD越來越小且趨近于0.而當(dāng)m=1時(shí)，∠BAD＞，故曲線P上存在唯一一個(gè)“完美點(diǎn)”其橫坐標(biāo)大于1.

過點(diǎn)A作AH⊥y軸于點(diǎn)H.分別過點(diǎn)A，D作x，y軸的平行線交于點(diǎn)N.先考慮∠BAH，cos∠BAH=，于是m增大時(shí)，cos∠BAH減小且趨近于0，從而∠BAH增大，且趨近于

再考慮∠DAN，D（n，n2），則tan隨著m的增大，OA的長增大，AD=OA也增大，于是m+n增大，從而tan∠DAN增大，∠DAN增大且趨近于所以∠BAD=π-∠BAH-∠DAN隨著m的增大而減小，且趨近于0.

評析：本題以新定義為視角，綜合考查了二次函數(shù)及平面幾何中圓的性質(zhì).通過假設(shè)點(diǎn)A為“完美點(diǎn)”，設(shè)A（m，m2）結(jié)合圖像，通過討論m＜1及m≥1的情況，得出答案.

綜上，解答以函數(shù)圖像為背景的平面幾何綜合問題，充分把握平面幾何圖形的性質(zhì)、相關(guān)的運(yùn)算以及準(zhǔn)確分析判斷圖形之間的位置是問題順利求解的關(guān)鍵.