☉江蘇無錫市太湖格致中學(xué) 陳鋒☉江蘇無錫市東林中學(xué) 楊峰

推陳出新化難點壓軸例題顯效能

☉江蘇無錫市太湖格致中學(xué) 陳鋒☉江蘇無錫市東林中學(xué) 楊峰

一、緣起

中考壓軸題是中考試卷中綜合性強、區(qū)分度較為明顯的一類試題.它歷來是眾多學(xué)生、教師及命題人員關(guān)注的焦點.中考復(fù)習(xí)，在構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)、進(jìn)一步夯實基礎(chǔ)的同時，如何進(jìn)一步提高綜合性知識復(fù)習(xí)的有效性，成為每個初三數(shù)學(xué)教師思考的一個重要課題.下面，筆者就通過對一道關(guān)于函數(shù)綜合問題的典型例題的推陳出新，來談一談通過逐次釋放例題功效，將例題的成果擴(kuò)大化，從而化解壓軸題難點的一些感悟.

二、題源分析

1.原題再現(xiàn).

圖1

（1）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

（2）設(shè)題中的拋物線與直線的另一交點為C，已知P為線段AC上一點（不含端點），過點P作PQ⊥x軸，交拋物線于點Q，試證明：當(dāng)P為AC的中點時，線段PQ的長取得最大值，并求出PQ的最大值.

（3）設(shè)D、E為直線AC上的兩點（不與A、C重合），且D在E的左側(cè)，過點D作DF⊥x軸交拋物線于點F，過點E作EG⊥x軸交拋物線于點G.問：是否存在這樣的點D，使得以D、E、F、G為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出所有符合條件的點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.解法分析.

（1）由于點M和拋物線的頂點N關(guān)于x軸對稱，從而可得拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，-2），進(jìn)而得出該拋物線的函數(shù)解析式

（2）根據(jù)（1）所得拋物線的解析式，可得到點A（-1，0）、B（3，0），進(jìn)而可求出直線AC的解析式：y=x+1.設(shè)P的橫坐標(biāo)為m，從而得到點P的坐標(biāo)為（m，m+1），Q的坐標(biāo)為所以PQ=yP-yQ=（m+1）-.根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出PQ的最大值為及對應(yīng)的P點的坐標(biāo)為（2，3），然后判斷此時的P點為AC的中點即可.

（3）符合條件的點共有3個，分別為D1（1，2）、

3.效能點評.

這是一道經(jīng)典的試題，教師每次復(fù)習(xí)拋物線綜合題時都會讓學(xué)生解，這題對學(xué)生思維的考查，逐次遞進(jìn).對于第（1）問，只要熟悉拋物線解析式的表示方法，在一般式和頂點式之間找到連接點，結(jié)合頂點坐標(biāo)和，拋物線的函數(shù)關(guān)系式輕松可得.對學(xué)生來說，考查的是平時的基本功，難度不大.第（2）問體現(xiàn)了一定的綜合性，求拋物線與x軸的交點坐標(biāo)、求直線AC的解析式，這是對基本功的考驗，根據(jù)P、Q橫坐標(biāo)相同設(shè)出這兩點的坐標(biāo)，再根據(jù)圖形特征，運用“上縱-下縱”得出PQ的長，運用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出PQ的長取得最大值時P的坐標(biāo)，這里的考查力度開始提升，同時求出AC的中點，發(fā)現(xiàn)即為所求得的P的坐標(biāo)，從而得證.第（3）問的難度進(jìn)一步提高，對于學(xué)生獨立畫圖思考、分情況討論是一個考驗，尤其考驗的是學(xué)生的計算能力，部分學(xué)生在畫圖和分類討論能力都具備的前提下算錯，其中在解題的狀態(tài)中無法靜下心來展開運算的居多，所以導(dǎo)致第（3）問正確率不高.

三、演繹拓展

在考試中，針對學(xué)生對這道試題的解答不是很理想的情況，結(jié)合正處于中考第二輪的復(fù)習(xí)階段，需要把所有知識整合成一個體系，筆者以此題為基礎(chǔ)，創(chuàng)新母題，作為二輪復(fù)習(xí)課的例題，從幾個角度推陳出新，進(jìn)行拓展演繹，讓學(xué)生全方位地思考，從而及時鞏固并升華.

