☉江蘇省白蒲高級中學 秦國清

高中數(shù)學核心概念教學的整體性把握

☉江蘇省白蒲高級中學 秦國清

數(shù)學概念是反映數(shù)學對象本質(zhì)屬性的一種思維形式，是導出數(shù)學定理、法則的基礎.而數(shù)學核心概念是其中最重要的一部分，準確領悟核心概念是學生獲得系統(tǒng)數(shù)學知識的源泉，是學好高中數(shù)學的關鍵.下面筆者結合自身高中數(shù)學教學實踐，粗淺談談如何整體把握好核心概念教學.

一、認清核心概念本身的二維呈現(xiàn)方式

1.對核心概念學習過程的認識

在數(shù)學核心概念的認知活動中，學生從不能完整地表達數(shù)學概念的定義，或?qū)Ω拍畹囊饬x含糊不清，到能記住概念的文字表述，對概念有感性的、初步的認識；從通過回憶或再認識，比較辨析相關概念，到理解該概念的本質(zhì)屬性；從該概念與其上位、下位概念的聯(lián)系與區(qū)別中明確概念所處的知識結構的位置，到利用這些關系解決新的情景中的問題.

上圖描述的是概念認知的二維結構定向模式.它以數(shù)學核心概念的內(nèi)涵與外延為出發(fā)點.既有質(zhì)的規(guī)定，也有范圍的規(guī)定.橫軸代表理解概念的廣度，它是相對于概念所處的知識系統(tǒng)而言的，反映了從感知到概括本質(zhì)屬性的漸進過程.縱軸代表理解深度，它反映主體將該概念運用于不同數(shù)學情景的能力，體現(xiàn)為概括到應用的漸進過程.分析構建概念的二維結構模式，建立數(shù)學概念較為完整的結構定向，是從不同側(cè)面認識事物的一條途徑.如果學生擁有構建核心概念的結構模式，將大大促進知識的鞏固和遷移.

2.對核心概念本質(zhì)內(nèi)容的認識

數(shù)學核心概念貫穿于高中數(shù)學教學的始終，是數(shù)學核心知識的“控制中心”，在數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展中起著重要作用，是數(shù)學知識的主要生長點.更重要的是它所蘊含的數(shù)學思想和方法，反映了探索自然現(xiàn)象和研究數(shù)學問題的科學規(guī)律，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.學生學習時需要逐步加深理解，體會并生發(fā)出解決數(shù)學問題的方法策略.認知數(shù)學核心概念最重要的不是過去經(jīng)驗的儲存，而是一旦需要這一概念時，能以可用的方式重新得到它.

以函數(shù)概念為例，函數(shù)是中學數(shù)學的核心內(nèi)容，是高中數(shù)學中的一條主線.克萊因認為，可以以函數(shù)概念和思想方法統(tǒng)一數(shù)學教育的內(nèi)容.從數(shù)學核心概念的內(nèi)涵來看，函數(shù)是一個具體的數(shù)學核心概念，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等具體函數(shù)都是其下位概念，在對函數(shù)的下位概念展開教學時，應當從函數(shù)的定義本身出發(fā)來思考具體的函數(shù)情境，從而歸納得到具體的函數(shù)類型.另外“函數(shù)”其定義本身就包含著從“變化”的觀點來考察數(shù)學對象，預示著數(shù)學思想方法從“不變”到“變”這么一種轉(zhuǎn)變，而這種轉(zhuǎn)變是通過具體的單調(diào)性、奇偶性等函數(shù)性質(zhì)來展開研究的.

當然，函數(shù)概念作為本源概念，其所蘊含著的數(shù)學思想方法肯定會滲透到整個高中數(shù)學課程中去.例如，從函數(shù)的觀點出發(fā)，數(shù)列可以看成一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項公式與前n項和公式都可以看成n的函數(shù)，這樣許多數(shù)列問題就可以通過函數(shù)的思想方法加以解決.解析幾何中對于圓錐曲線上一些動點，在變化過程中會引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量，從而構成函數(shù)關系.凡是涉及最值、范圍等問題都可以從函數(shù)的觀點來進行分析，合理地選取參、變量，尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用數(shù)學知識建立相應的函數(shù)模型，即“數(shù)學化”的過程.

