范國偉 常琳 楊秀彬 王旻 王紹舉

航天光學(xué)遙感技術(shù)正廣泛應(yīng)用于軍事偵察、海洋海岸測繪、地質(zhì)調(diào)查、目標(biāo)點(diǎn)定位等領(lǐng)域.目前,我國遙感光學(xué)衛(wèi)星通常采用星下點(diǎn)及側(cè)擺的推掃成像模式,其要求衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)具有一定的姿態(tài)機(jī)動(dòng)性及較高的機(jī)動(dòng)后姿態(tài)穩(wěn)定性.為解決此問題,現(xiàn)有技術(shù)主要是通過預(yù)留足夠長的機(jī)動(dòng)及穩(wěn)定時(shí)間,以克服撓性附件或干擾力矩等造成的姿態(tài)波動(dòng),但這極大地限制了遙感衛(wèi)星的應(yīng)用效能.新穎的成像模式如多目標(biāo)、凝視及非沿軌曲線成像等,需要衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成衛(wèi)星姿態(tài)的快速機(jī)動(dòng)并保持較高精度的穩(wěn)定性,或?qū)崿F(xiàn)對(duì)期望姿態(tài)角及角速度的高精度跟蹤控制,且對(duì)各種建模不確定性及外部干擾等具有較強(qiáng)的魯棒性,這對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提出了新的挑戰(zhàn).

為實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)的快速機(jī)動(dòng),以大力矩CMG(Control moment gyroscopes)為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的敏捷衛(wèi)星越來越受到關(guān)注和研究,但奇異性問題一直制約了其工程應(yīng)用[1?2].按照在奇異面附近的處理方式,目前主要方法可分為奇異回避操縱律、奇異逃離操縱律和混合操縱律,但每種方法均有其自身的限制或缺點(diǎn)[3?4],如何設(shè)計(jì)高效的規(guī)避奇異性的操縱律是當(dāng)前研究熱點(diǎn).此外,由于CMG群的安裝、內(nèi)部摩擦以及框架角動(dòng)量和動(dòng)量輪框架軸方向簡化等導(dǎo)致的非參數(shù)不確定性,通常會(huì)導(dǎo)致CMG群在小力矩輸出時(shí)的不準(zhǔn)確性,影響整星控制精度.在大力矩執(zhí)行機(jī)構(gòu)作用下,敏捷衛(wèi)星控制面臨的另一個(gè)重要問題是撓性附件的振動(dòng)抑制問題.撓性敏捷衛(wèi)星姿態(tài)控制是一個(gè)強(qiáng)耦合、具有不確定性的非線性問題.為了完成各種在軌運(yùn)行任務(wù),衛(wèi)星姿控系統(tǒng)必須具備良好的控制性能,控制算法不僅要滿足機(jī)動(dòng)或成像過程中對(duì)姿態(tài)的約束,抑制非線性、不確定性等因素的影響,還要盡可能地減小撓性附件振動(dòng).解決該問題的一種有效途徑是采用軌跡規(guī)劃與魯棒跟蹤相結(jié)合的控制策略.

在軌跡規(guī)劃研究中,傳統(tǒng)的基于極小值原理的最優(yōu)控制方法適用于動(dòng)力學(xué)模型較簡單的系統(tǒng),對(duì)于衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)的強(qiáng)耦合非線性特性,難于進(jìn)行最優(yōu)軌跡的求取.在現(xiàn)有的衛(wèi)星姿態(tài)規(guī)劃問題研究中,多數(shù)研究將重點(diǎn)著眼于軌跡規(guī)劃的直接法.其中,以偽譜法為原型實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的軌跡規(guī)劃是一種行之有效的研究手段.該方法將成像任務(wù)的各種姿態(tài)約束、動(dòng)力學(xué)方程等轉(zhuǎn)化為等式或不等式約束,通過離散化的方式實(shí)現(xiàn)最優(yōu)軌跡的求解.常用的偽譜法主要有Chebyshev偽譜法、Legendre偽譜法、Radau偽譜法和Gauss偽譜法[5?6].

在獲得最優(yōu)規(guī)劃軌跡的基礎(chǔ)上,若采用開環(huán)控制方式,由于建模誤差、各種不確定性及空間干擾的存在,衛(wèi)星姿態(tài)并不會(huì)按照設(shè)計(jì)的最優(yōu)軌跡運(yùn)動(dòng),必須采用具有魯棒性的控制方法實(shí)現(xiàn)高精度的軌跡跟蹤.針對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤控制問題,為了克服模型參數(shù)的不確定性及外部干擾等,目前現(xiàn)有研究采用的主要方法有最優(yōu)控制、自適應(yīng)模糊控制、Lyapunov方法、退步法、內(nèi)模法、滑模控制方法、終端滑模控制方法和模型預(yù)測控制方法等[7?13],同時(shí)也取得了豐富的研究成果.滑模控制方法由于對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性和未建模動(dòng)態(tài)具有較好的魯棒性,其在衛(wèi)星姿態(tài)控制中受到較多研究.但是,該方法在處理各種約束時(shí)會(huì)存在一定的設(shè)計(jì)困難.

敏捷衛(wèi)星姿態(tài)控制過程中通常會(huì)受到很多約束,如姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的力矩輸出能力、為防止敏感器失效而對(duì)機(jī)動(dòng)角速度的限幅等,同時(shí)為提高衛(wèi)星在軌應(yīng)用效能,通常以某種“最優(yōu)”方式對(duì)姿態(tài)控制過程加以約束,這些限制的存在使得控制算法的設(shè)計(jì)存在一定的挑戰(zhàn).模型預(yù)測控制方法(Model predictive control,MPC)[14?15]由于具有處理硬約束的能力,且通過在線滾動(dòng)優(yōu)化方式實(shí)現(xiàn)控制律的求取,能夠獲得保守性較小的結(jié)果,提升控制性能,受到控制界的廣泛關(guān)注.但在衛(wèi)星姿態(tài)控制問題中的應(yīng)用尚待進(jìn)一步研究[16?17].

