尹東，史庭云

(1.波譜與原子分子物理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，中國科學(xué)院武漢物理與數(shù)學(xué)研究所，湖北 武漢 430071；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

環(huán)形B樣條基組的設(shè)計(jì)構(gòu)建及在量子環(huán)中的應(yīng)用

尹東1,2，史庭云1

(1.波譜與原子分子物理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，中國科學(xué)院武漢物理與數(shù)學(xué)研究所，湖北 武漢 430071；
2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

構(gòu)造滿足周期性邊界條件的環(huán)形B樣條基組, 并將之應(yīng)用于單電子量子環(huán)基態(tài)及激發(fā)態(tài)能級的計(jì)算.該方法計(jì)算基組較小，可以處理變量不可分離的非線性微分方程，簡化計(jì)算模型.使用GaAs量子環(huán)的參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果與已有文獻(xiàn)結(jié)果符合.結(jié)果顯示電子的能級呈現(xiàn)AB振蕩現(xiàn)象.若量子環(huán)上存在雜質(zhì)，則基態(tài)和低激發(fā)態(tài)能級將不隨磁場作AB振蕩.此數(shù)值方法可推廣至更復(fù)雜的具有周期勢分布的結(jié)構(gòu).

環(huán)形B樣條；周期性邊界條件；量子環(huán)

0 引言

近年來隨著半導(dǎo)體制造工藝的發(fā)展，人們可以制作3個維度尺寸均在納米數(shù)量級的半導(dǎo)體結(jié)構(gòu)，比如量子點(diǎn)和量子環(huán)，也被稱為人造原子[1-2].因?yàn)槠涮厥獾奈锢硇再|(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、量子點(diǎn)和量子環(huán)，引起了廣泛關(guān)注[1-3].由于量子環(huán)中的電子被局域在非簡單聯(lián)通的二維平面里，量子環(huán)中存在特殊的物理效應(yīng)，比如AB效應(yīng)[2]和持續(xù)電流現(xiàn)象[4-5].為了較好地理解量子環(huán)中的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，近年來提出了各種模型對環(huán)中的能級及物理特性做模擬計(jì)算[6-8].在這類計(jì)算中，合適的基組選擇至關(guān)重要.B樣條基組方法是近年來新發(fā)展起來的基組方法，在原子分子物理中有廣泛的應(yīng)用.B樣條在模擬局域分布的波函數(shù)上具有優(yōu)勢，采用B樣條作為基組進(jìn)行變分計(jì)算是獲得原子分子基態(tài)及低激發(fā)態(tài)能級的一種常用方法[9-10].

喬豪學(xué)等人采用B-splines基組計(jì)算了氦原子在勻強(qiáng)磁場中的能級[11]，與采用Hylleraas基進(jìn)行高精度計(jì)算的結(jié)果相對誤差小于0.13%.卞學(xué)濱等人對一維氫原子空間波函數(shù)做B-spline基組展開求解含時(shí)薛定諤方程[12]，計(jì)算了激光場中氫原子的波函數(shù)，結(jié)果顯示基組較小時(shí)波函數(shù)就可以收斂.康帥等人用 B-splines 基計(jì)算了量子點(diǎn)中類氫雜質(zhì)的能級[13].李勇等人用B-spline基組研究了堿金屬原子高激發(fā)Stark態(tài)的反交叉現(xiàn)象[14].胡師林等人采用B-spline基組進(jìn)行了C2H2分子在激光場中的含時(shí)Hartree-Fock計(jì)算[15].

以往應(yīng)用于原子分子物理計(jì)算的B-splines基組雖然取得了很大的成功，但在處理周期性勢場或邊界條件問題上卻存在不足，難以在邊界上保證樣條導(dǎo)數(shù)連續(xù).

1 環(huán)形B樣條定義

0=t1≤t2≤t3≤…≤ti-1≤ti≤ti+1≤…≤tn<2π，

現(xiàn)在，我們可以在定義了一階樣條后，類似傳統(tǒng)B樣條遞推定義的方法，給出k階樣條及其一階導(dǎo)數(shù)的定義：

(1)

(2)

定義樣條基組時(shí)要注意樣條階次k小于樣條結(jié)點(diǎn)數(shù)目.經(jīng)檢驗(yàn)，對于任意的結(jié)點(diǎn)分布，上述環(huán)形B樣條定義滿足樣條歸一化條件[9].

圖1為無重結(jié)點(diǎn)均勻分布結(jié)點(diǎn)環(huán)形7階B樣條基組，在區(qū)間端點(diǎn)θ=0及θ=2π處無重結(jié)點(diǎn)，樣條光滑連續(xù)，并且一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，樣條基組滿足歸一化條件.基組的性質(zhì)由結(jié)點(diǎn)分布和樣條階次共同決定.樣條結(jié)點(diǎn)序列為：

圖2為在區(qū)間端點(diǎn)θ=0及θ=2π處為重結(jié)點(diǎn)的環(huán)形B樣條基組.樣條函數(shù)值連續(xù)，但一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，一般把雜質(zhì)所處的位置設(shè)為樣條的重結(jié)點(diǎn)，體現(xiàn)波函數(shù)在該處的奇異性.