函數(shù)核心概念的重要價值體現(xiàn)在這些廣泛的應用中，在高中數(shù)學教學的整體設計中，突出了函數(shù)與方程、數(shù)列、不等式、線性規(guī)劃、算法、實際問題的聯(lián)系，包括與概率統(tǒng)計中的隨機變量的聯(lián)系.用函數(shù)的思想去理解這些內(nèi)容，是非常重要的一個出發(fā)點.反過來，這些內(nèi)容的學習，可以加深學生對函數(shù)思想的認識.正如布魯納所說：“領會基本數(shù)學思想和方法是通向遷移大道的光明之路.”

二、弄懂核心概念研究內(nèi)容之間的整體聯(lián)系

任何系統(tǒng)都有結構，系統(tǒng)只有開放，與外界有信息交換，才可能使結構有序.數(shù)學核心概念也不例外.正如前面所提，數(shù)學核心概念作為一個本源概念時，它涉及豐富的下位概念；當它蘊含著重要的數(shù)學思想時，它所涉及的內(nèi)容將更為廣泛，有著不可或缺的指引作用；當它預示著數(shù)學方法的重大變革時，主要體現(xiàn)在方法的應用上.

具體地說，數(shù)學核心概念嵌入在完整的概念體系中，起著核心關鍵作用，廣泛地與其他的概念，甚至是其他核心概念聯(lián)系在一起，建構起良好的數(shù)學知識結構，形成完整有序的系統(tǒng).我們要弄懂核心概念研究內(nèi)容之間的整體聯(lián)系，就要確定一定的概念體系，厘清數(shù)學概念的發(fā)展脈絡，樹立“整體觀”和“系統(tǒng)觀”.

下面以三角函數(shù)與向量的關聯(lián)研究為起點進行淺析.

初中教材是借助長度比值開始定義銳角三角函數(shù)的，形式上實現(xiàn)了長度與角度的“互化”，這種觀點在解析幾何中也有涉及.而向量的概念是以方向和大小兩個要素為尺度展開研究的.實際上方向與角度，大小與長度是統(tǒng)一的.自從教材引進坐標系，任意角的三角函數(shù)得到推廣，向量也得以坐標化，形式上實現(xiàn)了利用坐標的維度來刻畫三角和向量，高中數(shù)學中蘊含著坐標法這一重要的數(shù)學思想方法得以展示.

我們終于從思維科學的視角發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)與向量緊密聯(lián)系的緣由.它們作為聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁，使數(shù)學研究從定性向定量深化.三角函數(shù)與向量的交匯，促成了向量、坐標、復數(shù)三位一體，使相關的運算化歸為實數(shù)的運算；促成了極坐標與直角坐標的互化，明析了長度與角度的轉(zhuǎn)化聯(lián)系；使直線斜率（傾斜角）、距離公式、曲線與方程等問題的研究更趨于本質(zhì)化.特別指出的是，向量維度的基本定理轉(zhuǎn)化為直線坐標系、平面直角坐標系、空間直角坐標系的基本定理，它們是解析幾何發(fā)明的本源之一.至此，“三角向量”作為數(shù)形轉(zhuǎn)化橋梁的核心作用躍然紙上.

正如張景中院士指出的那樣，數(shù)學核心概念與其他概念的聯(lián)系通常都是以一定的數(shù)學思想或方法聯(lián)系在一起的，以其反映的數(shù)學思想貫穿內(nèi)容體系，或標志著數(shù)學方法的重大變革而使其在整個體系中起著核心關鍵作用.數(shù)形結合不但是探究數(shù)學的思想，解決數(shù)學問題的方法，其實也是數(shù)學命題的一種根據(jù)和來源，更應是探索創(chuàng)新的的思維方式.

三、作好核心概念教學的整體性設計

章建躍博士指出，概念教學設計始終要把數(shù)學教學的“育人”目標放在心上，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力、培育學生的理性精神.在進行數(shù)學核心概念教學設計時，要突出其作為本源概念的“可生長性”和蘊含數(shù)學思想方法的“連貫性”.

筆者所在學校的數(shù)學集體備課特別強調(diào)概念教學的“整體性設計”，下面以向量單元教學為例，重點闡述章節(jié)教學設計立意，整體規(guī)劃教學核心，實現(xiàn)教材編寫意圖.

