張正新 胡昌華 司小勝 張偉

受工作環(huán)境和自身材料性能惡化等因素綜合作用的影響,設(shè)備的性能不可避免地發(fā)生退化,并逐步累積成失效.對(duì)于航空航天、高鐵列車(chē)、運(yùn)載火箭、鉆井平臺(tái)等大型復(fù)雜系統(tǒng),一些關(guān)鍵設(shè)備的退化失效將帶來(lái)難以估量的經(jīng)濟(jì)損失、人員傷亡和環(huán)境破壞[1].如果能夠在關(guān)鍵設(shè)備失效前,準(zhǔn)確地對(duì)其進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)(Remaining useful life,RUL),就能夠及時(shí)主動(dòng)地采取預(yù)防措施,避免災(zāi)難的發(fā)生.傳統(tǒng)的基于失效數(shù)據(jù)的方法需要同類(lèi)設(shè)備的失效數(shù)據(jù),耗時(shí)長(zhǎng)、成本高,不能適應(yīng)新形勢(shì)下設(shè)備壽命預(yù)測(cè)的需求.基于設(shè)備退化測(cè)量數(shù)據(jù)建立退化模型,進(jìn)而對(duì)失效設(shè)備RUL預(yù)測(cè)的方法是一條經(jīng)濟(jì)可行的途徑[2?4].因此,設(shè)備的退化建模與剩余預(yù)測(cè)逐漸得到學(xué)者和工程技術(shù)人員的關(guān)注、研究和應(yīng)用,成為可靠性領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)[5?9].

設(shè)備的退化軌跡往往具有隨機(jī)性,故基于隨機(jī)過(guò)程的方法成為退化建模中的主流方法.文獻(xiàn)中已有的相關(guān)研究可分為兩類(lèi):針對(duì)硬失效的退化建模方法和針對(duì)軟失效的方法.針對(duì)硬失效的建模方法,通常將設(shè)備的隨機(jī)退化過(guò)程作為協(xié)變量融入到比例風(fēng)險(xiǎn)模型的失效率函數(shù)中,刻畫(huà)退化過(guò)程對(duì)設(shè)備失效的影響,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)設(shè)備的RUL預(yù)測(cè)[10?11];針對(duì)軟失效的方法,一般將設(shè)備隨機(jī)退化過(guò)程首次到達(dá)某個(gè)失效閾值的時(shí)間定義為設(shè)備的壽命,通過(guò)求解該首達(dá)時(shí)間的分布實(shí)現(xiàn)設(shè)備的壽命和剩余壽命預(yù)測(cè)[4?5].由于第二類(lèi)方法具有物理意義直觀(guān)明確、計(jì)算簡(jiǎn)單便捷、便于融入隨機(jī)效用等優(yōu)點(diǎn),且工程實(shí)際中大量隨機(jī)退化系統(tǒng)的失效模式屬于軟失效,因此本文基于第二類(lèi)方法展開(kāi)研究.

時(shí)間尺度是退化建模和剩余壽命預(yù)測(cè)的基本要素之一,也是一個(gè)常被現(xiàn)有方法所忽視的問(wèn)題.事實(shí)上,目前文獻(xiàn)中絕大多數(shù)的退化模型都只考慮了單一的時(shí)間尺度,包括退化模型中的自然時(shí)間、Li-ion電池退化模型中的充放電次數(shù)、金屬試樣疲勞試驗(yàn)中的循環(huán)次數(shù)等,使用的都是單個(gè)時(shí)間尺度.在對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的退化建模和RUL預(yù)測(cè)中,也會(huì)面臨雙時(shí)間尺度、甚至多時(shí)間尺度的問(wèn)題.例如,在評(píng)估汽車(chē)輪胎保修期之前,需要確定一個(gè)時(shí)間和行駛路程雙時(shí)間尺度下的壽命分布[12];在對(duì)飛機(jī)起落架進(jìn)行檢修決策時(shí),需要考慮起落架服役的總時(shí)長(zhǎng)、處于工作狀態(tài)的時(shí)長(zhǎng)以及經(jīng)受的起落次數(shù)三個(gè)不同時(shí)間尺度下的壽命[13?14].再如,研究表明通電測(cè)試對(duì)貯存中的慣性?xún)x表的性能退化有明顯的加速作用,而維護(hù)和備件訂購(gòu)等決策都基于自然時(shí)間[15].因此,有必要考慮雙時(shí)間尺度下慣性?xún)x表的退化建模和剩余壽命預(yù)測(cè)問(wèn)題.此外,不同時(shí)間尺度通常也不是相互獨(dú)立的,由于設(shè)備運(yùn)行過(guò)程中的隨機(jī)性,不同時(shí)間尺度之間的關(guān)系也難以通過(guò)確定性的函數(shù)描述.這些問(wèn)題雖有一些學(xué)者展開(kāi)了研究,但現(xiàn)有的雙時(shí)間尺度或多時(shí)間尺度失效模型都是基于傳統(tǒng)的失效數(shù)據(jù)[13?14,16],尚未發(fā)現(xiàn)關(guān)于雙時(shí)間尺度下設(shè)備隨機(jī)退化過(guò)程建模和RUL預(yù)測(cè)的文獻(xiàn)報(bào)道.

