沈進(jìn)中，鄧留保

(1. 安徽理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，安徽 淮南 232001；2. 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

關(guān)于模糊關(guān)系合成運(yùn)算一個(gè)性質(zhì)的商榷

沈進(jìn)中1，鄧留保2

(1. 安徽理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，安徽 淮南 232001；2. 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

針對(duì)清華大學(xué)出版社出版的教材《智能控制基礎(chǔ)》，給出的模糊關(guān)系合成運(yùn)算一條性質(zhì)，經(jīng)過(guò)實(shí)例驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)該性質(zhì)并不成立。于是對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析和推導(dǎo)，得出正確的結(jié)論，并將其推廣到更一般的情形，同時(shí)也表明《智能控制基礎(chǔ)》中的部分結(jié)論是錯(cuò)誤的。最后，舉出兩個(gè)實(shí)例，計(jì)算結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證所得出的結(jié)論的正確性。

模糊關(guān)系；模糊合成；模糊包含

0 引言

在《智能控制基礎(chǔ)》[1]的32頁(yè)，對(duì)所給出的模糊關(guān)系合成運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行了逐一驗(yàn)證。驗(yàn)證研究發(fā)現(xiàn)，無(wú)論如何也得不出模糊關(guān)系合成對(duì)“交運(yùn)算”滿(mǎn)足分配律，于是查閱專(zhuān)著[2]，在專(zhuān)著[2]的33頁(yè)，其給出的結(jié)論與[1]中相同，即模糊關(guān)系合成對(duì)“算”滿(mǎn)足分配律，專(zhuān)著[3-5]沒(méi)有給出模糊關(guān)系合成的運(yùn)算性質(zhì)，僅僅給出模糊關(guān)系合成的定義。本文就這一問(wèn)題進(jìn)行分析。

1 預(yù)備知識(shí)

定義[1-2]如果R和S分別是笛卡爾空間U×V和V×W上的模糊關(guān)系，則R和S的合成是定義在笛卡爾空間U×W上的模糊關(guān)系，記為R°S。其隸屬度函數(shù)的計(jì)算方法如下：

?(u,w)∈U×W，其對(duì)于R°S的隸屬度為

2 主要結(jié)論

定理2.1 若R是U×V上模糊關(guān)系，S和T是V×W上的模糊關(guān)系，則成立

R°(T∩S)?(R°T)∩(R°S)

(1)

證明：根據(jù)模糊合成運(yùn)算的定義，?(u,w)∈U×W，其對(duì)于R°(T∩S)的隸屬度為

(u,w)對(duì)于(R°T)∩(R°S)的隸屬度為

顯然，有

因此成立

μR°(T∩S))(u,w)≤μR°T∩R°S))(u,w)

這表明

R°(T∩S)?(R°T)∩(R°S)

成立，證畢。

定理2.2 若R和T是U×V上模糊關(guān)系，S是V×W上的模糊關(guān)系，則成立

(R∩T)°S?(R°S)∩(T°S)

(2)

證明：?(u,w)∈U×W，其對(duì)于(R∩T)°S的隸屬度為

其對(duì)于(R°S)∩(T°S)的隸屬度為

顯然，

μ(R∩T)°S(u,w)≤μ(R°S)∩(T°S)(u,w)

這表明

(R∩T)°S?(R°S)∩(T°S)

成立，證畢。

注：在文獻(xiàn)[1]和[2]給出的相關(guān)結(jié)論是

R°(T∩S=(R°T)∩(R°S)

(3)

(R∩T)°S=(R°S)∩(T°S)

(4)

這是顯然是不對(duì)的，在下面即將給出的反例中，可以很好地驗(yàn)證本文所給的結(jié)論的正確性。同時(shí)也說(shuō)明文獻(xiàn)[1]和[2]給出的相關(guān)結(jié)論是不對(duì)的。

定理2.1和定理2.2的結(jié)論是對(duì)兩個(gè)模糊關(guān)系的交運(yùn)算成立，如果是對(duì)多個(gè)模糊關(guān)系的交做合成，結(jié)論是會(huì)如何呢？我們有如下定理。

定理2.3 若是U×V上模糊關(guān)系，St(t∈T)是V×W上的模糊關(guān)系，則成立

(5)