圖1 無重結(jié)點(diǎn)均勻分布結(jié)點(diǎn)的7階環(huán)形B樣條基組

圖2 θ=0及θ=2π 處為重結(jié)點(diǎn)的環(huán)形B樣條基組

2 量子環(huán)中電子能級計(jì)算

由于量子環(huán)的半徑為幾十個納米，在環(huán)中運(yùn)動的電子會出現(xiàn)量子現(xiàn)象，可以通過調(diào)節(jié)環(huán)上的電壓人為控制環(huán)中電子的數(shù)目[1-2].目前有關(guān)量子環(huán)的電子能級的計(jì)算有大量的工作[6-8]，方法多種多樣.比如: 精確對角化、局域自旋密度近似和擴(kuò)散蒙特卡羅方法.這些方法都取得了較好的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算了單電子或多電子量子環(huán)在外電場或外磁場中的能級，觀察到AB振蕩及持續(xù)電流現(xiàn)象.我們在此采用環(huán)形B樣條，可以更方便地構(gòu)造基組進(jìn)行量子環(huán)電子能級計(jì)算，并保證極高的計(jì)算精度和較快的計(jì)算速度.我們給出以下幾個例子說明環(huán)形B樣條在處理環(huán)形量子阱問題上的成功運(yùn)用.

2.1 單電子無外場 考慮一個電子被約束在一個半徑為1的單位圓環(huán)上運(yùn)動，不考慮環(huán)的寬度，此問題簡單，有解析解.我們首先考慮角動量z軸分量的本征值方程計(jì)算，運(yùn)動方程為：

此方程有解析解為:Lz=mη(m=0,±1,±2,Λ)， 其波函數(shù)為eimφ.采用環(huán)形B樣條構(gòu)造波函數(shù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，計(jì)算過程采用a.u.單位.

可計(jì)算獲得磁量子數(shù)m的本征值的數(shù)值結(jié)果見表1，其本征值關(guān)于0對稱分布，表1中a[b]表示a×10b. 從表1的計(jì)算結(jié)果可以看出，即使較小的基組，環(huán)形B樣條的結(jié)果也有很高的精度，并與理論結(jié)

表1 Lz本征值計(jì)算結(jié)果的收斂性檢驗(yàn)

果符合.適當(dāng)增大基組或改變樣條的階次，能使數(shù)值結(jié)果的有效位數(shù)迅速提高，并且m=0的本征值數(shù)值結(jié)果有很好的計(jì)算穩(wěn)定性，計(jì)算精度保持在10-14.計(jì)算的本征值隨著樣條基組的增大及階次的升高逐漸收斂，m的絕對值越小的本征值，收斂速度越快，并且誤差很小.

2.2 單電子外加磁場 2000年，德國Lorke小組采用分子束外延技術(shù)得到環(huán)形量子阱，通過調(diào)節(jié)電壓可以人為控制量子環(huán)中電子的數(shù)目，以觀察AB效應(yīng).我們可以采用環(huán)形B樣條作為基組，構(gòu)造波函數(shù)，對單電子量子環(huán)的能級進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.計(jì)算中，若無特殊說明，選取m*=0.067 me (me為電子的質(zhì)量)，R=50 nm，g*μB= 0.025 47，ε=12.4ε0和hω0=3 meV (適用于GaAS量子環(huán)).能量、長度和磁場的單位分別取meV、nm和Tesla(T)，電量q以|e|為單位，磁場沿z軸正方向.不考慮塞曼項(xiàng)，磁場中一維理想單電子量子環(huán)的哈密頓量為：

能量本征值有解析結(jié)果：

若采用變分法求解，基函數(shù)與真實(shí)波函數(shù)相似時(shí)，收斂速度較快.因此本文中采用7階環(huán)形B樣條做基組，求解該問題，計(jì)算結(jié)果列于表2和表3.表2為B=0 T時(shí)能量本征值的收斂性檢驗(yàn)，其中a[b]表示a×10b.表3為能量本征值的相對誤差，其中a[b]表示a×10b，帶*號數(shù)值由于分母為0，所以給出的是絕對誤差.

表2 B=0 T時(shí)能量本征值的收斂性檢驗(yàn)

表3 能量本征值的相對誤差

2.3 環(huán)上有雜質(zhì)粒子 我們也可以采用環(huán)形B樣條構(gòu)造波函數(shù)來處理無解析解的問題.比如，量子環(huán)上存在雜質(zhì)[16]，如圖4所示，Di表示第i個雜質(zhì)離子，e1表示電子，φDi表示第i個雜質(zhì)離子的極角，θ1表示電子的極角，雜質(zhì)離子與電子間距離為d.