鑒于以上討論,本文提出了一種基于Wiener過(guò)程的雙時(shí)間尺度隨機(jī)退化建模和剩余壽命預(yù)測(cè)方法,利用隨機(jī)比例系數(shù)描述兩個(gè)時(shí)間尺度之間的關(guān)系,實(shí)現(xiàn)雙時(shí)間尺度下設(shè)備的退化過(guò)程建模.在此基礎(chǔ)上,推導(dǎo)了雙時(shí)間尺度下設(shè)備壽命和RUL分布的解析解,并討論了其與基于單時(shí)間尺度退化模型得到結(jié)果之間的關(guān)系.同時(shí),給出了基于歷史退化數(shù)據(jù)的未知參數(shù)極大似然估計(jì)方法.最后,通過(guò)慣性平臺(tái)關(guān)鍵器件陀螺儀的退化建模和RUL估計(jì)驗(yàn)證了所提方法的有效性.

1 隨機(jī)退化建模

基于Wiener過(guò)程的退化模型能夠?qū)Ψ菃握{(diào)的退化設(shè)備進(jìn)行建模,且具有解析形式的首達(dá)時(shí)間分布,已經(jīng)廣泛應(yīng)用于激光發(fā)生器、LED燈、金屬材料等的退化建模和剩余壽命預(yù)測(cè)[17?19].因此,本文基于Wiener過(guò)程進(jìn)行雙時(shí)間尺度下設(shè)備的退化建模.下面,首先給出單時(shí)間尺度下基于Wiener過(guò)程的退化模型.

1.1 單時(shí)間尺度隨機(jī)退化建模

令t時(shí)刻設(shè)備的退化狀態(tài)為X(t),基于Wiener過(guò)程來(lái)刻畫(huà)設(shè)備的退化,即

其中,λ0表示設(shè)備的初始退化水平,漂移系數(shù)λ1表示設(shè)備的退化速率,擴(kuò)散系數(shù)σB和標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)B(t)一起,描述系統(tǒng)健康狀態(tài)的動(dòng)態(tài)不確定性.λ0,λ1,σB及B(t)相互獨(dú)立.這里假設(shè)設(shè)備的退化表現(xiàn)為指標(biāo)X(t)的增加,對(duì)于性能指標(biāo)逐漸降低的設(shè)備,其退化過(guò)程可通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)處理使其轉(zhuǎn)化為逐漸增加的退化過(guò)程.

顯然,式(1)所描述的退化模型適合對(duì)線(xiàn)性的退化過(guò)程進(jìn)行建模.當(dāng)設(shè)備的退化軌跡呈現(xiàn)非線(xiàn)性特性時(shí),可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q,將退化軌跡線(xiàn)性化之后進(jìn)行建模.這種變換可以通過(guò)對(duì)退化水平本身實(shí)現(xiàn),例如將指數(shù)型的退化軌跡對(duì)數(shù)化[20],也可以通過(guò)時(shí)間尺度變換實(shí)現(xiàn)[21].下文中的方法可以擴(kuò)展到可線(xiàn)性化的非線(xiàn)性退化建模中與RUL預(yù)測(cè)中.