考慮到由于裝調(diào)和標(biāo)定精度以及動(dòng)力學(xué)建模簡化和未建模動(dòng)態(tài)等因素造成的CMG群小力矩輸出不精確等問題,本文針對(duì)新穎靈巧成像模式對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)控制的高性能需求,以金字塔構(gòu)型CMG群及反作用飛輪為聯(lián)合執(zhí)行機(jī)構(gòu)的撓性敏捷衛(wèi)星為研究對(duì)象,提出一種融合最優(yōu)軌跡規(guī)劃和滾動(dòng)跟蹤控制思想的復(fù)合控制方法.充分發(fā)揮CMG群的大力矩輸出特性及反作用飛輪的高精度力矩輸出特性,通過前饋與反饋控制的結(jié)合,實(shí)現(xiàn)撓性敏捷衛(wèi)星的姿態(tài)快速機(jī)動(dòng)或?qū)ζ谕藨B(tài)的高精度跟蹤控制.

1 新穎成像模式姿態(tài)控制需求分析

1.1 多目標(biāo)成像對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)大角度快速機(jī)動(dòng)需求

敏捷衛(wèi)星在執(zhí)行多目標(biāo)成像任務(wù)(如圖1)之前,通常設(shè)定提前固定的時(shí)間進(jìn)行姿態(tài)的機(jī)動(dòng),即姿態(tài)機(jī)動(dòng)的開始時(shí)間是已知的.此外,姿態(tài)機(jī)動(dòng)開始時(shí)刻衛(wèi)星通常為三軸對(duì)日姿態(tài)或?qū)Φ刂赶蜃藨B(tài)(多目標(biāo)的成像姿態(tài)),依據(jù)衛(wèi)星當(dāng)前時(shí)間及對(duì)日坐標(biāo)系定義或?qū)Φ爻上袢蝿?wù),可計(jì)算出衛(wèi)星初始機(jī)動(dòng)姿態(tài),即機(jī)動(dòng)時(shí)刻的衛(wèi)星姿態(tài)也是已知的.成像目標(biāo)姿態(tài)通常由地面指令上注,即期望的衛(wèi)星姿態(tài)是已知的,而衛(wèi)星姿態(tài)達(dá)到目標(biāo)姿態(tài)的時(shí)間是未知的.在不激起撓性附件振動(dòng)或能量最優(yōu)條件下,通常希望達(dá)到期望目標(biāo)姿態(tài)的時(shí)間最小.

綜上,多目標(biāo)成像中的每次衛(wèi)星姿態(tài)大角度快速機(jī)動(dòng)需求可歸結(jié)為:初始時(shí)刻及狀態(tài)已知,終端目標(biāo)狀態(tài)已知,終端時(shí)間待優(yōu)化的一類約束優(yōu)化問題.

圖1 多目標(biāo)快速機(jī)動(dòng)成像示意圖Fig.1 Diagram of multi-target rapid maneuvering imaging

1.2 凝視或非沿軌成像對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)高精度跟蹤控制需求

敏捷衛(wèi)星在執(zhí)行如凝視、非沿軌曲線等靈巧成像任務(wù)(圖2、圖3)時(shí),成像開始或結(jié)束時(shí)刻及對(duì)應(yīng)的姿態(tài)是預(yù)先規(guī)劃的,即是已知的.此外,為滿足成像任務(wù)過程中對(duì)某些特定目標(biāo)的定時(shí)指向,衛(wèi)星姿態(tài)需要在某些特定時(shí)刻具有特定的姿態(tài),即成像過程中某些時(shí)刻的相應(yīng)姿態(tài)也是固定的,且預(yù)先已知.

綜上,靈巧多模式成像對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)的高精度跟蹤控制需求歸結(jié)為:成像開始時(shí)刻、結(jié)束時(shí)刻及相應(yīng)的姿態(tài)是給定且已知的,同時(shí)成像過程中某些指定時(shí)刻的姿態(tài)也是固定且已知的一類約束優(yōu)化問題.

圖2 固定目標(biāo)凝視成像示意圖Fig.2 Diagram of fi xed-target staring imaging

圖3 非沿軌曲線成像示意圖Fig.3 Diagram of non-track curve imaging

2 聯(lián)合執(zhí)行機(jī)構(gòu)姿態(tài)控制策略

本文提出的控制方案框圖如圖4所示.控制方案分為前饋控制通道和反饋控制通道.前饋控制主要基于建立的非線性撓性衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)及運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,在滿足成像對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)及姿態(tài)角速度約束的情況下,利用Legendre偽譜法實(shí)現(xiàn)某種最優(yōu)評(píng)價(jià)指標(biāo)下的衛(wèi)星姿態(tài)角、角速度及CMG群框架軸角速度的規(guī)劃.通過將規(guī)劃得到的CMG群框架角速度作用于星體,獲得使敏捷衛(wèi)星姿態(tài)及角速度滿足成像約束的主控制力矩.由于參考衛(wèi)星模型與實(shí)際衛(wèi)星之間的偏差、CMG群力矩輸出的不準(zhǔn)確性等因素,在CMG群主控制力矩作用下的衛(wèi)星姿態(tài)和姿態(tài)角速度并不能嚴(yán)格與規(guī)劃姿態(tài)吻合,存在一定的偏差.為消除這種偏差,在反饋控制通道中,將利用NMPC方法設(shè)計(jì)高精度的反作用飛輪跟蹤控制律.通過前饋和反饋控制的復(fù)合,實(shí)現(xiàn)滿足多種靈巧成像模式對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)需求的優(yōu)化控制.

