☉江蘇江陰市第二中學(xué) 徐燕君

一道“偽坐標(biāo)題”的命題商榷與變式改編

☉江蘇江陰市第二中學(xué) 徐燕君

近年來，我們在《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）閱讀了不少命題商榷類的文獻(xiàn)，增長了見識，知道了中考題也不一定都是好題.比如，一類“偽坐標(biāo)系”的考題在不少文獻(xiàn)中多有批判，言之確鑿，看似函數(shù)問題，其實與函數(shù)圖像幾無關(guān)系，當(dāng)函數(shù)解析式求出之后，圖像上一些點的位置確定之后，就演變成幾何問題唱大戲.這類“偽坐標(biāo)系”問題在不少地區(qū)的考題中仍然頻繁上演.筆者近期就碰到一道中考?？季淼膲狠S題，也屬這類“怪怪的考題”.以下先概述這道考題及求解思路，并跟進結(jié)構(gòu)反思，最后給出命題商榷和命題改編，供研討.

一、考題講解與結(jié)構(gòu)反思

圖1

（1）求直線AB的解析式；

（2）設(shè)點P在直線AB上，△COP的周長最小時，求點P的坐標(biāo)；

（3）若拋物線的對稱軸與x軸交于點D，直線l經(jīng)過點D且與AB平行，點E在線段AD上運動（不與A、D重合），點F在直線l上運動，且∠BEF=60°，比較線段BE與EF的大小，并證明你的結(jié)論.

（2）根據(jù)軸對稱最小值模式（光線反射原理）可構(gòu)造圖2分析，取點C關(guān)于AB的對秒點C′，連接OC′，交AB于點P，則點P為所求.

圖2

接下來是如何求點P的坐標(biāo)，比如，走“解析路徑”是可以的，根據(jù)相似三角形（△COA∽△CHC′）可確定點C′的坐標(biāo)，接著可解出直線OC′的解析式x.聯(lián)立直線OC′和AB的解析式，即可得點P的坐標(biāo).

殊途同歸：也可走幾何相似法求出點P的坐標(biāo)，比如，構(gòu)造圖3，可獲得等邊三角形CEC′的結(jié)構(gòu)認(rèn)識，直線AB恰經(jīng)過等邊三角形的頂點E.利用△OAP∽△C′EP，結(jié)合相似比可求出點P的橫、縱坐標(biāo).

圖3

（3）先構(gòu)造圖4分析，線條繁多，思路較難獲得，我們可以確認(rèn)幾個信息：△ABD是等邊三角形，∠BDF=60°.

現(xiàn)在把圖形的無關(guān)線條刪減成圖5這樣的結(jié)構(gòu)：

在圖5中，等邊△ABD中，點E為AD邊上一點，∠BEF=60°，邊EF交△ABD的外角平分線于F.在AB邊上取一點G，構(gòu)造等邊三角形AGE，從而只要證△BEG≌△EFD即可實現(xiàn)問題突破.

圖4

圖5

解后反思：第（2）、（3）問分別對應(yīng)著兩個基本圖形，即：光線反射原理；等邊三角形為背景的一類全等問題.以下就是一類典型問題及其變式：

同類題鏈接：如圖6，已知△ABC與△CDE都是等邊三角形，點B、C、D在一條直線上，點P為直線BC上一動點，且∠APQ=60°，PQ交直線CE于點Q，連接AQ.

我們知道，當(dāng)點P在邊BC上、BC的延長線上時，都可證得△APQ是等邊三角形.

圖6

圖7

同類題拓展：如圖7，點A、B、E在同一直線上，作正方形ABCD、正方形BEMN，點P為AB邊上一點，連接PD，過點P作PQ⊥PD，交直線BM于點Q，一定有線段PD、PQ是相等的；如果連接DQ，則可證△PDQ是等腰直角三角形.

二、命題商榷與變式改編

1.偽坐標(biāo)系問題從表面上看是綜合考查，實則貌合神離.

網(wǎng)上一些所謂的以二次函數(shù)為載體的綜合題，其中大量屬于偽坐標(biāo)系問題，就如上文中的考題一樣，當(dāng)拋物線明確之后，各個交點隨之確定，進一步的設(shè)問探究與函數(shù)、函數(shù)圖像都無關(guān).這種題目看似以二次函數(shù)或圖像為平臺展開設(shè)問，實質(zhì)上函數(shù)題干信息已提前枯萎，后面生長出去的問題已無關(guān)函數(shù).

2.繁雜的幾何構(gòu)造不宜組合在綜合題中.

一般來說，根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，學(xué)生在限時獨立完成的考場上答題時最怕的是在代數(shù)幾何綜合題中遇到需要復(fù)雜構(gòu)造的幾何問題，有時單獨把這種幾何題分離出來，答題效果會好很多.就如上面提到的圖6、圖7的證明，但是將其融合在拋物線為背景的所謂的綜合題中，能在較短時間內(nèi)順暢地獲得思路的學(xué)生少之又少.

3.深刻理解函數(shù)概念，在函數(shù)本質(zhì)處設(shè)問考查.

近年來，章建躍教授提出的“三個理解”（理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)）“搔到癢處”，得到一線教師的廣泛共鳴，一個顯著標(biāo)志是，在中國知網(wǎng)上以“三個理解”為關(guān)鍵詞、主題詞檢索初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究文章時，會出現(xiàn)大量的相關(guān)文章，特別是以案例跟進式研究文獻(xiàn)居多.對于函數(shù)綜合題來說，我們認(rèn)為命題者應(yīng)該基于深刻理解函數(shù)概念的基礎(chǔ)，在函數(shù)本質(zhì)處設(shè)問，比如，函數(shù)中的參數(shù)問題、函數(shù)的增減性、函數(shù)的最值、函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合分析法等.知易行難，下面我們給出一道改編題，供研討：

（1）當(dāng)點D與點A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱時，求S的值；

（2）當(dāng)點D位于什么位置時，S取得最大值？求出D點的坐標(biāo)與S的最大值；

（3）若點M是直線AB上一個動點，當(dāng)△COM的周長最小時，求M點的坐標(biāo).

圖8

三、寫在后面

命題研究是教學(xué)研究中的一個基本問題，命題時首先要確立正確的命題“價值觀”，如果認(rèn)為各級考卷中的題都是權(quán)威的、正確的，網(wǎng)上、教輔上流行的都是好的題目，那么自己的命題往往會走偏方向.通過精研數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)，深入理解教材上的概念、例題和習(xí)題設(shè)計的意圖，知道“好的題目”（章建躍語）追求簡潔、易懂、深刻、與上下左右充滿關(guān)聯(lián)，等等，則自己的命題成果很有可能會引領(lǐng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)、感悟本質(zhì)，善莫大焉.

1.章建躍.“題型+技巧”的危害［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2010（11）.

2.付小飛.明辨并列與遞進，引導(dǎo)分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學(xué)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（7）.

3.宋秀云.讓“簡單內(nèi)容”教得深刻［J］.數(shù)學(xué)通報，2016，55（4）.

4.向中軍.試題命題應(yīng)緊扣教材和課標(biāo)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2016（5）.