☉浙江蘭溪市聚仁教育集團(tuán)育才中學(xué) 金弘鑫

解后反思看清結(jié)構(gòu)，變式改編成果擴(kuò)大
——以一道八年級期末模考題為例

☉浙江蘭溪市聚仁教育集團(tuán)育才中學(xué) 金弘鑫

當(dāng)前教學(xué)生態(tài)下，各學(xué)校在每學(xué)期的期末復(fù)習(xí)總會“空出”3～4周的復(fù)習(xí)時間，所謂的校級模擬考試也頻繁上演，備課組內(nèi)教師盡其所能從網(wǎng)絡(luò)獲得的很多試題資源進(jìn)入備考師生視野，如果僅僅滿足于獲得解答，常常是入寶山而空返，更現(xiàn)實(shí)的問題是，很多題目練習(xí)過、講評過，但期末考試時又碰上了，多數(shù)學(xué)生還是不會.這種尷尬的解題教學(xué)情形幾乎困擾著每個一線教師.近期我們圍繞一道八年級?？碱}開展了做一題、講一類、明結(jié)構(gòu)、舉一反三的講評活動，取得較為理想的效果.本文記錄這次解題教學(xué)的經(jīng)歷，與同行們交流研討.

一、?？碱}的思路解析與回顧反思

考題：如圖1，△ADB、△BCD都是等邊三角形，點(diǎn)E、F分別是AB、AD上兩個動點(diǎn)，滿足AE=DF.連接BF與DE相交于點(diǎn)G，CH⊥BF，垂足為H，連接CG.若DG=a，BG=b，且a、b滿足下列關(guān)系：a2+b2=5，ab=2，則GH=_____.

圖1

圖2

思路解析：首先想到的是“補(bǔ)短”，把分散著的DG、BG“拼接”到一起，如圖2，延長GB到M，使BM=DG，連接CM.接下來設(shè)法證明△CDG≌△CBM.目前有兩組對應(yīng)邊已具備，就是CB=CD，BM=DG，然而證明它們的夾角∠CBM=∠CDG是難點(diǎn).以下處理這個難點(diǎn)：

由等邊三角形，與AE=DF，容易得△ADE≌△DBF，于是可求出∠DGF=60°，∠BGD=120°.于是在四邊形CDGB中，對角∠BCD+∠BGD=60°+120°=180°，由四邊形的內(nèi)角和，得另一組對角∠CDG+∠CBG=180°.而∠CBM+∠CBG=180°，于是由“同角的補(bǔ)角相等”可突破難點(diǎn).

在證得△CDG≌△CBM之后，可得∠DCG=∠BCM，于是∠GCM=∠BCD=60°，所以△GCM是等邊三角形，從而根據(jù)“三線合一”，CH⊥GB，可得GM=2GH.接下來只要求出GM的長即可，也就是求a+b的值.由a2+b2=5，ab=2，變形組合后易得a+b=3，故GH=

至此，我們實(shí)現(xiàn)了上述一道習(xí)題的功能性解決，就此結(jié)束是入寶山而空返，這道題目還有很多話題值得探討和深入.

殊途同歸：如圖3，作CN⊥GD于N點(diǎn)，容易證得△CND≌△CHB，則CN=CH，從而GC平分∠DGB，于是△CNG≌△CHG，可演算出（a+b）.于是只要算出a+b=3，問題獲解.

圖3

結(jié)構(gòu)認(rèn)識：以圖3為例，我們?nèi)菀状_認(rèn)很多重要的性質(zhì)，這就是∠BGE=60°，∠BGD=120°，GC平分∠DGB，∠GCH=∠GCN=30°，2GH=DG+BG，CG=DG+BG，看清上述問題結(jié)構(gòu)之后，就可作出如下變式改編或系列追問.

二、系列變式題組

變式改編題組1：如圖4，等邊△ABD中，E、F分別在邊AB、AD上，且AE=DF，連接DE、BF，設(shè)它們相交于G點(diǎn).

圖4

（1）求證：△ADE≌△DFB；

（2）當(dāng)∠DBF=20°時，求∠BDE的度數(shù)；

（3）求∠BGE的度數(shù)；

（4）過點(diǎn)E作EH⊥BG于H點(diǎn)，求證EG=2GH.

變式意圖：在等邊三角形的平臺下，以AE=DF作為基礎(chǔ)條件，探究一些常見性質(zhì)，特別分別是BF、DE的夾角一定是60°的發(fā)現(xiàn).

變式題組2：如圖5，△ADB、△BCD都是等邊三角形（該句也可表述為菱形ABCD中，∠BAD=60°），點(diǎn)E、F分別是AB、AD上兩個動點(diǎn)，滿足AE=DF.連接BF與DE相交于點(diǎn)G.連接CG.

圖5

（1）求∠BGD的度數(shù)；

（2）求證GC平分∠DGB；

（3）分析線段DG、BG、CG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（4）作CH⊥BG于H點(diǎn)，求證：2GH=DG+BG.

命題意圖：上面4問都是上文“考題”的一些求解發(fā)現(xiàn)，如果站在外接圓的視角來看待，還可提出如下一些問題：

（5）求證：點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓.

