蔣耀萱

天津財(cái)經(jīng)大學(xué)

正態(tài)分布的起源與發(fā)展

蔣耀萱

天津財(cái)經(jīng)大學(xué)

中外古今，人類從未停止對(duì)“對(duì)稱美”的追尋。對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中這個(gè)形狀優(yōu)雅、簡(jiǎn)潔漂亮的對(duì)稱鐘形曲線也不例外，即是當(dāng)今應(yīng)用最為廣泛的連續(xù)概率分布——正態(tài)分布。本文結(jié)合國(guó)內(nèi)學(xué)者研究成果，以狄美孚、高斯、麥克斯維爾和高爾頓四個(gè)主人公的故事為依托，梳理了正態(tài)分布的早期歷史，來(lái)揭開(kāi)她的神秘面紗。

正態(tài)分布；鐘形曲線；概率分布；早期歷史

一、引言

實(shí)際問(wèn)題中涉及的隨機(jī)變量大都服從正態(tài)分布，這個(gè)近似“中間高，兩頭低”的對(duì)稱鐘形分布，憑借其普遍的適用性，占據(jù)了各種概率分布中的首要地位。正態(tài)分布又名高斯分布，以紀(jì)念曾一度被認(rèn)為第一個(gè)提出它的高斯，不過(guò)另外一個(gè)說(shuō)法，正態(tài)分布是1733年狄美孚率先提出來(lái)的概念，因?yàn)楦咚故状卧谔煳膶W(xué)的探索中運(yùn)用了正態(tài)分布，并且研究了它的性質(zhì)，所以后人又稱其為高斯分布。正態(tài)曲線雖然看上去很美，但它的出現(xiàn)到成為統(tǒng)計(jì)學(xué)中概率模型的理論基礎(chǔ)經(jīng)歷了數(shù)百年。從表現(xiàn)形式來(lái)看，正態(tài)分布既為概率論所有，又是統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論基礎(chǔ)，因此它的出現(xiàn)與應(yīng)用對(duì)后世有著重要的意義。

本文以正態(tài)分布的歷史發(fā)展為線索，以狄美孚、高斯、麥克斯維爾和高爾頓四個(gè)主人公為依托，對(duì)正態(tài)分布的早期發(fā)展過(guò)程中代表人物及其重要工作做出了梳理與總結(jié)。

二、正態(tài)分布的理論介紹

正態(tài)分布函數(shù)密度曲線可以表示為：稱x服從正態(tài)分布，記為，其中為均值，為標(biāo)準(zhǔn)差，。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布令正態(tài)分布的為0，為1。

正態(tài)分布函數(shù)密度曲線特征：①曲線的高峰處在均數(shù)處正中位置。②正態(tài)分布函數(shù)密度曲線以均數(shù)為基準(zhǔn)左右兩邊對(duì)稱。③正態(tài)分布函數(shù)密度曲線有兩個(gè)參數(shù)，即均數(shù)()和標(biāo)準(zhǔn)差()。④正態(tài)分布函數(shù)密度曲線下面積的總和為1。

三、正態(tài)分布的起源與發(fā)展

(一)狄美孚與中心極限定理

通過(guò)陳希孺先生的《數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)簡(jiǎn)史》，可以了解到正態(tài)分布的密度形式首次發(fā)現(xiàn)是在狄美孚-拉普拉斯的中心極限定理中。如此，我們就引入正態(tài)分布史上的首位主人公——狄美孚。

亞伯拉罕·狄美孚于1667年出生在法國(guó)。1733年的一天，狄美孚和幾位朋友探討自己的一篇7頁(yè)紙論文，在采納了朋友們意見(jiàn)的基礎(chǔ)上做了完善，最后這篇文字錄入在《機(jī)遇論》(第2版)的書(shū)中，也是此篇文章，狄美孚第一次推導(dǎo)出正態(tài)概率曲線表達(dá)式。追溯1730 年的《分析雜論》中出現(xiàn)的斯特靈公式，但毫無(wú)疑問(wèn)是狄美孚首先發(fā)現(xiàn)的，狄美孚于1733年用它來(lái)得到二項(xiàng)分布的漸進(jìn)分布——正態(tài)分布。1774年，拉普拉斯首先證明了，并開(kāi)始推廣狄美孚的結(jié)果，用較一般的形式構(gòu)建中心極限定理，也就是如今的狄美孚-拉普拉斯中心極限定理。

(二)高斯與觀測(cè)誤差分布

進(jìn)入18 世紀(jì)，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，致使天文學(xué)變得數(shù)學(xué)化起來(lái)。谷神星的出現(xiàn)，我們故事的第二個(gè)主人公高斯登場(chǎng)。