具體實踐方法：

1.“推陳”——把復(fù)雜問題簡單化.

圖2

根據(jù)學(xué)生的思維層次，把原題中所涉及的問題分解為若干個便于操作的知識點，讓學(xué)生進(jìn)行嘗試：

①求拋物線的表達(dá)式；

②求直線與拋物線的另外一個交點C的坐標(biāo)；

③問：PQ的最大值是MN嗎？說明理由；

④在線段AC上是否存在點P，使四邊形PNMQ是平行四邊形？若存在，請說明理由.

評析：問題①復(fù)習(xí)二次函數(shù)中求解析式的三種方法：一般式、頂點式、交點式；問題②考查交點坐標(biāo)，即轉(zhuǎn)化為方程組的解；問題③也是本節(jié)的亮點：發(fā)現(xiàn)點P為線段AC的中點時，PQ最長；對于問題④，需利用數(shù)形結(jié)合，利用平行四邊形的判定：一組對邊平行且相等，得到相等，即PQ=MN轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題來解決.通過對這4個問題的處理，學(xué)生的思維能力在解題中獲得了提高，同時，也是對原題的復(fù)習(xí)和鞏固.

對不少學(xué)生來說，函數(shù)綜合問題常常使人頭疼，往往不知從何下手，有的即使經(jīng)過教師的一般性講解，下次再現(xiàn)，學(xué)生依然感覺很困難.可見這類問題的難度，也說明教師沒有講透，學(xué)生沒能真正理解.所以教師在進(jìn)行壓軸題分析的時候，首先要盡可能把題目研究透，把復(fù)雜問題簡單化，在分解基本圖形、提煉解題模型的基礎(chǔ)上，教學(xué)生理清脈絡(luò)；同時，在解題分析的時候，要發(fā)動學(xué)生一起思考，尋找解題的切入點，以啟代教；最后，題目的解決并不代表問題的終結(jié)，如果想要“入寶山而不空返”，那么必須后續(xù)通過設(shè)置“姊妹題”進(jìn)行變式，在復(fù)習(xí)鞏固、提高效率的同時，推陳出新！

2.“出新”——把簡單問題新穎化.

（1）“新”在圖形.

在問題④的基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生的解題狀況，我們可以進(jìn)一步進(jìn)行拓展，適時進(jìn)行一次追問：⑤在直線AC上是否存在EF，滿足軸，且E′、F′都在拋物線上，四邊形EE′FF′是平行四邊形？并說明理由.

將問題④和問題⑤結(jié)合在一起，原題第（3）問的解題脈絡(luò)就清晰可見.此時，對原題的思考我們還可以繼續(xù)下去，通過對問題中“四邊形EE′FF′是平行四邊形”進(jìn)行同層次變式，讓多種題型在這個母題中“相聚”.

評析：這兩小題在各地的中考題中經(jīng)?？梢砸姷?，通常在中考題中會結(jié)合其他一些已知條件，考察難度較大.此時作為獨立小題出現(xiàn)，學(xué)生能集中注意力思考，比較容易突破！當(dāng)然，四邊形EE′FF′也可以改作其他特殊四邊形，或改成以E、E′、F、F′為頂點的四邊形，甚至可以把EE′∥FF′∥y軸的條件挖掉，此時圖形會變得更復(fù)雜.作為拓展，可以安排學(xué)有余力的學(xué)生課后思考，通過對問題深層次的思考，學(xué)生無論是對同類問題理解上的通透，還是自身思維層次的提高，都是有巨大影響的.

（2）“新”在面積.

⑦在直線AC下方的拋物線上是否存在一個點G，使得△GNC的面積最大？說明理由.

⑧在拋物線上是否存在點G，使得△ACG與△ACM面積相等？說明理由.

⑨在拋物線上是否存在三個點G，使得△ACG的面積為k？求k的值及點G的坐標(biāo).

