路 暉,胡 健,仇 楊

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

【信息科學(xué)與控制工程】

反步自適應(yīng)控制

路 暉,胡 健,仇 楊

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

為了克服齒隙對(duì)傳動(dòng)性能的影響，選取死區(qū)模型表達(dá)齒隙傳動(dòng)效應(yīng)，依據(jù)自適應(yīng)控制理論提出反步自適應(yīng)齒隙補(bǔ)償策略；齒隙模型中主、從動(dòng)輪結(jié)合處存在阻尼系數(shù)和剛性系數(shù)等未知參數(shù)，對(duì)其進(jìn)行了在線估計(jì)，并推導(dǎo)設(shè)計(jì)出每個(gè)參數(shù)的自適應(yīng)律；利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，采用反步積分方法，通過逐步遞推選取Lyapunov函數(shù)，設(shè)計(jì)了基于狀態(tài)反饋的自適應(yīng)控制器；理論分析以及對(duì)反步積分自適應(yīng)補(bǔ)償控制方法與傳統(tǒng)PID控制方法對(duì)比仿真表明：該方法有效地消除了齒隙對(duì)伺服性能的干擾，提高了系統(tǒng)的跟蹤精度和魯棒性。

伺服系統(tǒng)；自適應(yīng)控制；反步積分；齒隙補(bǔ)償

1 問題描述

要消除齒隙非線性的不利影響必須進(jìn)行有效的齒隙非線性補(bǔ)償，要實(shí)現(xiàn)這一目的則需要建立有效的齒隙非線性模型。機(jī)械傳動(dòng)中齒隙示意圖如圖1。

圖1 機(jī)械傳動(dòng)齒隙示意圖

(1)

(2)

z=θe-iθs

2 系統(tǒng)模型

則τ(t)=kx3+cx4，它可表示系統(tǒng)受齒隙非線性影響的不同階段輪齒間的傳遞力矩。選取x1，x2,x3,x4作為狀態(tài)變量，系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表述為

(3)

在實(shí)際應(yīng)用中，嚙合齒數(shù)在0～2之間的交替變換以及溫度、潤(rùn)滑、材料磨損等條件的變化都會(huì)導(dǎo)致齒隙及參數(shù)k、c發(fā)生變化，從而引起輪齒傳遞力矩變化。在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，必須考慮輪齒間傳遞力矩變化造成的危害。

3 反步積分控制器設(shè)計(jì)

3.1 控制器原理

3.2 控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)反步法原理，設(shè)計(jì)步驟如下：

1) 設(shè)計(jì)虛擬控制量η1，定義系統(tǒng)輸出誤差e1為

e1=yd-x1

(4)

由式(3)中第1個(gè)關(guān)系式可知，為使系統(tǒng)輸出逼近期望輸出yd，可將x2作為虛擬控制量，令其期望值為η1，因此當(dāng)設(shè)計(jì)η1如下式所示時(shí)，可使得e1能夠漸近穩(wěn)定地趨于零。

(5)

式(5)中k1>0為設(shè)計(jì)參數(shù)。

2) 設(shè)計(jì)虛擬控制量η2，設(shè)速度誤差信號(hào)e2為

(6)

β=-a1x2+a3i[(k-1)x3+cx4]

(7)

(8)

(9)

由式(3)中第2個(gè)關(guān)系式可知，為使系統(tǒng)速度信號(hào)逼近期望值，可將a3ix3作為虛擬控制量，令其期望值為η2，若存在穩(wěn)定的自適應(yīng)律，則當(dāng)設(shè)計(jì)η2如下式所示時(shí)，可使得e1及e2能夠漸近穩(wěn)定地趨于零。

(10)

式(10)中k2>0為設(shè)計(jì)參數(shù)。

e3=η2-a3ix3

(11)

由式(3)中第3和第4個(gè)關(guān)系式可知，選取I作為系統(tǒng)真實(shí)控制量，并設(shè)計(jì)控制輸入I以及參數(shù)自適應(yīng)律如式(12)所示時(shí)，可使得e1、e2及e3能夠漸進(jìn)穩(wěn)定地趨于零，從而使整個(gè)系統(tǒng)能夠漸近穩(wěn)定地跟蹤期望值。

