☉江蘇省昆山中學(xué) 金巧根

發(fā)揮課本習(xí)題一題多解大作用

☉江蘇省昆山中學(xué) 金巧根

教材是知識(shí)的本源，萬(wàn)變不離其宗.如何深入地挖掘教材，使教材為教學(xué)服務(wù)呢？我覺(jué)得應(yīng)該重視教材知識(shí)，重視教材上的題目，一題多解，題盡其責(zé)，把教材的作用展現(xiàn)得淋漓盡致！下面例舉教材幾例談?wù)勔活}多解的作用.

例1如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，且AC=2，AB=3，∠A= 60°，求AD的長(zhǎng).

解法一：①△ABC中，已知兩邊及夾角，余弦定理求出BC=；

圖1

評(píng)析：此方法按部就班，屬于典型的通性通法，值得提倡.

解法二：①如圖2，由D向AB，AC作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)；設(shè)AD=x，

圖2

②由等面積法知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

此題并沒(méi)有用到所學(xué)的正、余弦定理，其中的面積公式不學(xué)這章內(nèi)容也可以推導(dǎo)出來(lái)，巧妙地運(yùn)用了等面積法，使得本來(lái)計(jì)算量很大的題目簡(jiǎn)單化，體現(xiàn)了思維的開(kāi)拓性及知識(shí)的系統(tǒng)性，不被所學(xué)內(nèi)容禁錮，實(shí)屬妙法！

解法三：①如圖3，延長(zhǎng)AD，由B，C分別向AD及其延長(zhǎng)線作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)；

②AE=ABcos30°，AF=ACcos30°，EF=AE-AF；

圖3

④AD=AF+DF.

評(píng)析：此法屬于應(yīng)用平面幾何的知識(shí)，加上新知識(shí)——角平分線的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行處理.

解法四：①如圖4，作CE∥DA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；

圖4

③△ACE中已知兩邊及夾角，余弦定理求得第三邊CE；

評(píng)析：此法輔助線作得很好，構(gòu)造了相似三角形，只用了一次余弦定理，計(jì)算量大大減少！

評(píng)析：此法看似要用兩次正弦定理，但是只需列式，不需計(jì)算，第三步兩式相除后，運(yùn)用角平分線的性質(zhì)可知比值的大小，而不用去求這兩個(gè)值，也就是只有最后一步需要代入數(shù)值計(jì)算，而且此法是完全應(yīng)用本章所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決.

解法六（學(xué)生錯(cuò)解）：①△ABC中，已知兩邊及夾角，余弦定理求出BC=；

③在△ABD中，已知兩邊及一對(duì)角，用余弦定理列方程組，解出兩解

分析：由圖5可見(jiàn)已知兩邊及一對(duì)角有兩解，原題中是較小的一解；若由△ACD中用此方法解也會(huì)出現(xiàn)兩解，由圖看，應(yīng)取較大的一個(gè).所以此解法更正如下：

圖5

④在△ACD中，已知兩邊及一對(duì)角，用余弦定理列方程組，解出兩解：

評(píng)析：此法很容易出錯(cuò)，基礎(chǔ)訓(xùn)練上的一個(gè)選擇題的錯(cuò)誤選項(xiàng)就是應(yīng)用此法的錯(cuò)解得到的，加上上述更正后，雖然能做出正確答案，但是要分別在兩個(gè)小三角形中應(yīng)用余弦定理，計(jì)算量大，所以此法不宜使用！

例2如圖6，在任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn).求證

圖6

在教學(xué)向量加減法的時(shí)候，引導(dǎo)學(xué)生探索如下證法一：

此法讓學(xué)生欣賞在EF左右兩側(cè)的圖形中，向量和的勻稱美.