1.借助章頭課發(fā)揮先行組織者的作用

引導學生尋找知識的生成點，使得知識的學習尋到源頭，找到知識的根.我們清楚每一個核心概念的產(chǎn)生都有豐富的知識背景，從概念的本源出發(fā)，便于學生看清概念產(chǎn)生的過程，不會讓學生感到茫然，容易引導學生發(fā)現(xiàn)其具有的本質(zhì)屬性，概括出概念定義，進而研究概念間的聯(lián)系，建立概念體系.如在向量章節(jié)的起始課中，筆者圍繞“在中學數(shù)學中為什么要引入向量？”這一問題進行滲透教學.讓學生感受到：向量是代數(shù)的對象，向量是幾何的對象，向量是溝通代數(shù)與幾何的一座天然橋梁，向量具有豐富的物理背景，向量是重要的數(shù)學模型，有著廣泛的應用且簡單易懂.

2.借助章中課發(fā)揮思維方法的威力

引導學生發(fā)現(xiàn)知識的生長點，找到知識發(fā)展的枝干，使得知識的生長、發(fā)展順其自然.如學生通過類比的方法，研究向量運算，加深和拓展了對數(shù)學運算的理解：運算是數(shù)學學習的一個基本內(nèi)容，運算對象的不斷擴展是數(shù)學發(fā)展的一條重要線索；從數(shù)字運算到字母運算是運算的一次跳躍，到向量運算是運算的又一次跳躍；向量的學習，為學生今后進一步學習其他數(shù)學運算奠定了基礎，讓其體會到數(shù)學運算在建構數(shù)學系統(tǒng)中的作用.

3.借助章尾課發(fā)揮數(shù)學方法論的力量

引導學生挖掘出知識的共生點，為知識提供養(yǎng)料.除了了解向量在物理等現(xiàn)代科學技術中的實際應用外，我們更要關注向量概念的研究，為解三角形問題（平面問題）提供新的視角；為立體幾何中的位置關系提供了量化方法；在不等式構造方面也有具體應用，甚至其方法思想在“矩陣與變換”上也有引申.這正說明，對于標志數(shù)學方法重大轉(zhuǎn)變的概念，也應該通過其在不同內(nèi)容的滲透貫穿來達到理解掌握的要求.

四、抓住學生學習核心概念時的認知規(guī)律

在數(shù)學教學中要挖掘數(shù)學核心知識蘊含的思維教育價值，加強學習方法的引導，從“數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性”、“學生思維過程的合理性”兩個角度構建學習過程.以問題引導學習，使學生經(jīng)歷數(shù)學概念的概括抽象過程、應用拓展過程，從中體會數(shù)學的研究方法.

1.找準學生真實的學習起點，鋪設領悟核心概念的臺階，激發(fā)成功

數(shù)學教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎之上.教師要準確分析學生的學習狀況，了解學生的知識掌握及技能形成情況，要根據(jù)課時內(nèi)容，班級實際，新舊知之間的聯(lián)系設置教學起點.核心概念教學要緊扣學生的“最近發(fā)展區(qū)”，找準學生的“新知生長點”，符合學生的認知規(guī)律.特別要注意教學中為學生搭建理解的平臺，鋪設概括的路線和階梯，以幫助學生感悟核心概念的“本來面目”.

再以函數(shù)概念為例，首先選擇典型、豐富的實例.在函數(shù)概念的引入、表示、性質(zhì)和應用等各階段的教學中，都應用好書中的例子，為學生提供思考、探究、交流的機會，使學生在好例子的支持下開展思維，形成函數(shù)概念理解活動的強大背景支撐.其次注重表格和圖像作用.表格、函數(shù)圖像不僅是“表示法”的一種，從學生學習的角度看，它們使抽象的函數(shù)符號形象化，為學生提供了直觀的機會.例如，圖像的種種形象和基本性質(zhì)使得學生直觀地“看到”、想象到函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等種種性質(zhì).另外，用函數(shù)圖像分析和解決問題時體現(xiàn)出的數(shù)形結合思想，是培養(yǎng)學生數(shù)學能力的重要載體.同時幫助學生更全面、深刻地領悟“對應關系”的本質(zhì).最后強調(diào)在思想方法上給予明確具體的指導.中學生的認識能力、智慧水平尚在發(fā)展過程中，因此數(shù)學思想方法的學習，一方面要強調(diào)讓學生在親身體驗中獲得內(nèi)心感悟，另一方面還要依靠明確具體的語言指引，這也是加速學生領悟過程的需要.具體講來，教師在課前根據(jù)學生已有的知識層面，設置情境，提出要求，激發(fā)學生的好奇心和求知欲，并讓學生能夠跳一跳，夠得著.鼓勵學生大膽嘗試，主動參與，增強學生的自信心，使學生感覺到成功的喜悅，繼而激發(fā)繼續(xù)學習的興趣.

