☉重慶綦江區(qū)三江中學(xué) 雍思賢

聚焦概念本質(zhì)，增強作圖實效
——基于“三角形的高”的教學(xué)研究

☉重慶綦江區(qū)三江中學(xué) 雍思賢

醫(yī)生的功夫在臨床，教師的功夫在課堂.課堂是教育教學(xué)的主陣地，是課改的出發(fā)點.要想增強課堂教學(xué)的有效性，首先得深入課堂，對典型教學(xué)案例進行調(diào)查研究，從而悟出行之有效的教學(xué)良策.

一、分析現(xiàn)狀，確立主題

學(xué)生盡管在小學(xué)階段學(xué)過三角形高的概念與畫法，但到初中再次學(xué)習(xí)人教版第11章“三角形的高、中線與角平分線”一課時，對三角形高的作圖仍舊掌握不好.教學(xué)本課前，我隨機抽取了100名八年級學(xué)生，對其學(xué)習(xí)基礎(chǔ)進行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在畫鈍角三角形的高時很容易出錯（如圖1）.

圖1

如何增強“三角形的高”的作圖實效呢？由教科室主任牽頭的研究小組決定對本課題開展研究.

二、描述案例，剖析錯因

（一）深入課堂，了解情況.

研究小組首先來到初二（1）班對“三角形的高”的教學(xué)進行隨堂診斷.

師：在小學(xué)我們學(xué)過了三角形的高，什么是三角形的高呢？如圖2，從△ABC的頂點A向它所對的邊BC所在直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫作△ABC的邊BC上的高.

圖2

圖3

師：剛才我們畫出了BC邊上的高，讓我們一起來畫AB、AC邊上的高.

師：剛才所畫的三條高有什么特點呢？

生：三條高交于一點.

師：這個交點的位置在哪里？

生：三角形內(nèi)部.

師：類比銳角三角形，你能畫出直角三角形和鈍角三角形的三條高嗎？

師生活動：師生共同作圖，并觀察三條高的相交情況.

圖4

教學(xué)結(jié)束后，研究小組當(dāng)堂對全班50名學(xué)生進行檢測：請畫出如圖3所示的△ABC中AB邊上的高CD，調(diào)查結(jié)果如圖4所示.

縱觀圖1和圖4，學(xué)生對“三角形的高”的作圖能力并未得到明顯提升.

（二）反思教學(xué)，初探原因.

課后評課時，執(zhí)教老師疑慮重重：為什么教學(xué)效率如此低下？研究小組的老師認為：教師與學(xué)生一同作圖，起到了很好的示范作用；但本案未能充分體現(xiàn)新課程理念，原因如下：

1.教學(xué)設(shè)計粗糙.

本案只觀察了三角形三條高的相交情況，并未指出三條高的具體位置.這樣的設(shè)計過于簡單，缺乏啟發(fā)性，不能很好地培養(yǎng)學(xué)生的思維.

2.教學(xué)方法機械.

課堂上，教師基本上在單向傳輸，學(xué)生在機械模仿，缺乏良好的師生互動和生生交流環(huán)節(jié)，這樣的教學(xué)無法體現(xiàn)學(xué)生的主體地位.

為此，教科室主任介紹了教學(xué)設(shè)計多樣化的新方法和新要求，并組織大家學(xué)習(xí)了教學(xué)方法的新思路和新走向.

圖5

（三）分析錯題，再探原因.

參考了研究小組的意見，初二（1）班的數(shù)學(xué)老師優(yōu)化了教學(xué)設(shè)計，改進了教學(xué)方法，用修訂后的教學(xué)方案在初二（2）班再次實踐.本節(jié)課學(xué)生表現(xiàn)積極，課堂氣氛異?；钴S，效果如何呢？調(diào)查題目為：先作圖3所示的△ABC中AB邊上的高CD，再寫出作圖過程.由圖5可知：學(xué)生對鈍角三角形高的作圖水平依舊不高，對三類三角形高的作法描述正確率也很低.研究小組對問卷進行詳細分析，從中篩選出典型錯誤，如圖6、圖7所示.

圖6

圖7

由圖6可知：學(xué)生有作AB邊垂線的意識，但不能按要求畫出垂線段；由圖7知：學(xué)生不知道過哪個頂點作哪條邊上的垂線段.

什么原因造成學(xué)生作圖能力如此低下呢？顯然是不重視概念的教學(xué).比如，教學(xué)三角形的高的概念時，教師拘泥于教材（人教版八年級上冊第4頁），借助學(xué)生早已熟悉的“銳角三角形”（如圖2）這個模型來引入概念，沒有讓學(xué)生用自己的語言歸納概念，沒有讓學(xué)生充分挖掘概念的本質(zhì)屬性，也不重視對概念的鞏固和深化過程的教學(xué).

三、針對問題，提供策略

（一）加強鋪墊，夯實基礎(chǔ).

三角形的高涵蓋了垂線的概念和垂線的基本作法，教學(xué)中必須從這兩方面進行鋪墊.

1.深入理解垂線的概念.

兩條直線相交，如果有一個角是直角，則這兩條直線互相垂直.兩線垂直包含六種情形：兩條直線垂直、兩條線段垂直、兩條射線垂直、線段與射線垂直、線段與直線垂直、射線與直線垂直，即都指它們所在直線互相垂直.因此，畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線.

2.熟練掌握垂線的畫法.

