●孫軍波 閆大貴 (溫嶺中學(xué) 浙江溫嶺 317500)

立體幾何復(fù)習(xí)要點(diǎn)例析*

●孫軍波 閆大貴 (溫嶺中學(xué) 浙江溫嶺 317500)

文章根據(jù)《2017年浙江高考考試說(shuō)明(數(shù)學(xué))》的知識(shí)要求和能力要求，結(jié)合近幾年的浙江省數(shù)學(xué)高考命題，重點(diǎn)研究了“立體幾何與空間向量”，歸納分析了一些經(jīng)典問(wèn)題：線面角、動(dòng)態(tài)軌跡和翻折等問(wèn)題，并整合一些經(jīng)典試題供讀者參考.

線面角；動(dòng)態(tài)軌跡；翻折

1 知識(shí)內(nèi)容

根據(jù)《2017年浙江高考考試說(shuō)明(數(shù)學(xué))》，立體幾何的主要內(nèi)容分以下幾類：一是掌握三視圖所表示的空間幾何體，會(huì)計(jì)算柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積，從宏觀上了解幾何體；二是理解空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的定義，掌握可以作為推理依據(jù)的公理和定理，對(duì)幾何體的位置關(guān)系進(jìn)行論證；三是理解直線與平面所成角的概念，了解空間角的向量求法，對(duì)幾何體的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解.

2 命題分析

縱觀近幾年的浙江省數(shù)學(xué)高考試卷，立體幾何一直圍繞考查學(xué)生的空間想象能力，要求學(xué)生能根據(jù)空間幾何體的圖形或幾何形體的描述想象出相應(yīng)空間形體(以三視圖問(wèn)題考查為主)，同時(shí)考查學(xué)生對(duì)幾何形體進(jìn)行分析、提取、概括來(lái)揭示其本質(zhì)特征的能力，考查靈活運(yùn)用幾何形體的特性進(jìn)行論證與求解的能力(以平行與垂直關(guān)系的判定和求空間角的問(wèn)題為主)，往往還會(huì)涉及翻折等一些綜合問(wèn)題，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維推理的嚴(yán)密性和運(yùn)算能力.

圖1

3 典題剖析

考點(diǎn)1 線面角

例1 如圖1，已知三棱錐D-ABC，記二面角C-AB-D的平面角是θ，直線DA與平面ABC所成角是θ1，直線DA與BC所成的角是θ2，則

A.θ≥θ1B.θ≤θ1C.θ≥θ2D.θ≤θ2

(2016年浙江省高中數(shù)學(xué)統(tǒng)測(cè)試題第9題)

分析 答案選A.本題可以用特殊值等多種方法解決.透過(guò)本題注意到線面角用直線和射影所成角來(lái)定義的合理性.根據(jù)最小角定理，斜線和它在平面內(nèi)的射影所成角是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線所成角中最小的角，它揭示了定義的合理性，考查了學(xué)生對(duì)概念的理解程度.二面角定義的合理性(唯一性)也是考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效途徑.這樣的考查在近幾年的學(xué)考、高考試題中已多次出現(xiàn).

圖2

例2 如圖2，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面的射擊線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小.若AB=15 m，AC=25 m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值______(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角).

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

評(píng)注 雖然最小角定理不要求掌握，但是對(duì)于核心概念定義的合理性仍是值得探討的一個(gè)問(wèn)題，很好地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

圖3

考點(diǎn)2 動(dòng)態(tài)軌跡

例3 如圖3，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PAB=30°，則點(diǎn)P的軌跡是

( )

A.直線 B.拋物線

C.橢圓 D.雙曲線的一支

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第7題)

分析 立體幾何動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題的考查也是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第10題就是這樣的題型)，這也是對(duì)圓錐曲線定義的深層次挖掘.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究這幾種曲線，用純幾何方法將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡.雖然課本是朝著解析法的方向發(fā)展，即通過(guò)坐標(biāo)系得到圓錐曲線的方程，再用方程研究幾何性質(zhì)，以期達(dá)到抽象化的目標(biāo)，不過(guò)阿波羅尼奧斯的想法仍然值得學(xué)習(xí).學(xué)生可以觀察如圖4所示的4個(gè)圖形，它們分別所對(duì)的曲線是圓、橢圓、雙曲線和拋物線.