圖4 撓性敏捷衛(wèi)星姿態(tài)控制方案框圖Fig.4 Diagram of attitude control scheme for fl exible agile satellite

3 控制模型的建立

3.1 撓性衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)及運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

本文研究對(duì)象為以金字塔構(gòu)型CMG群及反作用飛輪為聯(lián)合執(zhí)行機(jī)構(gòu)的撓性敏捷衛(wèi)星.以慣性坐標(biāo)系為參考坐標(biāo)系,建立的具有聯(lián)合執(zhí)行機(jī)構(gòu)的撓性衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程如式(1)所示:

式中,I為衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣,w為星體三軸姿態(tài)角速度,σ為撓性附件與星體的剛?cè)狁詈暇仃?η為撓性附件在模態(tài)坐標(biāo)系下的位移,HCMG為金字塔構(gòu)型CMG群的三軸角動(dòng)量,HF為反作用飛輪系統(tǒng)的三軸角動(dòng)量,Td為空間干擾力矩.

定義CMG群的控制力矩為

反作用飛輪系統(tǒng)的控制力矩為

其中

在模態(tài)坐標(biāo)系下,建立的撓性附件振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程如式(5):

式中,ζf和wf分別為撓性附件模態(tài)坐標(biāo)系下的阻尼比矩陣與振動(dòng)頻率矩陣.

考慮到以歐拉角描述衛(wèi)星姿態(tài)存在奇異性等問題,本文采用四元數(shù)描述的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型來表示衛(wèi)星的姿態(tài)變化.選取慣性系為參考坐標(biāo)系,則有如式(6)的基于四元數(shù)的衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程:

其中,q=[q0q1q2q3]T定義為姿態(tài)四元數(shù),q0為標(biāo)量,q1,q2,q3為三維矢量的分量,整星的絕對(duì)角速度在三軸分量為w=[wxwywz]T.

考慮到衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)慣量主要在其主軸上,為簡化計(jì)算量，在規(guī)劃算法及跟蹤控制器設(shè)計(jì)時(shí)取星體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣為I=diag{IxIyIz},且假設(shè)三軸反作用飛輪沿慣量主軸正交安裝.定義wη=˙η為撓性附件在模態(tài)坐標(biāo)系下的角速度,并取狀態(tài)變量x=[w wηq η]T,在不考慮空間干擾力矩影響情況下,具有聯(lián)合執(zhí)行機(jī)構(gòu)的撓性衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)及運(yùn)動(dòng)學(xué)可以歸結(jié)為式(7)的非線性方程:

式中,符號(hào)定義如下:

在本文中,假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)均是可觀測的,定義系統(tǒng)的輸出為yc=x.進(jìn)而有式(12):

3.2 金字塔構(gòu)型CMG群動(dòng)力學(xué)建模

金字塔構(gòu)型單框架CMG群系統(tǒng)的坐標(biāo)系示意圖如圖5所示.考慮到4個(gè)CMG單元對(duì)稱分布,各框架軸在衛(wèi)星本體坐標(biāo)系中可表示為下式:

式(13)中,g1,g2,g3,g4分別為相應(yīng)的框架軸,β為安裝傾角,(→i,→j,→k) 為沿星體坐標(biāo)系三軸的基矢量.

圖5 金字塔構(gòu)型CMG群系統(tǒng)坐標(biāo)系示意圖Fig.5 Diagram of coordinate system for pyramid con fi guration CMG groups

金字塔構(gòu)型CMG群系統(tǒng)的角動(dòng)量H可表示為式(14):

式中,h1,h2,h3,h4分別為4個(gè)CMG單元的輸出角動(dòng)量,在衛(wèi)星本體坐標(biāo)系中有:

式(15)中,δ1,δ2,δ3,δ4分別為4個(gè)CMG 的框架角.假設(shè)4個(gè)CMG轉(zhuǎn)子的角動(dòng)量均相同,不失一般性,取角動(dòng)量的值均為1.

通過對(duì)CMG群系統(tǒng)輸出的角動(dòng)量H進(jìn)行微分,可得到式(16):

式中,J為雅克比矩陣,形式為

式(17)中,J1,J2,J3,J4分別表示4個(gè)CMG單元輸出的力矩矢量.

金字塔構(gòu)型CMG群系統(tǒng)的輸出力矩可描述為式(18):

綜上,結(jié)合式(12)和式(18),具有聯(lián)合執(zhí)行機(jī)構(gòu)的撓性敏捷衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)及運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可視為以[w wηq η δ]T為狀態(tài)變量,以CMG群系統(tǒng)框架軸角速度和反作用飛輪力矩為控制輸入的被控系統(tǒng),其具有復(fù)雜的非線性特性.以此為基礎(chǔ),也可以實(shí)現(xiàn)對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)及撓性附件振動(dòng)特性的預(yù)估.

4 基于Legendre偽譜法的衛(wèi)星姿態(tài)最優(yōu)軌跡規(guī)劃

第3節(jié)中建立的控制數(shù)學(xué)模型具有較強(qiáng)的非線性,且在實(shí)際姿控任務(wù)中存在多種約束,如CMG群框架軸角度及角速度、機(jī)動(dòng)性能及成像任務(wù)等約束,傳統(tǒng)的基于極小值原理的方法很難得到敏捷衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的最優(yōu)軌跡,數(shù)值解的求取方法成為目前研究的主要方向.在本節(jié)的研究中,將以第3節(jié)建立的撓性衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)及運(yùn)動(dòng)學(xué)為依據(jù),以偽譜法為手段設(shè)計(jì)整星控制模型的最優(yōu)姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑及相應(yīng)的CMG群框架軸角速度最優(yōu)軌跡,以此作為真實(shí)撓性敏捷衛(wèi)星的“最優(yōu)”姿態(tài)機(jī)動(dòng)或跟蹤路徑.