(12)

定理1：選取x2作為虛擬控制量，當(dāng)設(shè)計(jì)其期望值如式(5)時(shí)，可使e1能夠漸近穩(wěn)定地趨于零，從而使系統(tǒng)輸出逼近期望輸出yd。

定理2：選取a3ix3作為虛擬控制量，當(dāng)設(shè)計(jì)其期望值如式(10)時(shí)，可使e1及e2能夠漸近穩(wěn)定地趨于零，從而使系統(tǒng)速度信號(hào)逼近期望值。

定理3：選取I作為系統(tǒng)真實(shí)控制量，當(dāng)設(shè)計(jì)控制輸入I以及參數(shù)自適應(yīng)律如式(12)所示時(shí)，可使e1、e2及e3能夠漸進(jìn)穩(wěn)定地趨于零，從而使整個(gè)系統(tǒng)能夠漸近穩(wěn)定地跟蹤期望值。

3.3 穩(wěn)定性證明

1) 定理1證明：

選取Lyapunov函數(shù)V1為

(13)

則V1的微分為

(14)

2) 定理2證明：

選取Lyapunov函數(shù)V2為

(15)

則V2的微分為

(16)

(17)

將式(17)代入式(16)得:

(18)

式(18)中：

將式(9)代入式(18)得：

(19)

3) 定理3證明：

選取Lyapunov函數(shù)V3為

(20)

則V3的微分為

(21)

式(21)中：

(22)

(23)

由式(8)求得式(23)中：

(24)

由式(3)求得式(24)中：

(25)

由式(24)和式(25)求得：

φx3-

(26)

由式(22)和式(26)最終求得：

(27)

4 仿真結(jié)果分析

伺服系統(tǒng)中齒隙非線性造成的影響以及對(duì)反步積分自適應(yīng)補(bǔ)償算法的正確性驗(yàn)證,在被控對(duì)象和參考命令都相同的情況下，應(yīng)用Matlab/Simulink對(duì)反步積分自適應(yīng)補(bǔ)償控制方法和PID控制方法進(jìn)行對(duì)比仿真。伺服結(jié)構(gòu)模型參數(shù)：Je=0.06 kg·m2，Js=0.18 kg·m2，be=1.7 Nms/rad，bs=1.8 Nms/rad，Kt=70，i=7，K=150 Nm/rad，c=0.17 Nms/rad；通過手工調(diào)校的方法，選定反步積分自適應(yīng)控制參數(shù)如下：k1=30，k2=2，k3=5，r1=20，r2=0.015；PID控制參數(shù)調(diào)節(jié)如下：kp=80，ki=20，kd=40。

4.1 階躍響應(yīng)性能分析

通過系統(tǒng)的階躍響應(yīng)比較PID控制和反步積分自適應(yīng)控制對(duì)系統(tǒng)性能的控制效果。圖2(a)、圖2(b)分別表示系統(tǒng)在PID控制和反步積分自適應(yīng)控制作用下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，由圖2可知，系統(tǒng)在反步積分自適應(yīng)控制作用下的超調(diào)量比在PID控制作用下的小5%，由此說明在反步積分自適應(yīng)控制作用下系統(tǒng)的平穩(wěn)性更好。

圖2 階躍信號(hào)下系統(tǒng)的跟蹤誤差分析

4.2 正弦跟蹤性能分析

為比較PID控制和反步積分自適應(yīng)控制對(duì)系統(tǒng)性能的控制效果，引入類正弦輸入信號(hào)yd=sint(1-exp(-0.01t3))，圖3(a)、(b)與(c)、(d)分別表示在PID及反步積分自適應(yīng)控制作用下系統(tǒng)對(duì)該類正弦輸入的響應(yīng)和跟蹤誤差。通過圖3可以看出，在齒隙非線性的影響下，機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)會(huì)引入穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差，使系統(tǒng)的控制效果下降、跟蹤精度降低，但采用反步積分自適應(yīng)控制方法考慮齒隙非線性因素進(jìn)行控制律設(shè)計(jì)，有效抑制了齒隙影響，使跟蹤誤差顯著減小，僅為PID控制下的1/5，使得控制效果得到顯著提升。