圖4

圖5

例4 如圖5，AB是平面α外固定的斜線段，B為斜足.若點(diǎn)C在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且∠CAB等于直線AB與平面α所成的角，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為

( )

A.圓 B.橢圓

C.雙曲線 D.拋物線

分析 首先應(yīng)關(guān)注∠CAB是個(gè)定角，由此確定點(diǎn)C在以AB為旋轉(zhuǎn)軸的圓錐表面上;再考慮平面α和直線AB所成角等于∠CAB，以此確定平面平行于某條母線;最后確定其軌跡是拋物線.

評(píng)注 動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題既考查了幾何條件下的動(dòng)點(diǎn)軌跡，又考查了基本幾何體，是很好的命題點(diǎn).

考點(diǎn)3 翻折問(wèn)題

例5 如圖6，在邊長(zhǎng)為1的正△ABC的邊AB，AC上分別取點(diǎn)D，E，使沿線段DE折疊三角形時(shí)，頂點(diǎn)A正好落在邊BC上，則AD長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____.

(2008年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第12題)

圖6 圖7

分析 折疊問(wèn)題是立體幾何中常見(jiàn)的問(wèn)題，關(guān)鍵應(yīng)抓住折疊前后的變量與不變量(角度、長(zhǎng)度等)，然后根據(jù)相似三角形等構(gòu)建等式求解，例如：

從而

解法2 如圖7，點(diǎn)A,A′落在以D為圓心的圓上，當(dāng)AD最短時(shí)圓與BC相切，從而

得

圖8

分析 用向量來(lái)判斷位置關(guān)系，運(yùn)算量略為繁瑣.在翻折問(wèn)題中可以嘗試抓住折疊中的運(yùn)動(dòng)量即二面角，不難發(fā)現(xiàn)隨著二面角的變化，幾何體隨之發(fā)生改變.若翻折的角度確定，則幾何體就確定.抓住翻折過(guò)程中的二面角就抓住了折疊的變化幅度.為敘述方便，如圖9，不妨稱直線BD為折痕線，稱垂直于BD的直線AO為垂痕線.不難發(fā)現(xiàn)如下一些結(jié)論:

圖9 圖10

1)在翻折過(guò)程中，點(diǎn)A的軌跡是一個(gè)以O(shè)為圓心的圓;

2)在翻折過(guò)程中，點(diǎn)A在平面ABCD的射影都在直線AO上;

3)在翻折過(guò)程中，∠AOA′即為二面角A-BD-A′的平面角.

評(píng)注 解決翻折問(wèn)題的核心在于抓住哪些是變量、哪些是不變量.在研究翻折問(wèn)題中的軌跡、最值等一些問(wèn)題，往往可以通過(guò)抓住“垂痕線”這個(gè)線索來(lái)解決.

考點(diǎn)4 三視圖問(wèn)題

例7 某幾何體的三視圖如圖11所示,則此幾何體的體積為

( )

圖11

(2016年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第6題)

圖12

分析 理解三視圖與直觀圖的聯(lián)系，并由三視圖還原出簡(jiǎn)單幾何體，是立體幾何的基本要求，是高考的?？純?nèi) 容，難點(diǎn)在于如何還原為空間幾何體.在遇到復(fù)雜的幾何體時(shí)，不妨考慮把它置于一個(gè)長(zhǎng)方體中(如圖12所示)，則更容易想象.該考點(diǎn)若出現(xiàn)在填空題的一題兩空題型時(shí)，還應(yīng)同時(shí)關(guān)注求表面積的相關(guān)問(wèn)題.

考點(diǎn)5 證明和計(jì)算問(wèn)題

1)求證：PD⊥平面PAB.

2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.

(2016年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

圖13 圖14

分析 1)由面面垂直性質(zhì)定理知AB⊥平面PAD，根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理可知AB⊥PD，再由線面垂直判定定理可知PD⊥平面PAB.

評(píng)注 空間垂直與平行的證明是考查學(xué)生邏輯推理的絕佳題型.引進(jìn)空間向量后，如果空間幾何體確定，特別是線面垂直關(guān)系明確后，無(wú)論證明或求解空間角，都可以轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算.因此,在一般情況下，證明環(huán)節(jié)往往側(cè)重邏輯推理，求解空間角時(shí)可以嘗試多種方法求解.《2017年浙江高考考試說(shuō)明(數(shù)學(xué))》對(duì)空間向量的要求降低了一些，在選擇題和填空題中出現(xiàn)的可能性減小，向量回歸于工具角色的可能性較大.