相比于CMG群,飛輪控制力矩的主要作用是修正與最優(yōu)路徑間的偏差,其控制力矩相對(duì)較小,因此在本節(jié)的規(guī)劃中不考慮飛輪的控制作用.用到的撓性衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)及運(yùn)動(dòng)學(xué)的連續(xù)時(shí)間方程為式(19):

4.1 優(yōu)化指標(biāo)建立及約束分析

對(duì)于撓性敏捷衛(wèi)星的多目標(biāo)成像姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制任務(wù),一方面追求衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)的快速性及能量最優(yōu),一方面要抑制衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)引起的撓性附件振動(dòng)以實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)后的快速穩(wěn)定,因此優(yōu)化指標(biāo)通常建立為三個(gè)性能的加權(quán)組合.而對(duì)于凝視或非沿軌曲線等成像模式的姿態(tài)跟蹤控制任務(wù),由于成像過程中某些時(shí)刻的姿態(tài)是預(yù)先規(guī)劃固定的,因此其優(yōu)化指標(biāo)考慮為能量最優(yōu)及撓性附件振動(dòng)抑制性能的組合.

各性能指標(biāo)定義如下:

1)多目標(biāo)成像姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制任務(wù):

2)靈巧成像模式姿態(tài)跟蹤控制任務(wù):

其中,t0和tf分別表示衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)的開始和結(jié)束時(shí)間.u(t)=˙δ表示CMG群的框架軸角速度.性能指標(biāo)式(20)中的第一項(xiàng)表示撓性附件振動(dòng)抑制性能,第二項(xiàng)表示姿態(tài)機(jī)動(dòng)能量性能,第三項(xiàng)表示姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)間性能.

在撓性敏捷衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)或姿態(tài)跟蹤過程中,為了保證姿態(tài)的平穩(wěn)性或受限于姿態(tài)敏感器的動(dòng)態(tài)特性,通常對(duì)姿態(tài)機(jī)動(dòng)角速度或執(zhí)行機(jī)構(gòu)的控制力矩進(jìn)行限幅約束,即有:

為了保證金字塔構(gòu)型CMG群遠(yuǎn)離其奇異性,引入奇異量度的概念,如式(23)所示,將奇異狀態(tài)以一定的數(shù)值加以度量,即:

D的值越趨近于零,表明系統(tǒng)離奇異面越近;D值越大,系統(tǒng)越遠(yuǎn)離奇異面.在本文中,將限制奇異度量值D的幅值,以此約束CMG群的奇異性.

此外,對(duì)于撓性敏捷衛(wèi)星的姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制任務(wù),其初始和終端時(shí)刻的姿態(tài)及角速度是受等式約束的,即初始t0時(shí)刻的姿態(tài)四元數(shù)及角速度為

終端tf時(shí)刻對(duì)應(yīng)的姿態(tài)四元數(shù)及角速度約束為而對(duì)于撓性敏捷衛(wèi)星的姿態(tài)跟蹤控制任務(wù),除初始和終端時(shí)刻的姿態(tài)及角速度受約束外,在成像過程中的某些時(shí)刻對(duì)應(yīng)姿態(tài)及角速度也是受等式約束的(預(yù)先規(guī)劃固定的),即有:

此外,在不同姿態(tài)機(jī)動(dòng)或跟蹤任務(wù)的初始時(shí)刻,金字塔構(gòu)型CMG群的框架軸角度初值可能會(huì)不同,因此在規(guī)劃時(shí)還需要考慮框架角的初值約束:

綜上,針對(duì)新穎靈巧成像模式的撓性敏捷衛(wèi)星姿態(tài)控制優(yōu)化問題的一般性描述如下所示:

且滿足非線性模型、初始狀態(tài)、過程中狀態(tài)及終端狀態(tài)的等式或不等式約束條件:

其中,g(·)表示待優(yōu)化性能指標(biāo)中的非線性函數(shù),φ(·)表示系統(tǒng)狀態(tài)的各種等式約束函數(shù),C(·)表示系統(tǒng)狀態(tài)和控制量等的不等式約束函數(shù).

通過以上建立的優(yōu)化問題可以看出,其是一類具有非線性微分方程約束、代數(shù)等式和不等式約束,優(yōu)化指標(biāo)為非線性積分項(xiàng)的連續(xù)時(shí)間優(yōu)化問題.考慮到該優(yōu)化問題是包含初始和終端時(shí)刻的,本節(jié)將以配點(diǎn)法中的Legendre偽譜法為主要手段進(jìn)行CMG群前饋控制力矩的最優(yōu)規(guī)劃.

Legendre偽譜法的主要思想是采用拉格朗日全局插值多項(xiàng)式,在一系列離散的時(shí)間節(jié)點(diǎn)上近似狀態(tài)變量和控制變量,并通過插值多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)來逼近撓性衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)及運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中狀態(tài)變量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),且在選取的配點(diǎn)上嚴(yán)格滿足方程的右函數(shù)約束.因此,下面分別從5個(gè)方面對(duì)連續(xù)時(shí)間優(yōu)化問題進(jìn)行離散化近似求解.

4.2 狀態(tài)量和控制量的逼近

Legendre偽譜法采用全局插值多項(xiàng)式在區(qū)間τ∈[?1,1]內(nèi)逼近所需的狀態(tài)變量,以Lagrange插值多項(xiàng)式作為基函數(shù),利用時(shí)間區(qū)間τ∈[?1,1]的M個(gè)點(diǎn)τ1,τ2,···,τM定義這些多項(xiàng)式.因此,最優(yōu)控制問題中的狀態(tài)量及控制量等均可以被近似為式(29)和式(30):

式中,Li(τ)(i=1,2,···,M):為 Largrange 插值多項(xiàng)式;Y(τ)為真實(shí)值y(τ)的(M?1)階近似,由于其在插值點(diǎn)上等于真實(shí)值,因此有:

4.3 全局插值點(diǎn)的選取

在上述全局插值逼近狀態(tài)變量及控制量的過程中,需要選取區(qū)間τ∈[?1,1]內(nèi)的M個(gè)點(diǎn)τ1,τ2,···,τM以進(jìn)行離散化.考慮到靈巧成像模式對(duì)敏捷衛(wèi)星初始姿態(tài)及終端姿態(tài)的約束需求,本文采用非等間距的LGL(Legendre Gaus Lobatto)點(diǎn)作為離散化點(diǎn).因?yàn)樵谶@種方法中,積分節(jié)點(diǎn)包含了兩個(gè)邊界點(diǎn).雖然該方法減少了兩個(gè)自由度,但仍可以精確逼近小于等于2M?3次的多項(xiàng)式.