通常當(dāng)設(shè)備的狀態(tài)超過(guò)某個(gè)預(yù)定的失效閾值w時(shí),不再滿(mǎn)足實(shí)際使用需求,認(rèn)為設(shè)備失效.故將性能指標(biāo)超過(guò)閾值w的首達(dá)時(shí)間定義為設(shè)備的壽命T,即

相應(yīng)地,tk時(shí)刻系統(tǒng)的剩余壽命Lk可表示為

1.2 雙時(shí)間尺度隨機(jī)退化建模

當(dāng)考慮兩個(gè)時(shí)間尺度t和τ時(shí),設(shè)備的性能退化狀態(tài)X(t,τ)可以通過(guò)式(4)描述

其中,W(τ)是時(shí)間尺度τ下的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),與擴(kuò)散系數(shù)σW一起表征由時(shí)間尺度τ引入的動(dòng)態(tài)不確定性,λ2表示與時(shí)間尺度τ相關(guān)的退化速率.當(dāng)然,也可以借鑒雙時(shí)間尺度失效模型的常用的方法,解算出設(shè)備的使用率,進(jìn)而借鑒加速退化模型的方法把使用率結(jié)合到退化模型中,把問(wèn)題簡(jiǎn)化成一個(gè)維度,并考慮兩個(gè)時(shí)間尺度之間的關(guān)系[22].為突出雙時(shí)間尺度與單時(shí)間尺度退化模型的聯(lián)系與區(qū)別,本文將設(shè)備壽命定義為

其中,Λ(t)用于描述時(shí)間尺度t與τ之間的關(guān)系.

模型(1)中假設(shè)漂移系數(shù)λ1與擴(kuò)散系數(shù)σB相互獨(dú)立,模型(4)中同樣假設(shè)漂移系數(shù)λ1,λ1與擴(kuò)散系數(shù)σW,σB相互獨(dú)立.這種假設(shè)被大多數(shù)基于Wiener過(guò)程的退化模型所采用.然而,Ye等最近考慮了漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)之間的關(guān)系,假設(shè)其之間滿(mǎn)足比例關(guān)系[23].當(dāng)考慮漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)之間的關(guān)系時(shí),同樣可基于文獻(xiàn)[23]中的壽命分布結(jié)果,構(gòu)建雙時(shí)間尺度下的退化模型,推導(dǎo)過(guò)程類(lèi)似.

模型(4)與現(xiàn)有的多退化量模型差異顯著.多退化量指的是表征設(shè)備性能的指標(biāo)是多元的,即單維的退化狀態(tài)X(t)應(yīng)該表示成多維向量的形式X(t).而本文考慮的雙時(shí)間尺度退化模型中,刻畫(huà)設(shè)備性能退化狀態(tài)的隨機(jī)變量仍是一維的,但是時(shí)間尺度由t變成了[t,τ].可以認(rèn)為,多退化量模型針對(duì)的是函數(shù)向量表示的退化過(guò)程,而本文考慮的是用兩個(gè)時(shí)間尺度的二元標(biāo)量函數(shù)刻畫(huà)的退化過(guò)程.

如前所述,時(shí)間尺度之間通常是相互關(guān)聯(lián)的.本文也主要考慮兩個(gè)時(shí)間尺度相互關(guān)聯(lián)時(shí)的情形.當(dāng)兩個(gè)時(shí)間尺度t和τ相互不相關(guān)時(shí),壽命分布的推導(dǎo)及參數(shù)估計(jì)等都將更加簡(jiǎn)單.為簡(jiǎn)單起見(jiàn),兩個(gè)時(shí)間尺度t和τ之間的關(guān)系可以用如下函數(shù)表述

其中,γ表示時(shí)間尺度τ所占時(shí)間尺度t的比例.例如,若t和τ分別表示自然時(shí)間與工作時(shí)間,則γ為工作率.為了描述設(shè)備運(yùn)行過(guò)程中的不確定性,這里假設(shè)γ為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量.當(dāng)然,根據(jù)設(shè)備的具體運(yùn)行情況,也可以選擇服從其他類(lèi)型分布的隨機(jī)變量刻畫(huà)不同時(shí)間尺度之間的關(guān)系.此外,這種關(guān)聯(lián)并不要求其中一個(gè)時(shí)間尺度為另外一個(gè)時(shí)間尺度的一部分,例如實(shí)例分析中通電時(shí)間與儲(chǔ)存時(shí)間的關(guān)系.對(duì)于其他不同形式的雙時(shí)間尺度,例如輪胎保養(yǎng)中涉及的行駛里程與使用時(shí)間[23],雖互不包含,但仍可用式(6)進(jìn)行描述.