證法二：如圖7，過(guò)F點(diǎn)作MN與AD平行且相等，F(xiàn)為MN的中點(diǎn)，則四邊形AMFE和EFND為平行四邊形而△BMF≌△CNF，從而得出即

圖7

圖8

在此法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步引導(dǎo)，所要求證的結(jié)論符合運(yùn)用“三角形中線向量定理”特征要求.可以通過(guò)直接將平移得到“三角形中線向量定理”的基本圖形.這樣就得到如下證法：

證法四：如圖9，過(guò)點(diǎn)B作BM∥AE，過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，BM∩EM= M，則四邊形ABME為平行四邊形，連接MF并延長(zhǎng)加倍至N，連接CN，EN，得到△BMF≌△CNF，進(jìn)一步CN和DE平行且相等，故四邊形CNED為平行四邊形

圖9

圖9

圖10

又因?yàn)镕為BC的中點(diǎn)，所以MF為△BNC的中位線.

例3過(guò)拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的上方，求的值.

評(píng)析：此方法是教參給出的方法.

解法二：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則由題意知，

因?yàn)棣?8p2＞0，所以

評(píng)析：此方法是運(yùn)用了直線和拋物線的位置關(guān)系來(lái)解決.還可以解決下面的變式題：

過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作直線l，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的上方，若=3，求直線l的方程.（解答略）

解法三：由拋物線的定義，可推出焦半徑用直線的傾斜角θ表示的公式：

此方法是結(jié)論性的方法，可以解決高考題中的選擇、填空題.在教學(xué)中，作為教師要勤于思考，潛心研究，發(fā)揮好一題多解，多題歸一的教學(xué)作用，培養(yǎng)學(xué)生的思維發(fā)散性及主動(dòng)性，進(jìn)一步提升學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一題多解及解后反思屬于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思的一個(gè)重要方面.目前，學(xué)習(xí)過(guò)程中普遍存在的一種現(xiàn)象是“學(xué)數(shù)學(xué)=做題目”“完成作業(yè)=完成學(xué)習(xí)”，這使得學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走入一個(gè)怪圈.學(xué)會(huì)反思或許是破解這種困局的方法之一.每當(dāng)學(xué)習(xí)一個(gè)例題或完成一道習(xí)題的解答，就可以及時(shí)反思解答過(guò)程有沒(méi)有遺漏，還有沒(méi)有不同的方法，這道題與之前的哪個(gè)問(wèn)題有聯(lián)系，能否將這個(gè)問(wèn)題應(yīng)用到其他問(wèn)題，等等.筆者通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教材中的這道習(xí)題進(jìn)行研究，不僅增加了學(xué)生探究的機(jī)會(huì)，拓展了研究空間，更讓我們發(fā)現(xiàn)此題內(nèi)涵雋永，耐人尋味，進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)到教材編寫者的意圖，挖掘出教材習(xí)題的潛在價(jià)值.在解題時(shí)既能使學(xué)生獲得基本的知識(shí)和技能，也能進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生思維能力，“尋思求百通”，這才是解題“反思”的教育教學(xué)價(jià)值之根本所在.

教材是新課程標(biāo)準(zhǔn)先進(jìn)理念的具體體現(xiàn)，是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)、實(shí)施教育教學(xué)的寶貴資源，而教材習(xí)題是教材的重要組成，在促進(jìn)學(xué)生理解概念、鞏固知識(shí)、形成技能、發(fā)展思維等方面有著不可替代的作用.一般情況下學(xué)生對(duì)教材習(xí)題答案的尋求不會(huì)有太大困難，使得我們忽略了對(duì)教材習(xí)題潛在價(jià)值的發(fā)掘和研究，從而浪費(fèi)了很多重要的教育教學(xué)資源，這是一個(gè)必須引起高度重視的問(wèn)題.教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)欣賞教材，從句子品讀，體微言大義；從結(jié)構(gòu)品讀，獲教學(xué)智慧.教師應(yīng)通過(guò)對(duì)教材的個(gè)性化解讀，進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)到教材編寫者的意圖，從教材細(xì)微之處入手，多問(wèn)為什么教材這樣“說(shuō)”而不是那樣“說(shuō)”、為什么這樣安排“教學(xué)”而不是那樣安排，聚焦于“微變”背后的“大義”，從而提高對(duì)數(shù)學(xué)的理解，對(duì)教材的設(shè)計(jì)理念和背后蘊(yùn)含的教育價(jià)值的理解，進(jìn)而才能更好地理解數(shù)學(xué)教學(xué).