M個(gè)LGL點(diǎn)可以由的零點(diǎn)來確定,其中為(M?1)階Legendre多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù).PM(τ)定義為式(31):

4.4 時(shí)間變量的映射

由于離散點(diǎn)τ1,τ2,···,τM在區(qū)間τ∈[?1,1]內(nèi),但通常敏捷衛(wèi)星姿態(tài)控制任務(wù)規(guī)劃時(shí)間區(qū)間[t0,tf]并不只限于[?1,1]區(qū)間,因此需將時(shí)間量映射到區(qū)間[t0,tf].映射關(guān)系定義為式(32):

式中,t0,tf表示規(guī)劃起始和終端時(shí)刻.

通過該變換,可以將衛(wèi)星姿態(tài)控制規(guī)劃時(shí)間區(qū)間[t0,tf]映射到區(qū)間[?1,1],進(jìn)而在[?1,1]內(nèi)考慮優(yōu)化問題的求解.

4.5 數(shù)值積分的逼近

在選擇用于逼近狀態(tài)量和控制量等的插值點(diǎn)之后,Legendre偽光譜算法還需要使用另一組插值點(diǎn)精確地逼近最優(yōu)問題的動(dòng)力學(xué)、最優(yōu)性能指標(biāo)以及各項(xiàng)包含微積分的非線性約束部分.積分逼近的一般形式定義為式(33):

4.6 狀態(tài)微分的逼近

利用偽光譜算法對(duì)約束條件離散化時(shí),需將動(dòng)力學(xué)微分方程等條件轉(zhuǎn)換為代數(shù)條件.偽光譜算法應(yīng)用正交分配方法,在正交多項(xiàng)式(例如Legendre多項(xiàng)式)的零點(diǎn)將狀態(tài)逼近值的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分配,即令離散后系統(tǒng)在這些點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)逼近實(shí)際的導(dǎo)數(shù).

由于Legendre偽光譜算法采用LGL點(diǎn),插值逼近所用的離散點(diǎn)和正交分配所用的點(diǎn)是相同的,因此微分方程離散化的表達(dá)式定義為式(34):

微分矩陣D∈RK×K定義為

進(jìn)而,連續(xù)時(shí)間微分方程通過正交配置可以轉(zhuǎn)換成如下K個(gè)代數(shù)方程:

通過以上處理,在最優(yōu)化問題的離散求解中,可以用一組在配置點(diǎn)上的代數(shù)條件來代替敏捷衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)及撓性附件動(dòng)力學(xué)等各微分方程.

綜上,通過本節(jié)的設(shè)計(jì),可將原來建立的敏捷衛(wèi)星姿態(tài)控制連續(xù)非線性最優(yōu)問題轉(zhuǎn)化為離散非線性動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題,通過對(duì)該規(guī)劃問題的求解可實(shí)現(xiàn)撓性敏捷衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)或跟蹤控制的CMG群框架角速度、衛(wèi)星姿態(tài)角和角速度的最優(yōu)規(guī)劃.

5 衛(wèi)星姿態(tài)最優(yōu)軌跡的非線性滾動(dòng)跟蹤算法設(shè)計(jì)

由于建模過程中難免存在如轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測量不準(zhǔn)確、空間干擾難以精確估計(jì)等因素,將導(dǎo)致在規(guī)劃得到的CMG群框架角速度作用下的撓性敏捷衛(wèi)星的真實(shí)姿態(tài)及角速度與規(guī)劃值存在一定的偏差.為消除該偏差，本節(jié)將設(shè)計(jì)反作用飛輪的非線性模型預(yù)測控制律,以此實(shí)現(xiàn)對(duì)規(guī)劃最優(yōu)衛(wèi)星姿態(tài)角及角速度的快速精確跟蹤.

5.1 衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤優(yōu)化指標(biāo)的建立

通過對(duì)連續(xù)時(shí)間方程式(12)進(jìn)行離散化,可獲得撓性衛(wèi)星姿態(tài)的離散時(shí)間方程,如式(36):

反作用飛輪參與控制的目的是實(shí)現(xiàn)對(duì)規(guī)劃姿態(tài)軌跡的高精度跟蹤控制.在本節(jié)研究中,將衛(wèi)星姿態(tài)角及角速度等的跟蹤誤差、飛輪控制力矩能量和終端偏差的加權(quán)組合作為待優(yōu)化指標(biāo),定義為式(37):

式中,e(k+n)表示對(duì)最優(yōu)軌跡等的跟蹤誤差,u(k+m)表示待設(shè)計(jì)的飛輪控制力矩,分別為跟蹤誤差、控制量和終端加權(quán)矩陣,Np為預(yù)測時(shí)域.

待優(yōu)化指標(biāo)中不同性能的加權(quán)矩陣體現(xiàn)了對(duì)指標(biāo)的傾向性.在本文研究中,對(duì)規(guī)劃最優(yōu)姿態(tài)軌跡的快速跟蹤是首要目標(biāo),因此本文中跟蹤誤差的加權(quán)矩陣取值較力矩能量的加權(quán)矩陣取值相對(duì)要大.預(yù)測時(shí)域的選取主要考慮建立的預(yù)測模型的精確性及硬件資源和計(jì)算能力.在預(yù)測模型精度較高、硬件能力較強(qiáng)情況下,可以適當(dāng)延長預(yù)測時(shí)域以增強(qiáng)預(yù)測能力,有利于提高系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度和穩(wěn)態(tài)精度.