類(lèi)似地,設(shè)備在某給定時(shí)刻tk的剩余壽命[Lk,Ψk]可定義為

本文的目的是求解[T,Λ]和[Lk,Ψk]的概率密度函數(shù)(Probability density function,PDF)及累積概率分布函數(shù)(Cumulative distribution function,CDF).為敘述方便,下文分別將單時(shí)間尺度和雙時(shí)間尺度退化模型記為M1和M2.

對(duì)比單時(shí)間尺度退化模型(1)和雙時(shí)間尺度退化模型(4)可知,本文提出的雙時(shí)間尺度模型是基于單時(shí)間尺度提出來(lái)的,能夠?qū)螘r(shí)間尺度模型包含為特例,當(dāng)λ2=0且σ2W=0時(shí),雙時(shí)間尺度模型即為單時(shí)間尺度模型;同時(shí),推導(dǎo)雙時(shí)間尺度下的壽命分布也需要基于單時(shí)間尺度退化模型的相關(guān)結(jié)果.然而,雙時(shí)間尺度退化模型并不僅僅是兩個(gè)單時(shí)間尺度模型的簡(jiǎn)單疊加,還需要考慮了兩個(gè)時(shí)間尺度之間的相互關(guān)系.此外,單時(shí)間尺度退化模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,需要估計(jì)的參數(shù)少,但往往忽略了另一個(gè)時(shí)間尺度對(duì)退化過(guò)程的影響;雙時(shí)間尺度模型雖然需要確定的參數(shù)更多,但能夠提供更多的壽命分布信息,同時(shí)也為考慮不同因素對(duì)退化過(guò)程的影響提供了一條新的途徑.

2 壽命分布和剩余壽命分布推導(dǎo)

為了計(jì)算M1下設(shè)備壽命的PDF,需要用到單時(shí)間尺度下的一些壽命分布的一些結(jié)論以及條件概率公式.具體地

其中,θT=[λ0,λ1,λ2],fT|Λ,θ,M1(t|τ,θ,M1) 表示t時(shí)刻τ= Λ(t) 條件下的T的 PDF,fΛ|θ,M1(τ|θ,M1)用于描述時(shí)間尺度t與τ之間的關(guān)系.為計(jì)算fT|Λ,θ,M1(t|τ,θ,M1), 可將X(t,τ) 超過(guò)首達(dá)固定閾值w的時(shí)間分布,轉(zhuǎn)化成X(t)首達(dá)隨機(jī)失效閾值的時(shí)間分布.這里的隨機(jī)閾值可以表示為,根據(jù)Wiener過(guò)程的性質(zhì),隨機(jī)閾值?w服從正態(tài)分布,即. 設(shè)備在 [tk,τk] 時(shí)刻 RUL 的分布fLk,Ψk|θ,M2(lk,ηk|θ,M2) 可以采用類(lèi)似的方法進(jìn)行計(jì)算,即

因此,首先給出單時(shí)間尺度t,即M1下設(shè)備的壽命分布.根據(jù)文獻(xiàn)[18]中的結(jié)論,對(duì)于式(1)描述的隨機(jī)退化設(shè)備,給定λ0和λ1時(shí),其壽命T和RULLk都有解析形式的PDF,即

其中,λT=[λ0,λ1],w0=w?λ0,wk=w?λk.

相應(yīng)地,如式(12)和式(13)所示,設(shè)備的壽命T和RULLk的CDF可據(jù)逆高斯分布的性質(zhì)得到,已被許多文獻(xiàn)引用與驗(yàn)證,證明過(guò)程可參考文獻(xiàn)[24].