（6）設(shè)△ABD的邊長為6，求點(diǎn)G運(yùn)動路徑的長.

命題意圖：證四點(diǎn)共圓可以逆向運(yùn)用“對角互補(bǔ)的四邊形四個頂點(diǎn)共圓”進(jìn)行證明，重在揭示問題的結(jié)構(gòu)；跟進(jìn)的最后一問中點(diǎn)G就是在△BCD的外接圓上，其圓心角為120°，再求出該外接圓的半徑即可.

三、關(guān)于解題教學(xué)的進(jìn)一步思考

1.深刻認(rèn)識問題結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生反思回顧

對于較難的幾何問題，不論是奇異的幾何性質(zhì)還是隱蔽的幾何結(jié)論，常常都可轉(zhuǎn)化為某一類幾何結(jié)構(gòu)，使得思路的生成變得自然、合理，證明的步驟變得簡約、優(yōu)化.而這些都需要教師在備課時深刻認(rèn)識問題結(jié)構(gòu)，嘗試從不同角度貫通思路，尋找更加自然的解題出發(fā)點(diǎn)、解題路徑，并對比不同思路所對應(yīng)的數(shù)學(xué)概念、基本圖形，優(yōu)化不同的解法和解題念頭，并對可能的典型錯解或錯誤思考方向進(jìn)行構(gòu)思，以便在引導(dǎo)學(xué)生反思回顧階段促進(jìn)不同的學(xué)生表達(dá)他們的想法，及時開展評析和引導(dǎo).如果教者本人還缺少對問題的深入思考和結(jié)構(gòu)認(rèn)識，則面對有些學(xué)生的獨(dú)特思路，就難免會置之不理，或沒有理解學(xué)生的解題思想，從而造成誤判，或引導(dǎo)不當(dāng)，或讓精彩的課堂生成“被丟棄”.

2.改編變式跟進(jìn)再練，互動對話教學(xué)反饋.

根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，對于較難的試題，如果只是簡單講評，很多學(xué)生表示聽懂之后就放手，只要隔一天之后再練習(xí)，往往效果并不理想.我們認(rèn)為，在講評之后，安排學(xué)生針對難題進(jìn)行變式再練，從不同角度進(jìn)行訓(xùn)練，這樣可以使學(xué)生深刻理解.此外，重視變式改編活動，還能增加與學(xué)生互動對話的可能與機(jī)會，使得課堂生成豐富，教學(xué)反饋的形式多樣，有時還可看到不同思維風(fēng)格學(xué)生的精彩觀點(diǎn).可見，難題講評不能只是滿足于答案告知，或單一思路的貫通，而要盡可能觸類旁通地激活多通道解決問題，并在跟進(jìn)訓(xùn)練時基于“多元表征”的方式呈現(xiàn)新的設(shè)問，讓學(xué)生對問題的理解更加清晰.

3.高觀點(diǎn)認(rèn)識問題，讓學(xué)生感悟“非標(biāo)準(zhǔn)”模式.

對于八年級上學(xué)期試題來說，雖然應(yīng)用八年級上冊全等、軸對稱等知識可以獲得問題的解決，但是就理解問題結(jié)構(gòu)來看，教師不能止步于八年級上冊知識的理解層面，我們還可站在八年級下冊、九年級上冊的觀點(diǎn)深入思考該題的結(jié)構(gòu).比如從八年級下冊平行四邊形的角度來看，上文中的“考題”是含60°的菱形中的一個重要性質(zhì)；站在九年級四點(diǎn)共圓的角度，又可獲得更加深刻的理解，同時可提出一些高觀點(diǎn)的理解（如上文中的變式拓展追問）.此外，值得提醒學(xué)生的是，當(dāng)面對一個陌生的圖形時，要善于思考這個圖形可以看成之前數(shù)學(xué)概念或基本圖形中哪一類型問題，它們的共性是什么，發(fā)現(xiàn)只是圖形位置發(fā)生了變化，即引導(dǎo)學(xué)生明辨標(biāo)準(zhǔn)圖形與非標(biāo)準(zhǔn)圖式之間的異同，這也是加深理解的一個重要途徑.

四、寫在后面

解題教學(xué)是教學(xué)研究中的經(jīng)典話題，因為數(shù)學(xué)離不開解題，特別是當(dāng)下仍然非常激烈的應(yīng)試環(huán)境，數(shù)學(xué)教學(xué)常常異化為應(yīng)試教學(xué)，很多義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課堂似乎與課外輔導(dǎo)班上的純粹講題課堂靠得很近，實(shí)在讓人尷尬.我們提出解后反思看清結(jié)構(gòu)，通過變式改編成果擴(kuò)大，也是想為解題教學(xué)的課堂增加一些數(shù)學(xué)探究精神，讓解題教學(xué)既顧及學(xué)生眼前的利益，又能讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的一些精神或價值取向，比如，追求深刻、追求簡約、走向一般，等等.

1.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

2.鄭毓信.善于優(yōu)化［J］.人民教育，2008（20）.

3.鮑建生，顧冷沅等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1、2、3）.

4.許燕.從解題賞析走向教學(xué)研究——以2016年無錫卷第27題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（10）.