圖4(a)、(b)分別表示系統(tǒng)在PID控制與反步積分自適應(yīng)控制作用下的控制輸入。

從圖4可以看出，當(dāng)指令信號(hào)運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生改變時(shí)，由于齒隙死區(qū)非線性的影響導(dǎo)致從動(dòng)機(jī)構(gòu)實(shí)際運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)滯后，跟蹤誤差逐漸增大。由于PID控制不具備自適應(yīng)能力，因此在PID控制下的傳遞力矩產(chǎn)生了劇烈的振蕩，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，而在反步積分自適應(yīng)控制下，跟蹤誤差雖然出現(xiàn)小的跳變，但是其跟蹤精度遠(yuǎn)高于PID控制方法，且其主動(dòng)對(duì)齒隙進(jìn)行補(bǔ)償時(shí)，在齒隙作用階段存在控制量激增的過程，使系統(tǒng)快速渡過齒隙階段，消除齒隙影響，使傳遞力矩在跨越齒隙時(shí)連續(xù)平滑，避免了強(qiáng)烈的反復(fù)碰撞。因此采用自適應(yīng)控制器能夠在機(jī)電傳動(dòng)系統(tǒng)存在未知參數(shù)和齒隙死區(qū)非線性的情況下，高精度跟蹤期望的位置信號(hào)，且齒輪的傳遞力矩連續(xù)平穩(wěn)，具有良好的穩(wěn)定性和魯棒性。

圖3 正弦信號(hào)下系統(tǒng)的跟蹤誤差分析

圖4 系統(tǒng)自適應(yīng)仿真分析

5 結(jié)論

本文針對(duì)基于齒隙傳動(dòng)的機(jī)電伺服作動(dòng)系統(tǒng)中存在的齒隙非線性及參數(shù)不確定性問題，應(yīng)用自適應(yīng)控制理論和反步積分方法，設(shè)計(jì)了基于全狀態(tài)反饋的自適應(yīng)控制器，使系統(tǒng)能夠漸進(jìn)穩(wěn)定地跟蹤期望目標(biāo)。仿真結(jié)果表明：與傳統(tǒng)PID控制方法相比，該方法能夠把系統(tǒng)的跟蹤誤差減小到2×10-4rad，輪齒平穩(wěn)、連續(xù)地傳遞力矩，有效地消除了齒隙對(duì)伺服性能的干擾，提高了系統(tǒng)的跟蹤精度和魯棒性。

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(責(zé)任編輯 楊繼森)

Backstepping Adaptive Control

LU Hui，HU Jian，QIU Yang

(School of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

In order to overcome the influence of the transmission performance of backlash, the dead zone model was selected to express the backlash transmission effect, and the adaptive control strategy based on adaptive control theory was proposed. The control laws based on state feedback were developed with backstepping approach for selecting appropriate Lyapunov function. Theory analysis and the backstepping integral adaptive compensation control method with the traditional PID control method were used to have simulation and comparison. Simulation results show the method effectively eliminates the backlash on the servo performance of interference, so as to improve the tracking accuracy and robustness of the system.

servo system; adaptive control; backstepping integral; backlash compensation

2016-09-12；

2016-10-15

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51505224；51505203)；江蘇省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(BK20150776)

路暉(1988—)，男，碩士研究生，主要從事機(jī)電控制研究。

10.11809/scbgxb2017.02.019

路暉,胡健,仇楊.反步自適應(yīng)控制[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2017(2):82-87.

format:LU Hui，HU Jian，QIU Yang.Backstepping Adaptive Control[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(2):82-87.

TP273

A

2096-2304(2017)02-0082-06