由于雜質(zhì)離子的存在，體系失去了環(huán)的對稱性，因此不能進(jìn)行變量分離.此時(shí)采用重結(jié)點(diǎn)環(huán)形B樣條，將雜質(zhì)離子的位置設(shè)為重結(jié)點(diǎn)，可以很方便的解決計(jì)算問題.雜質(zhì)離子與電子之間有庫侖勢作用.兩者夾角較小時(shí)考慮用余弦定理計(jì)算間距時(shí)加一小量避免計(jì)算結(jié)果發(fā)散[9].為提高計(jì)算的收斂速度，此時(shí)結(jié)點(diǎn)為重結(jié)點(diǎn)雙指數(shù)型分布.體系的哈密頓量為：

圖3 單電子量子環(huán)能級隨環(huán)內(nèi)磁通量的變化

圖4 有雜質(zhì)存在的單電子量子環(huán)

V=VeD+VDD,

計(jì)算結(jié)果見表4、圖5和圖6.表4為有雜質(zhì)存在的單電子量子環(huán)能級計(jì)算的收斂性檢驗(yàn)，其中NDO表示雜質(zhì)數(shù)目, 每個雜質(zhì)離子帶電+e,NKF表示樣條基組大小，B=0 T.

表4 有雜質(zhì)存在的單電子量子環(huán)能級計(jì)算的收斂性檢驗(yàn)

圖5 極坐標(biāo)下基態(tài)電子在環(huán)上的幾率分布

從表4可以看出，環(huán)形B-樣條對環(huán)上存在雜質(zhì)離子的計(jì)算結(jié)果收斂性好，數(shù)值穩(wěn)定.

由于環(huán)上存在帶電雜質(zhì)，與環(huán)上運(yùn)動的電子有庫侖作用，單電子量子環(huán)基態(tài)及低激發(fā)態(tài)能級隨磁場變化的情況與沒有雜質(zhì)時(shí)有顯著不同，能級變化見圖6.從圖6可以看到基態(tài)及較低的激發(fā)態(tài)由于雜質(zhì)的束縛或排斥作用，使其能級不隨磁場變化發(fā)生振蕩，較高的能級會發(fā)生AB效應(yīng).在計(jì)算過程中將雜質(zhì)離子處設(shè)為重結(jié)點(diǎn)，可加快計(jì)算結(jié)果的收斂速度.因?yàn)榭梢匀我庠O(shè)定樣條的重結(jié)點(diǎn)個數(shù)，因此理論上可以計(jì)算環(huán)上存在多個雜質(zhì)的情況.

圖6 量子環(huán)能級隨磁場的變化

3 結(jié)論

本文中設(shè)計(jì)一種環(huán)形B樣條，用其作為基組對量子環(huán)內(nèi)電子波函數(shù)進(jìn)行展開，可以計(jì)算其能量本征值及本征矢，數(shù)值模擬結(jié)果與已有的文獻(xiàn)結(jié)果吻合.并且模擬過程用的基組數(shù)目較小，計(jì)算速度較快，是處理量子環(huán)及周期性勢場本征值問題的一種較為簡便有效的數(shù)值方法.可以考慮結(jié)合傳統(tǒng)的B樣條，將其推廣到2維、3維的量子點(diǎn)、量子環(huán)本征值問題的求解.

致謝 感謝在工作中與吳孟山和唐永波的有益討論與支持.

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(責(zé)任編輯 郭定和)

Design and construction of circular B-spline basis set and application in quantum ring

YIN Dong1,2, SHI Tingyun1

(1.State Key Laboratory of Magnetic Resonance and Atomic and Molecular Physics,
Wuhan Institute of Physics and Mathematics, Chinese Academy of Sciences, Wuhan 430071, China；
2.Graduate University of the Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

Circular B-spline basis are constructed to satisfy the periodic boundary conditions, and applied to the calculation of single electron quantum rings in the ground and excited states. Using fewer basis set, the nonlinear differential equations whose variables can not be separated are solved in a simplified method.The parameters of the GaAs quantum ring are used in calculation,and the results are in accordance with the other theroetical and experimental results.The energy levels of electrons show AB oscillation.The ground and low-lying excited states with impurities on the ring shows no AB oscillation.This numerical method can be extended to more complex structures with potential distribution cycle.

circular B-spline；periodic boundary condition；quantum ring

2016-05-10

國家自然科學(xué)基金(11274348，91536102)資助

尹東(1976-)，女，博士生，E-mail: 281607468@qq.com；史庭云，通信作者，研究員，E-mail: tyshi@wipm.ac.cn

1000-2375(2017)02-0131-6

O562.1

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.02.005