證明：根據(jù)模糊集合(關(guān)系)相等的定義，只需證明等式(5)中左右兩邊的兩個(gè)模糊集合的隸屬度函數(shù)相等即可。

對(duì)任意的v,t,顯然成立

即

定理2.4 若Rt(t∈T)是U×V上模糊關(guān)系，S是V×W上的模糊關(guān)系，則成立

(6)

證明：類(lèi)似定理2.4，略。

3 反例

例1 已知論域，

可計(jì)算得

可見(jiàn)，R°(T∩S)?(R°T)∩(R°S)且R°(T∩S)≠(R°T)∩(R°S)。

例2 已知論域U={u1,u2},V={v1,v2},W={w1,w2},

經(jīng)計(jì)算，可得

可見(jiàn)，(R∩T)°S?(R°S)∩(T°S)且(R∩T)°S≠(R°S)∩(T°S)。

4 模糊關(guān)系合成對(duì)交運(yùn)算成立的條件

一個(gè)問(wèn)題：什么情況下，模糊關(guān)系從包含變?yōu)槟：嗟?？即式?3)、(4)成立，下面將給出兩個(gè)定理。

定理4.1 若R是U×V上模糊關(guān)系，S和T是V×W上的模糊關(guān)系，若S?T或T?S。則成立

R°(T∩S)=(R°T)∩(R°S)

證明：若S?T，則(R°S)?(R°T)，顯然成立R°(T∩S)=(R°T)∩(R°S)。同理，若T?S，定理4.1結(jié)論成立。證畢。

定理4.2 若R和T是U×V上模糊關(guān)系，S是V×W上的模糊關(guān)系，若R?T或T?R，則成立

(R∩T)°S=(R°S)∩(T°S)．

證明：類(lèi)似定理1，略。

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)文獻(xiàn)[1]和[2]中模糊關(guān)系合成運(yùn)算的性質(zhì)展開(kāi)了細(xì)致討論，指出了其中一條性質(zhì)的錯(cuò)誤性，并經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析和證明，給出了正確結(jié)論，同時(shí)以?xún)蓚€(gè)實(shí)例，驗(yàn)證了本文所得結(jié)論的正確性，進(jìn)一步表明了[1]，[2]中的結(jié)論是錯(cuò)誤的。本文最后給出兩個(gè)定理，以此說(shuō)明在滿(mǎn)足一定的條件之下，定理5.1和定理5.2中的模糊包含可以改成模糊相等。

[1] 韋巍,何衍.智能控制基礎(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社,2008.

[2] 黃衛(wèi)華,方康玲.模糊控制系統(tǒng)及應(yīng)用[M].北京: 電子工業(yè)出版社,2012.

[3] 韓峻峰,李玉惠.模糊控制技術(shù)[M].重慶：重慶大學(xué)出版社,2003.

[4] 廉小親.模糊控制技術(shù)[M].北京: 中國(guó)電力出版社,2003.

[5] 劉金琨.智能控制(第三版)[M] 北京: 電子工業(yè)出版社,2014.

[6] 梅加強(qiáng).數(shù)學(xué)分析[M].北京: 高等教育出版社, 2011.

(責(zé)任編輯：孫文彬)

A Discussion on the Property of Composition of the Fuzzy Relations

SHEN Jin-zhong1, DENG Liu-bao2

(1. College of Electrical and Information Engineering, Anhui University of Science and Technology, Huainan Anhui 232001, China; 2. School of Finance, Anhui University of Financial and Economics, Bengbu Anhui 233030, China)

The monograph Fundamentals of Intelligent Control published by Tsinghua University Press gave a property of composition of the fuzzy relations, however, the author of this article found that this property was not true by calculation from some practical examples. Then the study on this problem is carried out by strict mathematical analysis and derivation, and some new conclusions are obtained, and these new results are extended to a more general case, it shows that some corresponding conclusions are incorrect in Fundamentals of Intelligent Control. In the end, two examples are given to verify that the new results are correct.

fuzzy relations; fuzzy composition; fuzzy inclusion

2016-09-30

安徽省高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2015A076); 安徽理工大學(xué)碩博基金(ZY022)

沈進(jìn)中(1985-)，男，湖北黃岡人，講師，博士，主要從事模糊控制、系統(tǒng)穩(wěn)定性和非線(xiàn)性系統(tǒng)研究。

TP273

A

1009-7961(2017)01-0038-04