注1.姿態(tài)跟蹤的優(yōu)化指標(biāo)建立可以有多種形式,其目的均是為求解待定的獨(dú)立優(yōu)化變量u(k+m).在本文提出的控制方案中,反作用飛輪的作用主要是在其力矩能力范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)規(guī)劃最優(yōu)姿態(tài)軌跡的高精度跟蹤.因此,跟蹤的快速性與消耗的能量是本文關(guān)注的指標(biāo).其他優(yōu)化性能也可以加入到待優(yōu)化指標(biāo)中,如力矩增量性能等.對(duì)于具有不同形式的優(yōu)化指標(biāo),本文提出的基于NMPC的敏捷衛(wèi)星姿態(tài)控制方法是相同的.

5.2 衛(wèi)星姿態(tài)的預(yù)測

根據(jù)測量或估計(jì)獲得的k時(shí)刻衛(wèi)星姿態(tài)信息x(k),基于規(guī)劃獲得的最優(yōu)CMG群框架軸角速度軌跡,利用離散化的撓性衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)及運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,通過迭代計(jì)算,可求取未來Np預(yù)測步內(nèi)的衛(wèi)星姿態(tài)信息,即有:

其中,預(yù)測時(shí)域內(nèi)的CMG群控制力矩由規(guī)劃CMG群框架軸角速度在相應(yīng)時(shí)刻的規(guī)劃值折算而來.

從以上Np步預(yù)測時(shí)域內(nèi)的系統(tǒng)狀態(tài)可知,預(yù)測后的待設(shè)計(jì)自由變量為Np時(shí)域步內(nèi)的飛輪控制量,即反作用飛輪的待設(shè)計(jì)控制力矩

u(k+m).當(dāng)預(yù)測時(shí)域Np超出控制時(shí)域Nu時(shí),假設(shè)飛輪控制力矩在區(qū)間[Nu,Np]上保持不變,即有式(38)成立:

5.3 反作用飛輪跟蹤控制律的實(shí)現(xiàn)

綜上,在規(guī)劃獲得衛(wèi)星最優(yōu)姿態(tài)信息情況下,敏捷衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤控制的優(yōu)化問題如下:

且滿足由執(zhí)行機(jī)構(gòu)的能力帶來的時(shí)域約束條件:

其中,TFmin和TFmax表示飛輪力矩的下界與上界,?TFmin和?TFmax表示飛輪力矩增量的下界與上界.

目標(biāo)函數(shù)J(x(k),整理為

式中,‖·‖2表示2-范數(shù),表示預(yù)測的衛(wèi)星姿態(tài)輸出,r(k+n)為期望的衛(wèi)星狀態(tài),其由第4節(jié)的最優(yōu)規(guī)劃算法獲得.為系統(tǒng)的預(yù)測控制輸入,即待優(yōu)化的飛輪控制力矩.

定義式(42):

假設(shè)姿態(tài)跟蹤約束優(yōu)化的最優(yōu)解為式(44)：

根據(jù)預(yù)測控制原理,最優(yōu)解的第一個(gè)元素,即當(dāng)前時(shí)刻的飛輪最優(yōu)控制力矩將作用于衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng).定義當(dāng)前時(shí)刻的飛輪最優(yōu)控制量為

在下一采樣時(shí)刻,根據(jù)更新的姿態(tài)信息,重復(fù)以上優(yōu)化過程,實(shí)現(xiàn)敏捷衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤的滾動(dòng)時(shí)域控制.

注2.本文為了追求更高的控制性能,以離線最優(yōu)軌跡規(guī)劃及在線滾動(dòng)跟蹤方式實(shí)現(xiàn)高性能控制,相比于連續(xù)控制律設(shè)計(jì),本文提出的離散控制策略面臨計(jì)算量大及計(jì)算速度慢等問題.提升計(jì)算速度的主要手段是設(shè)計(jì)高效的優(yōu)化問題求解算法及充分發(fā)揮硬件資源的計(jì)算特性.一種可行的硬件實(shí)現(xiàn)方案是基于FPGA(Field programmable gate array)和可編程系統(tǒng)(System-on-a-programmable-chip,SoPC)的NMPC(Nonlinear model predictive control)控制器的實(shí)現(xiàn).設(shè)計(jì)高效的基于懲罰函數(shù)的粒子群優(yōu)化算法及發(fā)揮FPGA的硬件并行計(jì)算能力是提高計(jì)算速度的可行途徑.本文在此僅作理論方法的研究,為應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ).

注3.在本文控制方法設(shè)計(jì)中,并沒有針對(duì)干擾或慣量參數(shù)不確定性等去設(shè)計(jì)魯棒控制器,而是在金字塔構(gòu)型CMG群提供快速姿態(tài)機(jī)動(dòng)或跟蹤的大控制力矩基礎(chǔ)上,利用反作用飛輪修正衛(wèi)星真實(shí)姿態(tài)與期望姿態(tài)間的偏差等,進(jìn)而抑制各種不確定性的影響.在仿真研究部分中,將通過控制器中參數(shù)、空間干擾及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量存在偏差等方式來說明本文提出控制方法的魯棒性及適應(yīng)性.

6 仿真研究及分析

以某型撓性敏捷衛(wèi)星為例,假設(shè)其測量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣如式(46)所示:

軌道選取為高度660km的太陽同步圓軌道,空間干擾力矩取為

其中,頻率ω0取值為0.0011,設(shè)定金字塔構(gòu)型CMG群轉(zhuǎn)子角動(dòng)量為5Nms,撓性附件的一階振動(dòng)頻率為2.23Hz,阻尼為0.032,剛?cè)狁詈暇仃囅禂?shù)為[0.00041,3.833,0].在軌跡規(guī)劃算法及跟蹤控制器設(shè)計(jì)中的衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)置為diag{104 106 147}kg·m2.