根據(jù)式 (10)和式 (11),利用文獻(xiàn) [18]中的引理1,可以推導(dǎo)出單時(shí)間尺度下設(shè)備壽命和 RUL 的條件 PDF, 即fT|Λ,θ,M1(t|τ,θ,M1) 和fLk,Ψk|θ,M1(lk,ηk|θ,M1) 的表達(dá)式, 分別如式 (14)和式(15)所示.

利用文獻(xiàn)[19]中的相關(guān)結(jié)論,其對(duì)應(yīng)的CDF分別如式(16)和式(17)所示.

根據(jù)式 (6) 中的相關(guān)假設(shè),fΛ|θ,M1(τ|θ,M1) 和fΨk|θ,M1(ηk|θ,M1) 為正態(tài)分布,表達(dá)式為

將式(14)、(18)及式(15)、(19)代入式(8)和式(9),可得到雙時(shí)間尺度下設(shè)備壽命與RUL的分布.

進(jìn)一步,可以基于以上雙時(shí)間尺度壽命分布的結(jié)果得到一些有用的結(jié)論.具體地,通過(guò)求解式(8)和式(9)關(guān)于時(shí)間尺度t和τ的邊緣分布,可得到單個(gè)時(shí)間尺度下的壽命和RUL分布,如式(20)和式(21)所示.若t為設(shè)備的儲(chǔ)存壽命,τ為設(shè)備的累計(jì)工作時(shí)間,可通過(guò)計(jì)算T和Lk的邊緣分布,求解考慮測(cè)試影響的系統(tǒng)的貯存壽命和剩余貯存壽命分布.

同理,可通過(guò)計(jì)算Λ和Ψk的邊緣分布,求解考慮貯存期系統(tǒng)性能退化影響的間歇工作系統(tǒng)的工作壽命和剩余工作壽命,具體過(guò)程與式(20)和式(21)類(lèi)似.需要說(shuō)明的是,通過(guò)求解雙時(shí)間尺度下壽命和RUL分布的對(duì)其中一個(gè)時(shí)間尺度的邊緣分布得到的其中一個(gè)時(shí)間尺度下設(shè)備的壽命和RUL分布,將考慮另外一個(gè)時(shí)間尺度對(duì)設(shè)備性能退化的影響,以及兩個(gè)時(shí)間尺度之間的關(guān)系,將會(huì)使壽命和RUL估計(jì)更準(zhǔn)確.這一點(diǎn)將在第4節(jié)陀螺儀的RUL預(yù)測(cè)結(jié)果中得到進(jìn)一步驗(yàn)證.

本節(jié)的結(jié)論都是在模型參數(shù)已知的前提下得到的,而工程實(shí)際中往往需要根據(jù)設(shè)備的歷史退化數(shù)據(jù)確定模型的參數(shù).因此,下一節(jié)將考慮基于設(shè)備歷史觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的模型參數(shù)估計(jì)方法.

3 模型參數(shù)估計(jì)

本節(jié)根據(jù)Wiener過(guò)程的性質(zhì),基于設(shè)備的歷史性能觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù),利用極大似然估計(jì)來(lái)對(duì)模型中的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì).假設(shè)有N個(gè)系統(tǒng),其中第n個(gè)系統(tǒng)有mn次測(cè)量數(shù)據(jù),其第j次測(cè)量得到的結(jié)果和對(duì)應(yīng)的時(shí)間分別為xn,j,tn,j和τn,j.進(jìn)一步,令分別表示第n個(gè)設(shè)備的退化數(shù)據(jù)和所有設(shè)備的退化數(shù)據(jù),未知參數(shù)記為服從多元正態(tài)分布,故其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

其中,tr(·)表示矩陣的跡運(yùn)算.除式(23)外,令偏導(dǎo)數(shù)為零并不能得到解析的參數(shù)估計(jì)值,因此只能采用優(yōu)化算法優(yōu)化似然函數(shù)?(φ|x)得到參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值.在本文的實(shí)例研究中,采用的優(yōu)化算法是單純形法,即MATLAB中的多維優(yōu)化函數(shù)fminsearch.

為了得到未知參數(shù)φ的區(qū)間估計(jì),?(φ|x)對(duì)未知參數(shù)φ求二階導(dǎo)數(shù),如式(26)～(31)所示.