高斯于1777年出生在德國(guó)，以數(shù)學(xué)享譽(yù)世界，堪稱近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，后人們稱其為“數(shù)學(xué)王子”。他在1809年出版了《天體繞日運(yùn)動(dòng)理論》一書(shū)，書(shū)中結(jié)尾介紹了一章關(guān)于“數(shù)據(jù)結(jié)合”的問(wèn)題，用在人們意料之外的方法證明出了觀測(cè)誤差也服從正態(tài)分布，依據(jù)最大后驗(yàn)概率論證了觀測(cè)參數(shù)的估計(jì)值就是算術(shù)平均值。對(duì)于如何解決誤差分布，高斯通過(guò)拉普拉斯在1774年得到的結(jié)論，算出了誤差分布的密度是：，從此高斯提出了誤差正態(tài)分布，同中心極限定理的一般形式及最小二乘法的出現(xiàn)，對(duì)后世產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，所以后人又稱其為高斯分布。

(三)麥克斯維爾與氣體分子運(yùn)動(dòng)速度分布

20世紀(jì)正態(tài)分布被概率學(xué)家們?cè)酵卦綄?，而后?shù)學(xué)家和物理學(xué)家們發(fā)現(xiàn)：條條曲徑通正態(tài)。接下來(lái)，我們介紹故事的第三位主人公。

麥克斯維爾(1831.6.13—1879.11.5)，英國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，在蘇格蘭愛(ài)丁堡出生，在劍橋去世。他不僅在經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)有所建樹(shù)，而且是創(chuàng)立氣體動(dòng)理論的學(xué)者之一，還在統(tǒng)計(jì)物理和熱力等學(xué)科為人類科學(xué)發(fā)展作出突出的貢獻(xiàn)。1860年，麥克斯維爾在考慮氣體分子的運(yùn)動(dòng)速度分布的時(shí)候，在三維空間中推導(dǎo)出了氣體分子運(yùn)動(dòng)的分布是正態(tài)分布，這個(gè)三維正態(tài)分布就是三個(gè)正態(tài)分布的乘積，這就是麥克斯維爾-波爾茲曼氣體速率分布定律。

(四)高爾頓與二元正態(tài)分布

統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門(mén)研究其它學(xué)科的方法論。麥克斯維爾把統(tǒng)計(jì)學(xué)引用到物理學(xué)，下面我們第四位主人公則最早把統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用于生物學(xué)，他建立的回歸分析模型對(duì)英國(guó)的生物統(tǒng)計(jì)學(xué)派的崛起作出了重要貢獻(xiàn)。

弗朗西斯·高爾頓于1822年2月16日在英國(guó)拉杰斯出生。美國(guó)心理學(xué)家曾估算其幼年時(shí)的智商接近200。高爾頓在學(xué)術(shù)上遍地開(kāi)花，以至于人頌“維多利亞式的天才”。高爾頓首先發(fā)現(xiàn)親子兩代身高數(shù)據(jù)服從同一正態(tài)分布，進(jìn)而通過(guò)“正態(tài)漏斗”實(shí)驗(yàn)、“種豌豆”試驗(yàn)兩個(gè)類比實(shí)驗(yàn)解決了前期存在的一些困惑。1884年，高爾頓設(shè)立了“人體測(cè)量實(shí)驗(yàn)室”，利用收集的數(shù)據(jù)繪成二維圖來(lái)得到關(guān)于的二維分布，以期發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因。后來(lái)通過(guò)狄克遜的幫助，高爾頓得到了二維正態(tài)分布的答案。

四、總結(jié)

通過(guò)狄美孚、高斯、麥克斯維爾和高爾頓四個(gè)主人公的故事，正態(tài)分布早期歷史的神秘面紗就揭開(kāi)了，穿越百年歷史，從最初被發(fā)現(xiàn)到被人們重視，到構(gòu)成統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論基礎(chǔ)，正態(tài)分布曲線展示在世人面前，等候不同領(lǐng)域?qū)W者們的召喚。作為統(tǒng)計(jì)人，希望通過(guò)正態(tài)分布早期歷史的梳理與總結(jié)，讓人們認(rèn)識(shí)正態(tài)分布的起源與發(fā)展，和其特有的雙重理論背景及重要價(jià)值。

[1]陳希孺.數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)簡(jiǎn)史[M].長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2000：28-156.

[2]于忠義.高斯與觀測(cè)誤差分布的發(fā)現(xiàn)[J].統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2006，11.

[3]Maxwell.Illustrations of the dynamical theory of gases[J].Philosophical Magazine，1860，7：378~409.

蔣耀萱(1992—)，男，漢族，天津人，天津財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)碩士研究生，研究方向：金融風(fēng)險(xiǎn)管理。