以下仿真基于MATLAB R2012b軟件進(jìn)行,規(guī)劃及跟蹤仿真運(yùn)行在CPU為i7處理器、主頻3.40GHz、4GB內(nèi)存的PC機(jī)上.預(yù)測控制步數(shù)取為30步,仿真步長設(shè)置為0.1s.

6.1 敏捷衛(wèi)星姿態(tài)大角度快速機(jī)動(dòng)仿真

本算例以撓性敏捷衛(wèi)星姿態(tài)進(jìn)行滾動(dòng)軸40°、俯仰軸25°機(jī)動(dòng)(相對(duì)慣性系)為例進(jìn)行仿真.在衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中,機(jī)動(dòng)角速度約束為[?6°/s,6°/s],CMG群框架角速度約束為[?3rad/s,3rad/s],飛輪力矩輸出約束為[?0.04Nm,0.04Nm],考慮的CMG群奇異性約束為D＞0.5.衛(wèi)星姿態(tài)初始機(jī)動(dòng)姿態(tài)角為[0°,0°,0°],機(jī)動(dòng)初始角速度為[0°/s,0°/s,0°/s],終端姿態(tài)角為 [40°,25°,0°],終端角速度為 [0°/s,0°/s,0°/s].選取10個(gè)Legendre全局插值點(diǎn),整個(gè)最優(yōu)機(jī)動(dòng)規(guī)劃算法耗時(shí)為17.4s.

1)測量慣量與真實(shí)慣量匹配時(shí)仿真

規(guī)劃獲得的衛(wèi)星姿態(tài)角、角速度曲線與實(shí)際跟蹤控制姿態(tài)角、角速度曲線,以及規(guī)劃的CMG群框架角、角速度曲線和飛輪實(shí)際控制力矩曲線如圖6和圖7所示.

仿真結(jié)果表明:

a)仿真時(shí)間進(jìn)行到10s時(shí),實(shí)際姿態(tài)角與規(guī)劃姿態(tài)角的偏差小于0.05°,實(shí)際姿態(tài)角速度與規(guī)劃姿態(tài)角速度的偏差小于0.02°/s;仿真時(shí)間15s時(shí),敏捷衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)軸40°、俯仰軸25°的機(jī)動(dòng)控制任務(wù).姿態(tài)控制精度優(yōu)于0.02°,姿態(tài)穩(wěn)定度優(yōu)于0.01°/s;仿真時(shí)間26s時(shí),姿態(tài)穩(wěn)定度優(yōu)于0.002°/s;

b)機(jī)動(dòng)過程中的姿態(tài)角速度、CMG群的框架軸角速度及飛輪控制力矩等變化均滿足約束要求;

c)導(dǎo)致實(shí)際曲線與規(guī)劃曲線有較小偏差的原因可歸結(jié)為:i)在規(guī)劃和跟蹤算法設(shè)計(jì)時(shí),為簡化在線計(jì)算量,沒有考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中的耦合項(xiàng)等,導(dǎo)致與真實(shí)衛(wèi)星動(dòng)態(tài)間存在一定偏差;ii)空間干擾力矩的存在對(duì)敏捷衛(wèi)星姿態(tài)角及姿態(tài)角速度準(zhǔn)確跟蹤帶來一定的影響;

d)從飛輪控制力矩曲線可以看出,由于在預(yù)測過程中考慮了對(duì)當(dāng)前時(shí)刻以后30個(gè)規(guī)劃點(diǎn)的快速跟蹤性能,設(shè)計(jì)的NMPC控制算法能夠充分利用飛輪的控制力矩,在較短時(shí)間內(nèi)使飛輪以最大控制力矩輸出,保證對(duì)規(guī)劃姿態(tài)的快速跟蹤.

2)測量慣量與真實(shí)慣量存在5%偏差時(shí)仿真

在本節(jié)的研究中,將考慮真實(shí)衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比測量值偏大5%時(shí)的控制效果.仿真曲線如圖8和圖9所示.

仿真結(jié)果表明:

a)仿真時(shí)間進(jìn)行到24.5s時(shí),實(shí)際姿態(tài)角與規(guī)劃姿態(tài)角的偏差小于0.05°,實(shí)際姿態(tài)角速度與規(guī)劃姿態(tài)角速度的偏差小于0.02°/s;仿真時(shí)間27.5s時(shí),衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)軸40°、俯仰軸25°的機(jī)動(dòng)控制,控制精度優(yōu)于0.02°,姿態(tài)穩(wěn)定度優(yōu)于0.01°/s;仿真時(shí)間36s時(shí),姿態(tài)穩(wěn)定度優(yōu)于0.002°/s;

b)在真實(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量偏大5%誤差情況下,設(shè)計(jì)的反作用飛輪的NMPC控制律能夠充分發(fā)揮飛輪力矩性能,使敏捷衛(wèi)星姿態(tài)及姿態(tài)角速度快速跟蹤上規(guī)劃曲線.

6.2 敏捷衛(wèi)星凝視成像姿態(tài)高精度控制仿真

本算例以撓性敏捷衛(wèi)星進(jìn)行地面某目標(biāo)點(diǎn)凝視成像為例進(jìn)行仿真.在衛(wèi)星姿態(tài)最優(yōu)規(guī)劃過程中,考慮的奇異性約束為D＞1.2.同樣選取10個(gè)Legendre全局插值點(diǎn),整個(gè)最優(yōu)姿態(tài)控制規(guī)劃算法耗時(shí)為20.3s.在凝視成像過程中,考慮的10個(gè)時(shí)間點(diǎn)的姿態(tài)角及角速度約束(相對(duì)慣性系)見表1.