基于以上二階微分的結(jié)果,可知參數(shù)φ的信息陣I(φ)為

其中,diag{·,·}為分塊對(duì)角矩陣,I1(φ) 與I2(φ)分別為

其中,

根據(jù)極大似然估計(jì)的性質(zhì),當(dāng)樣本足夠大時(shí),可將點(diǎn)估計(jì)的結(jié)果?φ代入Fisher信息陣中,即I(φ),進(jìn)而得到參數(shù)的區(qū)間估計(jì).具體地,未知參數(shù)φ的置信度為a的區(qū)間估計(jì)為

其中,k=1,···,5,za= Φ?1(1?a)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的1?a分位數(shù),為的估計(jì)值,而可基于Fisher信息陣和Delta方法得到,即

當(dāng)?shù)玫絽?shù)的點(diǎn)估計(jì)后,可用圖形化的方法表征雙時(shí)間尺度退化模型的擬合優(yōu)度(Goodness of fit).具體地,令yn,j=xn,j?xn,j?1為第n條退化軌跡的在第j?1個(gè)狀態(tài)監(jiān)測(cè)時(shí)刻的退化增量,易知yn,j服從均值和方差分別為μn,j=λ1?tn,j+λ1?Λn,j與的正態(tài)分布,其中,?tn,j=tn,j?tn,j?1,?Λn,j= Λn,j?Λn,j?1.故有如下統(tǒng)計(jì)量

其中,d(φ)表示模型參數(shù)的個(gè)數(shù).一般而言,極大對(duì)數(shù)似然函數(shù)?(?φ|x)的值越大,AIC的值越小,對(duì)應(yīng)的退化模型對(duì)退化數(shù)據(jù)的擬合越好.

將本節(jié)參數(shù)估計(jì)的結(jié)果代入上節(jié)的壽命和剩余壽命分布中,即可得到設(shè)備的壽命或者剩余壽命分布.至此,本文實(shí)現(xiàn)了基于歷史監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的設(shè)備退化建模與剩余壽命預(yù)測(cè).下一節(jié)將本文方法應(yīng)用于陀螺儀漂移系數(shù)退化數(shù)據(jù)的分析中,對(duì)所提方法進(jìn)行說(shuō)明和驗(yàn)證.

4 實(shí)例研究

陀螺儀是慣性平臺(tái)的核心器件,常用于火箭、導(dǎo)彈等長(zhǎng)期儲(chǔ)存一次使用的系統(tǒng)中.在陀螺儀的長(zhǎng)期儲(chǔ)存過(guò)程中,其性能不可避免地發(fā)生退化,具體體現(xiàn)為其漂移系數(shù)的增加.當(dāng)陀螺儀的漂移系數(shù)超過(guò)一定閾值時(shí),不能再滿(mǎn)足使用需求,故認(rèn)為陀螺儀失效.工程實(shí)際中超過(guò)90%的陀螺儀失效為陀螺漂移系數(shù)超差[25].為了保證貯存陀螺儀的性能能夠滿(mǎn)足使用的要求,必須定期或不定期地對(duì)陀螺儀進(jìn)行通電檢測(cè).而通電檢測(cè)將會(huì)加速陀螺儀的性能退化,故累計(jì)通電時(shí)間也是衡量陀螺儀壽命的一項(xiàng)重要指標(biāo).因此,在對(duì)陀螺儀進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)時(shí),必須綜合考慮儲(chǔ)存時(shí)間t和檢測(cè)(通電)時(shí)間τ兩個(gè)時(shí)間尺度.

下面利用文獻(xiàn)[15]提供的陀螺儀漂移率歷史測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)本文方法進(jìn)行驗(yàn)證.該組數(shù)據(jù)包括了6組陀螺儀的漂移率數(shù)據(jù)、儲(chǔ)存時(shí)間數(shù)據(jù)以及每次檢測(cè)時(shí)長(zhǎng)數(shù)據(jù).如圖1所示,陀螺儀的檢測(cè)是不定期進(jìn)行的,且每次測(cè)試的時(shí)間為隨機(jī)變量.基于陀螺儀測(cè)試的時(shí)間數(shù)據(jù)以及每次測(cè)試的時(shí)長(zhǎng)數(shù)據(jù),利用極大似然估計(jì)即可以得到式(6)中參數(shù)γ所服從的正態(tài)分布為N(0.2916,0.05642).

