余超群

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430062)

(α,β)混合序列加權(quán)和的完全收斂性

余超群

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430062)

借助(α,β)混合序列加權(quán)和的極大值矩不等式,采用截尾的方法討論(α,β)混合序列加權(quán)和的完全收斂性,并獲得(α,β)混合序列加權(quán)和的Marcinkiewicz-Zygmund型強(qiáng)大數(shù)定律.

(α,β)混合序列;Marcinkiewicz-Zygmund型強(qiáng)大數(shù)定律;完全收斂性;加權(quán)和

0 引言

(α,β)混合序列的定義由Bradley[1]給出,并研究了絕對(duì)正則條件下(α,β)混合序列的中心極限定理.邵啟滿[2]進(jìn)一步研究 (α,β)混合序列的極限性質(zhì).陸傳榮等[3]于1997年建立了(α,β)混合序列協(xié)方差的界,在此基礎(chǔ)上, 沈燕[4]給出了(α,β)混合序列的矩不等式,得到(α,β)混合序列的收斂定理.趙琦[5]利用Kolmogorov不等式得到(α,β)混合序列 的三級(jí)數(shù)定理,在較弱的條件下,進(jìn)一步研究了(α,β)混合序列的部分和與乘積和的強(qiáng)大數(shù)定律和加權(quán)和的完全收斂性.在本文中,我們借助(α,β)混合序列加權(quán)和的極大值矩不等式,采用截尾的方法討論(α,β)混合序列加權(quán)和的完全收斂性,并獲得(α,β)混合序列加權(quán)和的Marcinkiewicz-Zygmund型強(qiáng)大數(shù)定律.

設(shè){Xn,n≥1}是隨機(jī)變量序列,X為一非負(fù)隨機(jī)變量,C>0為常數(shù), 若對(duì)任意的x>0,n≥1, 都有P(|Xn|>x)≤CP(X>x),則稱{Xn,n≥1}是被X一致控制的.本文約定:C,C1,C2總表示正常數(shù), 且在不同的地方可以表示不同的值.

1 引理

引理1[6]設(shè){Xn,n≥1}是被隨機(jī)變量X一致控制的序列,則對(duì)?α,b>0有

E|Xn|αI(|Xn|≤b)≤C1[E|X|αI(|X|≤b)+bαP(|X|>b)]

(1)

E|Xn|αI(|Xn|>b)≤C2E|X|αI(|X|>b)

(2)

其中C1,C2都是正常數(shù).

其中C為僅依賴于α,β和λ(·)的常數(shù).

2 主要結(jié)果及證明

(3)

若存在一常數(shù)q>max{α,2(pα-1)/(2α-1)},使得E|X|q<∞,則對(duì)?ε>0,有

(4)

(5)

(6)

因?yàn)閝>2(pα-1)/(2α-1),由Markov不等式和(6)式可得

(7)

(8)

并由(3)式和H?lder不等式,對(duì)于1≤k

(9)

(10)

因此,結(jié)合(5)式,(7)式和(10)式有(4)式成立.定理證畢.

(11)

(12)

首先,我們將證明

(13)

當(dāng)1/2<α≤1時(shí),由E|X|q<∞,EXni=0,引理1(2)式,(11)式和(9)式(取k=1)可得

當(dāng)α>1和p≥1時(shí),由E|X|q<∞,(11)式和(9)式(取k=1和q=2)可得

當(dāng)α>1和p<1時(shí),由(11)式和(9)式(取k=1和q=2)可得

由條件pα≥1和E|X|p<∞可知

nP(|X|>nα)=nP(|X|p>npα)≤nP(|X|p>n)≤E|X|pI(|X|p>n)→0,n→∞

(14)

同時(shí),由p<1和αp≥1可得

(15)

為了證明(4)式,只需要證明I<∞和J<∞.

(16)

因?yàn)棣?0和0

(17)

因此,結(jié)合(15)～(17)式有(4)式成立.定理證畢.

(18)

和

(19)

推論1的證明 在定理2中取αp=1,立即可得(18)式成立.因此

根據(jù)Borel-Cantelli引理可得

(20)

對(duì)于任意正整數(shù)n,都存在一正整數(shù)i0滿足2i0-1≤n<2i0.由(20)式可得

從而,(19)式成立.

(21)

其中0<δ≤min{1,α/2}.則對(duì)?ε>0,有(4)式成立.

從而,有(12)式成立,由(21)式和H?lder不等式,則對(duì)1≤k<α,有

(22)

當(dāng)α>1和p≥1時(shí),由引理1,(22)式(取k=1)和(14)式可得

當(dāng)α>1和p<1時(shí),由引理1,(22)式(取k=1)和(14)式可得

因此,有(13)式成立. 進(jìn)一步,由(12)式和(13)式可得

為了證明(4)式,只需要證明H<∞和G<∞.類似于(16)式的證明可得H<∞.因此,只需驗(yàn)證G<∞即可. 當(dāng)α>2時(shí),由Markov不等式,引理1,引理2,(22)式(取k=2)和0

(23)

當(dāng)1<α≤2,由Jensen不等式可知,對(duì)于任意的1<α≤k,

(24)

推論2的證明 在定理3中取αp=1,立即可得(18)式成立.另一方面,類似于推論1的(19)式證明過(guò)程,同理可證(19)式成立.

定理4的證明 對(duì)固定的n≥1,記

從而,有(12)式成立. 因?yàn)?<α≤1,由EXni=0,引理1(2)式和(24)式(取k=1)可得

因此,有(13)式成立.進(jìn)一步,由(12)式和(13)式可得

為了證明(4)式,只需要證明E<∞和F<∞.類似于(16)式的證明可得E<∞.因此,我們只需驗(yàn)證F<∞即可.因?yàn)?<α≤1,在(24)式(取k=2)可得

類似于(23)式的證明,我們可得到F<∞. 定理證畢.

推論3的證明 類似于推論2的證明過(guò)程.

[1] Bradley R C. On the central limit question under absolute regularity[J].Ann Probab, 1985(4): 1314-1325.

[2] Shao Q M. Almost sure invariance principles for mixing sequences of random variables[J].Stochastic Processes and Their Applications, 1993(2): 1-9.

[3] 陸傳榮, 林正炎. 混合相依變量的極限理論[M].北京: 科學(xué)出版社, 1997.

[4] 沈燕, 張永軍，王學(xué)軍，等.(α,β)混合序列的強(qiáng)極限定理[J].中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào), 2011(9): 778-784.

[5] 趙琦.(α,β)混合序列部分和與乘積和的強(qiáng)大數(shù)定律[J].湖北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015(3): 213-217.

[6] 吳群英.混合序列的概率極限理論[M].北京：科學(xué)出版社, 2006.

[7] 余超群.(α,β)混合序列加權(quán)和的強(qiáng)收斂性[J].湖北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),(已錄用待發(fā)表)

(責(zé)任編輯 趙燕)

Complete convergence theorems of weighted sum for (α,β) mixing sequences

YU Chaoqun

(Faculty of Mathematics and Statistics, Hubei University, Wuhan 430062,China)

We used the maximal inequality for weighted sums of (α,β) mixing sequence,and the truncated method to discuss the complete convergence theorems of weighted sum for (α,β) mixing sequence,and then got the Marcinkiewicz-Zygmund-type strong law of large numbers for weighted sums of (α,β) mixing sequence.

(α,β) mixing sequence;Marcinkiewicz-Zygmund-type strong law of large numbers;complete convergence theorems; weighted sum

2016-06-12

余超群(1991-)，女，碩士生

1000-2375(2017)02-0123-08

O211.4

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.02.004