1)測量慣量與真實(shí)慣量匹配時(shí)仿真

規(guī)劃獲得的衛(wèi)星凝視姿態(tài)曲線與實(shí)際跟蹤控制姿態(tài)曲線,以及規(guī)劃的CMG群框架角、角速度曲線和飛輪實(shí)際控制力矩曲線如圖10和圖11所示.仿真結(jié)果表明:

圖6 慣量匹配情況下的姿態(tài)大角度機(jī)動(dòng)規(guī)劃軌跡與實(shí)際軌跡曲線對(duì)比Fig.6 Comparison of planed trajectory and actual trajectory for attitude maneuver in the case of inertia matching

圖7 慣量匹配情況下的規(guī)劃CMG框架角、角速度與實(shí)際飛輪控制力矩曲線Fig.7 Planed CMG frame angle,angular velocity and actual fl ywheel control torque curves in the case of inertia matching

圖9 慣量5%偏差情況下的規(guī)劃CMG框架角、角速度與實(shí)際飛輪控制力矩曲線Fig.9 Planed CMG frame angle,angular velocity and actual lf ywheel control torque curves with inertia 5%deviation

表1 凝視成像過程中的姿態(tài)角及角速度約束Table 1 Attitude angle and angular velocity constraints in staring imaging

圖8 慣量5%偏差情況下的姿態(tài)大角度機(jī)動(dòng)規(guī)劃軌跡與實(shí)際軌跡曲線對(duì)比Fig.8 Comparison of planed trajectory and actual trajectory for attitude maneuver with inertia 5%deviation

圖10 慣量匹配情況下的凝視成像姿態(tài)規(guī)劃軌跡與實(shí)際軌跡曲線對(duì)比Fig.10 Comparison of planed trajectory and actual trajectory for staring imaging in the case of inertia matching

圖11 慣量匹配情況下的規(guī)劃CMG框架角、角速度與實(shí)際飛輪控制力矩曲線Fig.11 Planed CMG frame angle,angular velocity and actual fl ywheel control torque curves in the case of inertia matching

a)仿真時(shí)間250s時(shí),實(shí)際姿態(tài)角與規(guī)劃姿態(tài)角偏差最大值小于0.012°,實(shí)際姿態(tài)角速度與規(guī)劃姿態(tài)角速度偏差最大值小于0.0003°/s;在整個(gè)成像過程中(仿真時(shí)間250～350s),三軸姿態(tài)角跟蹤誤差最大值約為0.032°,三軸姿態(tài)角速度跟蹤誤差最大值約為0.0005°/s.三軸飛輪輸出控制力矩最大值約為0.001Nm;凝視成像過程中的最大姿態(tài)角跟蹤誤差折算到地面的指向偏差小于369m;

b)在凝視成像過程中,姿態(tài)角速度、CMG群的框架軸角速度、飛輪力矩約束等均滿足限幅要求.

2)測量慣量與真實(shí)慣量存在10%偏差時(shí)仿真

在考慮真實(shí)衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比測量值偏大10%情況下,仿真曲線如圖12和圖13所示.仿真結(jié)果表明:

a)仿真時(shí)間250s時(shí),實(shí)際姿態(tài)角與規(guī)劃姿態(tài)角偏差最大值小于0.015°,實(shí)際姿態(tài)角速度與規(guī)劃姿態(tài)角速度偏差最大值小于0.0005°/s;在整個(gè)成像過程中,三軸姿態(tài)角跟蹤誤差最大值約為0.055°,三軸姿態(tài)角速度跟蹤誤差最大值約為0.0008°/s,三軸飛輪輸出力矩最大值約為0.002Nm;

b)存在慣量偏差情況下,設(shè)計(jì)的飛輪NMPC控制律能夠快速調(diào)整其輸出力矩,保證衛(wèi)星姿態(tài)角及姿態(tài)角速度快速跟蹤上規(guī)劃的姿態(tài)曲線,折算到地面的指向偏差小于634m.

圖12 慣量10%偏差情況下的凝視成像姿態(tài)規(guī)劃軌跡與實(shí)際軌跡曲線對(duì)比Fig.12 Comparison of planed trajectory and actual trajectory for staring imaging with inertia 10%deviation

圖13 慣量10%偏差情況下的規(guī)劃CMG框架角、角速度與實(shí)際飛輪控制力矩曲線Fig.13 Planed CMG frame angle,angular velocity and actual fl ywheel control torque curves with inertia 10%deviation

7 結(jié)論

本文針對(duì)以CMG和飛輪為聯(lián)合執(zhí)行機(jī)構(gòu)的撓性敏捷衛(wèi)星,提出一種融合衛(wèi)星姿態(tài)最優(yōu)軌跡規(guī)劃與高精度跟蹤的控制方法.建立了面向衛(wèi)星姿態(tài)最優(yōu)軌跡規(guī)劃及預(yù)測未來姿態(tài)信息的非線性狀態(tài)空間方程,在給出綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)及約束基礎(chǔ)上,基于Legendre偽光譜方法實(shí)現(xiàn)對(duì)原連續(xù)優(yōu)化問題的離散化,進(jìn)而規(guī)劃出衛(wèi)星姿態(tài)及CMG群框架角速度的最優(yōu)軌跡;以規(guī)劃的最優(yōu)姿態(tài)軌跡為跟蹤目標(biāo),設(shè)計(jì)了飛輪的非線性模型預(yù)測跟蹤控制律,以消除由于建模誤差及干擾等帶來的姿態(tài)偏差.本文通過結(jié)合Legendre偽譜法及非線性模型預(yù)測控制,提出的控制方法在一定程度上解決了敏捷衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)快速性、準(zhǔn)確性問題,能夠滿足靈巧多模式成像對(duì)撓性敏捷衛(wèi)星姿態(tài)快速機(jī)動(dòng)及高精度跟蹤的控制需求.

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