☉江蘇張家港市南沙中學(xué) 嚴(yán)君華

特例引路以退為進(jìn)，逆向思考深化理解
——以一道幾何難題的思路突破為例

☉江蘇張家港市南沙中學(xué) 嚴(yán)君華

平面幾何內(nèi)容不斷刪減，不少地區(qū)的各級(jí)考試對(duì)平面幾何的要求也一降再降，加上高中階段對(duì)平面幾何要求也不太高（競(jìng)賽除外），所以不少地區(qū)如果缺少競(jìng)賽的引領(lǐng)，一些高層次學(xué)生鮮有機(jī)會(huì)接觸或挑戰(zhàn)平面幾何難題，這也是一種遺憾.筆者近來關(guān)注到北京海淀區(qū)八年級(jí)上學(xué)期一道期末試卷中的把關(guān)題，就是以平面幾何難題作為壓軸，并且設(shè)計(jì)了一些提示情境，使得問題的探究有了一些啟示和方向.筆者選用該題作為復(fù)習(xí)階段的一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課素材，并進(jìn)行了一些開發(fā).本文主要呈現(xiàn)這道幾何難題及思路突破，并跟進(jìn)教學(xué)思考，供分享.

一、一道幾何難題的思路突破

幾何難題：在△ABC中，AB=AC≠BC，點(diǎn)D和點(diǎn)A在直線BC的同側(cè)，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β= 120°，連接AD，求∠ADB的度數(shù).

思路突破歷程：這道平面幾何題沒有圖形，也難以找不到一個(gè)突破方向，沒有一個(gè)合理的出發(fā)點(diǎn)，所以我們想到先從特殊情形入手，試圖通過“特例引路”獲得啟示.

特例引路：當(dāng)α=90°、β=30°時(shí)（如圖1），利用軸對(duì)稱知識(shí)，以AB為對(duì)稱軸構(gòu)造△ABD的軸對(duì)稱圖形△ABD′，連接CD′（如圖2），容易得出∠D′BA=∠ABD=15°，于是∠D′BC=60°，進(jìn)而可利用“一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形”證得△D′BC是等邊三角形.于是再利用△AD′B≌△AD′C可求出∠BD′A=∠BD′C=30°，即∠ADB=30°.

圖1

圖2

獲得方向：由上面的“特例引路”我們可得大致突破方向，試圖通過構(gòu)造翻折、證出等邊三角形實(shí)現(xiàn)問題的突破.考慮到圖2中等邊三角形的位置，我們需要對(duì)△ABC的不同形狀進(jìn)行分類討論.

第一種情況：當(dāng)60°＜α≤120°時(shí)，如圖3，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，連接CD′、AD′.

第二種情況：當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，注意，如圖4，此時(shí)點(diǎn)D的位置不同于圖3，因?yàn)橐獫M足“α+β=120°”.仍然利用基于對(duì)稱，翻折△ABD，可作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，連接CD′、AD′.

圖3

圖4

綜上，當(dāng)60°＜α≤120°時(shí)，∠ADB=30°；當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，∠ADB=150°.

解后回顧：到此，我們成功解決了上面這道無圖的平面幾何難題，在沒有圖形的前提下，無從下手，然后基于“特例引路”獲得求解方向，還需要分類討論考慮不同形狀的△ABC，并獲得兩種可能的度數(shù).

二、平面幾何解題教學(xué)的一些思考

1.重視根據(jù)題意構(gòu)圖能力的培養(yǎng).

當(dāng)前各級(jí)考試、教材中無圖的幾何題占比很低，偶爾出現(xiàn)一道無圖幾何題，很多學(xué)生會(huì)“中招”出錯(cuò).這說明學(xué)生根據(jù)題意構(gòu)圖的能力還不容樂觀，也啟示我們要重視幾何構(gòu)圖能力的培養(yǎng).事實(shí)上，平面幾何能力中一個(gè)重要方面就是讀句畫圖（作圖），并且由精準(zhǔn)的幾何語言作出對(duì)應(yīng)的幾何圖形或所有可能的幾何圖形，這也就是上文中我們構(gòu)思出不同的圖形，進(jìn)行分類討論的原因所在.

2.幾何難題破解時(shí)向?qū)W生傳遞“特例引路”的解題方法.

華羅庚先生曾說：“數(shù)學(xué)解題，要善于退，退到最初狀態(tài)來思考問題.”這里“退”是“以退為進(jìn)”策略，也就是退到特殊情形，思考問題的可能思路，或在特例情況下問題的答案有怎樣的特性，這種特性對(duì)于探究未知、探究一般是否有啟示作用，并讓這種啟示作為明燈，引導(dǎo)我們走上正確的解題方向.當(dāng)然，“特例引路”策略，對(duì)于選擇或填空這樣的客觀題型，更有著十分快捷的求解效率，靈活將問題特殊化，退到最方便運(yùn)算、最有利于思考的特殊圖形中，往往可快速看出答案.

三、寫在后面

授人以魚不如授人以漁.我們關(guān)于一道幾何難題的思路探討及教學(xué)思考也是超越某道具體習(xí)題的求解，走向一類方法或策略的教學(xué)，想來這也是所謂“教學(xué)深度”的一種追求吧.

1.張玉萍.把問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)——由曹才翰先生的一篇評(píng)課文獻(xiàn)說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（12）.

2.陳蓓蓓.例說幾何定理教學(xué)的層次——由傅種孫先生數(shù)學(xué)教育思想說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（12）.

3.馬公仕.靠近“最近發(fā)展區(qū)”，聚焦初中幾何特點(diǎn)——以七年級(jí)“直線、射線、線段”教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（3）.

4.傅種孫.平面幾何教本［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，1982.