圖1 不同時(shí)間尺度下陀螺儀的漂移系數(shù)Fig.1 Gyroscopic drifts under different time scales

受篇幅限制,本文僅給出#3陀螺儀退化軌跡的相關(guān)結(jié)果.首先,利用所提極大似然估計(jì)方法計(jì)算模型中的未知參數(shù),所得結(jié)果如表1所示.時(shí)間尺度t下未知參數(shù)的似然函數(shù)明顯大于時(shí)間尺度τ下的似然函數(shù),這是因?yàn)橥勇輧x的性能退化主要是由于通電測(cè)試引起的.進(jìn)一步對(duì)比表1中的數(shù)據(jù)可知,雙時(shí)間尺度下退化模型中未知參數(shù)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)更大,而時(shí)間尺度τ下AIC準(zhǔn)則只略大于雙時(shí)間尺度下的AIC.因此,綜合兩個(gè)指標(biāo),雙時(shí)間尺度模型能夠更好地?cái)M合陀螺儀的退化軌跡.

基于表1中的參數(shù)估計(jì),可計(jì)算雙時(shí)間尺度下該陀螺儀的壽命分布,所得結(jié)果如圖2所示.需要說(shuō)明的是,為了得到該陀螺真實(shí)的失效時(shí)間,這里選擇的是該陀螺最后一次測(cè)試的漂移值作為失效閾值,即w=0.2516,而不是文獻(xiàn)[15]所設(shè)定的w=0.5.這并不影響實(shí)驗(yàn)的效果.圖2中壽命的PDF考慮了兩個(gè)時(shí)間尺度之間的隨機(jī)關(guān)系,故相較于單時(shí)間尺度下一維的壽命PDF,圖2能夠提供更多的壽命分布信息.

表1 #3陀螺儀的模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果Table 1 Estimated parameters based on degradation path#3

此外,利用式(20)和式(21)計(jì)算該陀螺儀RUL在單個(gè)時(shí)間尺度t下的PDF,并利用類(lèi)似的方法計(jì)算單個(gè)時(shí)間尺度τ下陀螺儀的剩余壽命的分布.同時(shí),為了量化比較雙時(shí)間尺度和單時(shí)間尺度下剩余壽命預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性,引入均方誤差(Mean squared error,MSE)指標(biāo).該指標(biāo)既考慮了RUL預(yù)測(cè)值的準(zhǔn)確性,又考慮了RUL分布的不確定性,是RUL預(yù)測(cè)中最常用的指標(biāo).其定義為

圖2 雙時(shí)間尺度下陀螺儀壽命的PDFFig.2 PDF of gyroscope#3 under bivariate time scale

圖3(a)和圖3(b)分別給出了時(shí)間尺度t下通過(guò)雙時(shí)間尺度和單時(shí)間尺度得到的設(shè)備RUL的PDF,即剩余貯存壽命的PDF.容易看出,通過(guò)雙時(shí)間尺度得到的結(jié)果,即考慮貯存過(guò)程中測(cè)試對(duì)性能退化的影響時(shí),得到的RUL的PDF更緊致,說(shuō)明預(yù)測(cè)的不確定性更小,準(zhǔn)確度更高.從圖4中的MSE結(jié)果,能看出通過(guò)雙時(shí)間尺度得到RUL估計(jì)的MSE明顯小于通過(guò)單時(shí)間尺度得到的結(jié)果,進(jìn)一步證實(shí)了所提方法的準(zhǔn)確性.

圖3 時(shí)間尺度t下陀螺儀RUL的PDFFig.3 PDF of RUL under time scale t

圖4 儲(chǔ)存時(shí)間尺度下M1和M2下剩余壽命預(yù)測(cè)的MSEFig.4 MSE comparison of M1and M2under time scale t

在時(shí)間尺度τ下,兩種方法得到陀螺儀RUL的PDF分別如圖5(a)和圖5(b)所示.整體而言,圖5中的PDF曲線(xiàn)相比于時(shí)間尺度下的結(jié)果更緊致.因?yàn)橥勇輧x的退化主要是由于通電測(cè)試引起的,通電時(shí)間與退化過(guò)程的相關(guān)程度更高.圖6中MSE遠(yuǎn)小于圖4中的結(jié)果.對(duì)比圖5(a)與圖5(b)可知,在時(shí)間尺度τ下,通過(guò)雙時(shí)間尺度得到的RUL估計(jì)更準(zhǔn)確,由雙時(shí)間尺度得到的RUL對(duì)應(yīng)的MSE明顯小于通過(guò)單個(gè)時(shí)間尺度得到結(jié)果.

