☉重慶大渡口區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 廖帝學(xué)

背景分析透靈感自然來(lái)

☉重慶大渡口區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 廖帝學(xué)

一、原題呈現(xiàn)

下面這道題來(lái)自2016年4月重慶市巴南區(qū)中考適應(yīng)性考試試題.

如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.若AD=9，DC=8，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)___________.

圖1

二、問(wèn)題“背景”分析及解法展示

1.對(duì)題目的初步研判.

原題所給條件簡(jiǎn)潔，數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單，圖形清新，其中的“半角模型”給人以似曾相識(shí)之感.高中數(shù)學(xué)有“兩角和的正切公式”，我們知道：若α、β均為銳角則α+β=45°.此題我們不妨可以看作這一背景知識(shí)在初中的應(yīng)用.稍加思考，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)BE=4、DF= 3時(shí)即可滿足要求，此時(shí)CE=CF=5，EF的長(zhǎng)為

但是，這是教師以“高觀點(diǎn)”分析問(wèn)題“背景”從而快速地得出了題目的答案.從這里我們也可以看出，解題思路的形成、解題方法的獲得與解題者的知識(shí)儲(chǔ)備、解題經(jīng)驗(yàn)的積累關(guān)系很大.一般的初中生是斷然不會(huì)用這種方法解決此題的.

命題者怎樣命制此題的呢？命題者期望的解法是什么呢？下面讓我們一起來(lái)看一道中考試題.

（2015·福建三明市中考題）在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.

圖2

圖3

（1）將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG（如圖2），求證：△AEG≌△AEF；

（2）若直線EF與AB、AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)M、N（如圖3），求證：EF2=ME2+NF2；

（3）將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖4），請(qǐng)你直接寫出線段EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系.

圖4

圖5

相信我們能夠看出來(lái)，將這道中考題的第（3）問(wèn)提取出來(lái)就是我們前面呈現(xiàn)的“原題”.由于有第（1）（2）兩問(wèn)的鋪墊，將圖4按圖3的方式補(bǔ)成圖5，易得EF2=2BE2+ 2DF2.當(dāng)AD=9，DC=8時(shí)，設(shè)CE=CF=x，則BE=9-x，DF=8-x，則2x2=2（8-x）2+2（9-x）2，解得x1=5，x2=29（舍去），故EF的長(zhǎng)為

事實(shí)上，我們還知道，EF2=ME2+NF2這個(gè)結(jié)論的得來(lái)，既可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)，也可以通過(guò)翻折得到，如圖6、圖7所示.

圖6

圖7

的確，如果解題者能夠迅速發(fā)現(xiàn)原題的這些“背景”，解答此題應(yīng)該較輕松.但是，畢竟原題并沒(méi)有為我們作太多鋪墊.面對(duì)此題，不是每一個(gè)人都會(huì)這樣思考，就算按這樣的思路思考也不一定能發(fā)現(xiàn)此題的本源.從“在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°”這些簡(jiǎn)單“背景”出發(fā)，解題者會(huì)從哪些方向思考呢？下面來(lái)看原題的其他解法.

2.原題的其他解法展示.

原題中，結(jié)合大家都熟識(shí)的“半角模型”，若AB=AD，“旋轉(zhuǎn)”就有可能.但題目中AB和AD偏偏不相等.是否可以旋轉(zhuǎn)呢？

解法1：如圖8，將△AFD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G.連接GE.易得△AGE≌△AFE.設(shè)CE=CF=x，在Rt△EGH中，由勾股定理，可得（，解得符合條件的x的值為5.

圖8

圖9

當(dāng)然，條件中的“∠EAF=∠CEF=45°”給人很大的想象空間，圍繞著它我們還可以得到下面幾種解法.

解法2：如圖9，作∠BAD的平分線分別交EF、BC、DC的延長(zhǎng)線于M、G、N.易得△AEM∽△AFD，△ABE∽△AMF.設(shè)CE=CF=x，則，整理得x2-34x+145=0，解得x1=5，x2=29（舍去），故

解法3：如圖10，作BE=BG，DH=DF，易證△EGA∽△AHF.所以，解得符合條件的x的值為5.

圖10

解法4：如圖11，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AF于H.易知∠1=∠2，所以△ABE∽△EHF.設(shè)CE=x，EH=y，由又因?yàn)樵赗t△ABE中，由勾股定理，得，同樣可得符合條件的x的值為5.

圖11

圖12

解法5：如圖12，EF所在直線與AB、AD的延長(zhǎng)線分別交于M、N.過(guò)A作AH⊥EF于H.易證△AHE∽△ADF，△ABE∽△AHF，則所以則AH.設(shè)CE=x，則AM=AN= 17-x.由

三、“背景”分析透，“靈感”自然來(lái)

一道看似不甚起眼的“小題”有多種不同的解法，類似的現(xiàn)象在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中并不鮮見(jiàn).“你為什么要這么解呢？”“你是怎么想到這種解法的呢？”面對(duì)每一種解法，我們總喜歡這樣去詢問(wèn)解答者.而解答者的回答中，最愛(ài)說(shuō)的就是：靈感.

什么是靈感？在數(shù)學(xué)教育家中對(duì)它的論述較多的當(dāng)推波利亞.散見(jiàn)于他的著作中的許多片斷表明，他相信并重視靈感.他的《怎樣解題》一書的中心思想就是談解題過(guò)程中如何誘發(fā)靈感.他說(shuō)，在解題活動(dòng)中我們要設(shè)法“預(yù)測(cè)到解，或解的某些特征，或某一條通向它的路.如果這種預(yù)見(jiàn)突然閃現(xiàn)在我們的面前，我們就把它稱為有啟發(fā)性的想法或靈感.”

對(duì)于“靈感”，我們愛(ài)用“蹦出”“閃出”“闖進(jìn)”“一閃念”等來(lái)描述它，的確，“靈感”有它的自發(fā)性和隨機(jī)性.但是，事實(shí)上，“靈感”的得來(lái)絕對(duì)不是無(wú)緣無(wú)故.

波利亞在“怎樣解題表”中曾這樣提出：

你知道一個(gè)與此相關(guān)的問(wèn)題嗎？

試想出一個(gè)具有相同或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題.

你見(jiàn)過(guò)相同的題目或形式稍有不同的問(wèn)題嗎？

……

前述題目的每一種解法的得來(lái)或許都有靈感，但更多的仍是對(duì)題目條件、背景的深入分析之后的結(jié)果.從“45°”“矩形”等條件出發(fā)，從圖形的簡(jiǎn)潔、美觀出發(fā)，有的人聯(lián)想到了平時(shí)的“半角模型”，有的人想方設(shè)法構(gòu)造等腰直角三角形，有的人努力尋找相似三角形……這其實(shí)就是在“誘發(fā)靈感”.這個(gè)過(guò)程就是不斷變更問(wèn)題的探索過(guò)程.事實(shí)上，只要將題目的“條件”“背景”不斷變更、不斷探索，一旦分析透徹、到位了，“靈感”自然也就來(lái)了.可見(jiàn)，“背景”是靈感的誘因，而要獲得靈感，唯有正向的“探索”才是真正的捷徑.

1.李靜靜.利用網(wǎng)格構(gòu)造圖形求解三角函數(shù)值［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（中），2016（5）.

2.胡書軍等.解題思路的生成才是解題教學(xué)的重中之重［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2016（5）.

3.詹高晟，蘇德杰.一道中考試題的命制與感悟［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（11）.