如何過一點作已知直線的垂線呢？用尺規(guī)作圖法畫圖速度慢，只需用直角三角板即可.畫垂線段的要領(lǐng)是：一“靠”（用直角三角板的一條直角邊去靠住已知直線，使二者恰好重合），二“推”（移動三角板，使三角板的另一條直角邊與已知點重合），三“畫”（連接已知點與直角頂點，即可得到垂線段）.

為使學(xué)生能熟練地畫垂線，可以設(shè)計相應(yīng)的練習(xí)：如圖8，過點P畫線段AB或射線AB的垂線.教師可進一步追問：“這樣的垂線有幾條？為什么？”這樣，學(xué)生在作垂線的同時還能充分感悟垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

圖8

（二）利用微課，講解概念.

集“短”“小”“精”“悍”于一身的微課，既能查漏補缺又能強化鞏固知識，是傳統(tǒng)課堂學(xué)習(xí)的重要補充和拓展資源.為了使學(xué)生能正確理解三角形的高的概念，可輔以微課進行教學(xué)，其腳本可以表述為：從三角形一個頂點向它的對邊作一條垂線，三角形頂點和垂足之間的線段稱為三角形這條邊上的高.由定義知：三角形的高是一條線段，就是從三角形的一個頂點向它對邊所作的垂線段.過哪一個點作哪條已知直線的垂線段呢？一個三角形有三條高，如在△ABC中，有AB邊上的高，AC邊上的高，BC邊上的高.當(dāng)作△ABC的AB邊上的高時，A、B已經(jīng)是△ABC的兩個頂點，則過第三個頂點C（AB邊所對角的頂點）作AB邊的垂線段；當(dāng)作AC邊上的高時，則過AC邊所對角的頂點B作AC邊的垂線段；若作BC邊上的高，則過BC邊所對角的頂點A作BC邊的垂線段.總之，過一個頂點作余下兩個頂點所在邊的垂線段即可得到三角形的高.

（三）注重變式，鞏固概念.

1.變式教學(xué)的重要性.

變式教學(xué)是指教師有目的、有計劃地合理轉(zhuǎn)化命題，通過更換命題中的非本質(zhì)特征，變換問題的條件與結(jié)論，或者轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容與形式的方法，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性，并在變化中內(nèi)化數(shù)學(xué)知識且發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律.數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映.數(shù)學(xué)變式教學(xué)有利于學(xué)生抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，有利于學(xué)生更好地理解概念的內(nèi)涵和外延.

2.變式教學(xué)的設(shè)計.

（1）新課引例特殊化.

眾所周知，人們對客觀事物的反映容易受其原有知識結(jié)構(gòu)的影響.學(xué)生第一次學(xué)習(xí)三角形的高的相關(guān)概念時，教材都從常規(guī)的“銳角三角形”開始研究.如此教學(xué)，學(xué)生往往會形成“所有三角形的高都在三角形的內(nèi)部”的思維定式.因此，教學(xué)中可以打破常規(guī)，先用鈍角三角形來引入“三角形的高”的學(xué)習(xí).如此教學(xué)，更容易讓學(xué)生理解三角形高的概念，從而根據(jù)概念正確作圖.

（2）練習(xí)設(shè)計多樣化.

①分類練習(xí)，感知概念.

為了幫助學(xué)生突破三角形的高都在三角形內(nèi)部的思維定式，采取依次作鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形的高的辦法來引入高的概念.如圖9，請作出△ABC中BC邊上的高AD.

圖9

圖10

②重點練習(xí)，強化概念.

如圖10，在△ABC中，∠A＞90°，請作出△ABC的三條高AD、BE、CF，并觀察三條高所在的位置.

③反例練習(xí)，辨析概念.

如圖11，BD是△ABC的高嗎？為什么？

圖11

圖12

④綜合練習(xí)，深化概念.

如圖12，在△ABC中，BD⊥AB于點B，BE⊥AC于點E.請畫出鈍角△BCD的高，再想一想：BD是△ABC的高嗎？BE是哪個三角形的高？

由美國心理學(xué)家桑代克的“試誤說”理論可知：學(xué)習(xí)是不斷嘗試錯誤并不斷改正錯誤的過程.因此，教學(xué)中恰當(dāng)使用正例的同時，可以提供適當(dāng)?shù)姆蠢?，讓學(xué)生在“嘗試與錯誤”中不斷改進，從而達到鞏固概念和深化概念的目的.

（四）運用幾何畫板，升華概念.

在計算機上用幾何畫板軟件任意畫出一個三角形（先畫銳角三角形），畫出它的三條高，請仔細觀察這個銳角三角形的三條高的數(shù)量、位置及交點情況，你有什么發(fā)現(xiàn)？然后隨意改變?nèi)切蔚男螤睿ㄗ兂芍苯侨切位蜮g角三角形），看看這個規(guī)律是否改變，并完成表1的填寫.

表1

找準(zhǔn)對策后，初二（1）班的數(shù)學(xué)老師來到初二（3）班再次“演練”，其教學(xué)效果相當(dāng)不錯：全班50人中有49人能夠按要求畫垂線，正確率達到了98%.

由此可見，要想增強數(shù)學(xué)作圖的實效性，首先得認真研讀數(shù)學(xué)教材，透徹理解相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，加強學(xué)科本體性知識的教學(xué).

1.張秋南.數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實踐［J］.師道·教研，2014（4）.

2.郝世波.變式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2015（Z3）.