2.順承學生思維發(fā)展的脈絡，把握核心概念的“來龍去脈”

數(shù)學是一門非常重要的思維科學，而學生的思維發(fā)展遵從具體形象思維到經(jīng)驗型抽象思維，再到理論型抽象思維，最后到辯證思維的過程.當然，這一發(fā)展過程不是嚴格單向的，它具有相容性與同時性.因此教師可借助于思維發(fā)展的階段性理論針對性地進行核心概念教學，讓學生從統(tǒng)攝性強、應用范圍廣的核心概念學習中領悟到的數(shù)學的本質(zhì)，形成對學生的終身發(fā)展有根本性影響的思維方式和思維習慣.必須強調(diào)的是只有讓學生親身經(jīng)歷感悟過程，弄清核心概念的“來龍去脈”，才會理解深刻.

教學時要抓住數(shù)學概念體系的形成過程的層次性，講究循序漸進和滲透提高.如坐標法經(jīng)歷了直線—平面—空間—超空間，通過升維、加權、反向思考等設置實施.對類比、遷移得出的新概念，需與問題情景中的已知概念比較，建立知識鏈接.例如，指數(shù)和對數(shù)類比，教材意圖明顯，希望學生利用指數(shù)和對數(shù)的關系，把對數(shù)問題化歸為指數(shù)問題，借助指數(shù)冪的運算性質(zhì)，導出對數(shù)的運算性質(zhì).這樣的過程是自然的、水到渠成的，學生在概念形成、同化的過程中也實現(xiàn)了思維飛躍.

學生經(jīng)歷概念的發(fā)生、發(fā)展、拓展，弄懂知識的同時，感受的是邏輯，掌握的是研究問題的基本思想方法.如對函數(shù)概念本身的解讀.首先由“靜態(tài)”的式與方程到“動態(tài)”的函數(shù)，形成動靜互化的認知過程，實現(xiàn)由過程表征向關系表征的轉(zhuǎn)變，這是它的起點.其次由動態(tài)的“變量說”到靜態(tài)的“對應說”，形成微觀抽象化的認知過程，實現(xiàn)函數(shù)宏觀表征向函數(shù)的微觀表征的轉(zhuǎn)變.最后再由“過程”到“對象”，實現(xiàn)把函數(shù)作為一個“整體的對象”來看待.在引導學生經(jīng)歷了“具體情境→抽象化→符號表示→深化應用”這一系列認知實踐后，把形式化、符號化思想滲透到函數(shù)教學的每個環(huán)節(jié)，就能促進學生函數(shù)觀念的形成、發(fā)展、提高，提高學生應用函數(shù)動態(tài)與靜態(tài)的辯證關系解決問題的能力，使學生的思維朝著更深刻的方向發(fā)展.在學習中要讓學生始終處于積極探索的狀態(tài)，自覺完成知識遷移，形成知識網(wǎng)絡，學會數(shù)學思想方法的提煉，形成立體的知識模塊，融會貫通，達到活用知識解決問題的目的.

1.章建躍.數(shù)學學習與智慧發(fā)展［J］.中學數(shù)學教學參考：上旬，2015（7）.

2.章建躍.數(shù)學學習與智慧發(fā)展（續(xù)）［J］.中學數(shù)學教學參考：上旬，2015（8）.

3.陳振宣.三角函數(shù)在中學數(shù)學中的核心地位［J］.數(shù)學通報，2009（6）.

4.章建躍，陶維林.注重學生思維參與和感悟的函數(shù)概念教學［J］.數(shù)學通報，2009（6）.

5.沈亞軍.談差生對數(shù)學概念的認知［J］.數(shù)學教育學報，1999（4）.

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