圖15

4 精題集萃

1.如圖15，AB是平面的一條斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)使得∠ABP=60°，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不可能是

( )

A.圓 B.橢圓

C.雙曲線的一支 D.拋物線

2.如圖16，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，線段AD，BD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn).現(xiàn)將△ABD沿對(duì)角線BD翻折，則異面直線BE與CF所成角的取值范圍是

( )

圖16

圖17

3.如圖17，已知△ABC，CD為∠ACB的角平分線，沿直線CD將△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為θ，則

( )

A.∠A′DB≤θ,∠A′CB≤θ

B.∠A′DB≤θ,∠A′CB≥θ

C.∠A′DB≥θ,∠A′CB≤θ

D.∠A′DB≥θ,∠A′CB≥θ

4.如圖18，已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=5，E在線段AD上，且AE=1，F(xiàn)為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)沿EF將四邊形AEFB折成四邊形A′EFB′，使得平面A′EFB′⊥平面CDEF.若點(diǎn)B′在面CDEF上的射影為H，則點(diǎn)H軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)_____.

圖18

5.某幾何體的三視圖如圖19所示，其中側(cè)視圖和俯視圖都是邊長(zhǎng)為2的正方形，則該幾何體的體積為_(kāi)_____，表面積為_(kāi)_____.

圖19

6.已知點(diǎn)P,Q分別為正四面體A-BCD棱AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，則直線PQ與底面BCD所成線面角正弦值的最大值為_(kāi)_____.

7.如圖20，正四面體A-BCD的棱CD在平面α上，E為棱BC的中點(diǎn).當(dāng)正四面體A-BCD繞CD旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線AE與平面α所成最大角的正弦值為_(kāi)_____.

圖20 圖21

8.如圖21，已知在正三棱柱ABCD-A1B1C1中(底面是正三角形,側(cè)棱垂直于底面)，AA1=AB，D為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn)).

1)若AB1∥平面BDC1，試確定點(diǎn)D的位置；

2)求直線AB1與平面BDC1所成角的正弦值的取值范圍.

圖22

1)求證:PO⊥平面ABCD；

2)求直線AP與平面PBC所成角的正弦值.

圖23

10.如圖23，已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且AE=1，BF=3.沿EF將四邊形AEFB折成四邊形A′EFB′，使點(diǎn)B′在平面CDEF上的射影H在直線DE上.

1)求證:A′D∥平面B′FC;

2)求直線B′H與平面A′ED所成角的大小.

參 考 答 案

1.A 2.C 3.C

8.解 1)聯(lián)結(jié)B1C，交BC1于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)DE，則平面BDC1∩平面AB1C=DE.因?yàn)锳B1∥平面BDC1，所以AB1∥DE.又E是B1C的中點(diǎn)，故D是AC的中點(diǎn).

圖24

2)取AC的中點(diǎn)O,建立如圖24所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)AA1=AB=2，D(x,0,0),其中-1≤x≤1,則

從而平面BDC1的法向量為

9.1)證明 由題意，在菱形ABCD中，BD⊥AC，因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面PAC，從而B(niǎo)D⊥PO.

PO2+AO2=4=PA2，

于是

AO⊥PO.

又因?yàn)锽D∩AO=O，所以PO⊥平面ABCD.

圖25

于是

10.1)證明 因?yàn)榉酆驛′E∥B′F，且A′E?平面B′FC，而B(niǎo)′F?平面B′FC，所以A′E∥平面B′FC.同理可得DE∥平面B′FC,從而平面A′DE∥平面B′FC，于是A′D∥平面B′FC.

圖26 圖27

如圖27，作HN⊥CF于點(diǎn)N，因?yàn)锽′H⊥CF，所以CF⊥平面B′HN，從而平面CFB′⊥平面B′HN，于是點(diǎn)H在平面CFB′上的射影在B′N上，故∠NB′H即為所求角.在Rt△B′NH中，B′H=HN=2，從而∠NB′H=45°，即直線B′H與平面A′ED所成角為45°.

??2017-01-02；

2017-01-28

2016年浙江省臺(tái)州市教科研課題

孫軍波(1982-)，男，浙江溫嶺人，中學(xué)高級(jí)教師，教育碩士研究生.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.2

A

1003-6407(2017)03-35-05