綜合以上分析結(jié)果,基于雙時(shí)間尺度退化建模的RUL預(yù)測(cè)方法有兩個(gè)明顯優(yōu)點(diǎn).1)該方法考慮了不同時(shí)間尺度之間的隨機(jī)關(guān)系,能提供更全面的設(shè)備壽命信息;2)預(yù)測(cè)結(jié)果能較方便地將轉(zhuǎn)化到單時(shí)間尺度下,且轉(zhuǎn)化后的結(jié)果比基于單時(shí)間尺度退化模型的預(yù)測(cè)方法精度更高.

5 結(jié)論

針對(duì)工程實(shí)際中一類(lèi)性能變化過(guò)程與兩個(gè)時(shí)間尺度相關(guān)聯(lián)的隨機(jī)退化設(shè)備,本文提出了一種基于Wiener過(guò)程的雙時(shí)間尺度隨機(jī)退化建模與RUL估計(jì)方法.通過(guò)隨機(jī)系數(shù),刻畫(huà)時(shí)間尺度之間的不確定關(guān)系.在首達(dá)時(shí)間意義下,推導(dǎo)了雙時(shí)間尺度下設(shè)備壽命和RUL的分布,給出了基于設(shè)備歷史觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的模型參數(shù)極大估計(jì)方法.陀螺儀RUL預(yù)測(cè)的實(shí)例應(yīng)用結(jié)果表明,所提方法不僅能提供更全面的RUL分布信息,而且預(yù)測(cè)結(jié)果能方便地轉(zhuǎn)換到單時(shí)間尺度下,并有效提高單時(shí)間尺度下RUL預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性.

圖5 時(shí)間尺度τ下陀螺儀RUL的PDFFig.5 PDF of RUL under time scale τ

圖6 檢測(cè)時(shí)間尺度下M1和M2下剩余壽命預(yù)測(cè)的MSEFig.6 MSE comparison of M1and M2under time scale τ

雖然所提出方法較之前的方法有一定的改進(jìn),但仍有一些問(wèn)題值得進(jìn)一步研究.1)基于Wiener過(guò)程的模型一般適合對(duì)非單調(diào)退化過(guò)程進(jìn)行建模,而工程實(shí)際中也存在大量的非單調(diào)的隨機(jī)退化過(guò)程,因此，可以采用與本文類(lèi)似的思路,構(gòu)建基于Gamma過(guò)程或者逆高斯過(guò)程的雙時(shí)間尺度退化模型;2)雖然目前文獻(xiàn)中提出了一些將非線(xiàn)性退化過(guò)程轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性化模型進(jìn)行分析的方法,但工程實(shí)際中存在一些難以線(xiàn)性化的退化過(guò)程,因此,有必要在非線(xiàn)性化框架下將所提的雙時(shí)間尺度退化模型進(jìn)行擴(kuò)展;3)工程實(shí)際中可能既有離散的時(shí)間尺度(例如充放電次數(shù)、循環(huán)次數(shù)等),又有連續(xù)的時(shí)間尺度(例如自然時(shí)間、儲(chǔ)存時(shí)間等),如何描述不同時(shí)間尺度之間的關(guān)系,并將其融入到雙時(shí)間尺度退化模型中值得進(jìn)一步研究;4)雙時(shí)間尺度的失效數(shù)據(jù)分析模型是存在的,現(xiàn)實(shí)中有一些系統(tǒng)同時(shí)有失效數(shù)據(jù)和退化數(shù)據(jù),如何對(duì)在雙時(shí)間尺度下實(shí)現(xiàn)對(duì)失效數(shù)據(jù)和退化數(shù)據(jù)的聯(lián)合分析,有待進(jìn)一步考慮.

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