評析：三角形、四邊形的面積的最值歷來是中考命題的熱點，中考復(fù)習(xí)也一定會安排最值問題的復(fù)習(xí)專題.在2010年無錫市中考數(shù)學(xué)第24題中就出現(xiàn)了與⑦一樣的問題.解題方法有多種，一般學(xué)生都會考慮把面積表示出來，建立函數(shù)，然后用配方的方法求出最值.在面積的處理中，需要分割其中的三角形、四邊形，通過解法對比，理解為什么最后選擇“過其中一個頂點作x軸的垂線（或作y軸的平行線）”這種方法來解決這類問題，對學(xué)生思維的提升很有幫助.同時，這類問題思維的突破，其實已經(jīng)在前面作“y軸平行線”的多個小問中埋下一顆讓思維自然生長的種子.根據(jù)問題⑦學(xué)生的完成情況，也可以考慮在課后讓學(xué)生完成它的一個變式：在線段AC上是否存在EF，滿足軸，且E′、F′都在拋物線上，使四邊形EE′F′F的面積最大？并說明理由.

問題⑧是在前面問題⑦的基礎(chǔ)上，在學(xué)會這類圖形面積求法的基礎(chǔ)上向前又繼續(xù)邁出的一大步.問題看似簡潔，其實內(nèi)涵深刻，如果是想通過將滿足條件的直線和拋物線聯(lián)立來解題的話，那么，要求出位于直線AC上方的情況，這條滿足要求的直線解析式如何求出？通過引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，結(jié)合平行線分線段成比例，結(jié)合題目中的現(xiàn)有數(shù)據(jù)，將問題最終解決的過程，不僅是對前面面積問題的鞏固，更是對其他相應(yīng)知識點應(yīng)用的一次嘗試.

問題⑨是在前面問題⑦⑧的基礎(chǔ)上進(jìn)行進(jìn)一步拓展，在針對“在拋物線上存在三個點G”這個條件上打開思維，從而轉(zhuǎn)化條件為“作出一條與AC平行的直線，與拋物線只有一個交點”，通過聯(lián)立方程組，令Δ=0，從而求出第一個點G，繼而由前面的面積類問題的解法求出k的值及根據(jù)我們對問題⑧的解法求出另外兩個點G的坐標(biāo).

（3）“新”在隱形圓.

⑩在拋物線上是否存在點E，使得∠CEB=45°？若存在，求出所有滿足要求的點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

11○設(shè)MN與x軸交于點D，點E為y軸正半軸上的一個動點，求tan∠DEB的取值范圍.

評析：隱形圓問題是中考壓軸題中較難的一類.問題⑩是建立在∠CAB=45°的基礎(chǔ)上的，此時，只需要作出△ACB的外接圓，即可根據(jù)“同弧所對圓周角相等”得出其余滿足要求的點E的位置并根據(jù)圖形求出點E的坐標(biāo).問題11○看似簡潔，但思維量大.必須通過分析發(fā)現(xiàn)：當(dāng)經(jīng)過點D、E、B的圓與y軸相切時，∠DEB取得最大值，從而解出tan∠DEB的最大值，其實，這已經(jīng)是高考的重點——“最大視角問題”.

3.拓展——把問題思維深層化.

12○D在拋物線的對稱軸MN上，過點D作與x軸不平行的直線l，直線l與拋物線交于點E、F，若△MEF的內(nèi)心恰好在直線MN上，求點D的坐標(biāo).

評析：此題根據(jù)“△MEF的內(nèi)心恰好在直線MN上”，得“MD平分∠EMF”.在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步去思考如何運用現(xiàn)有條件完成解題.此題對學(xué)生的運算能力是一個考驗.如果能運用平移的方法，將拋物線平移到頂點為坐標(biāo)原點的位置，再進(jìn)行解題，運算量將大大減少，然后把所解得的與點D對應(yīng)的點的坐標(biāo)平移回原位置即可.這個問題對學(xué)生的運算能力和思辨能力，要求很高，但問題的解決，伴隨的是眼界的開闊和能力的提升.

當(dāng)然，一節(jié)課是無法全部完成上述內(nèi)容的，這需要在一個階段作為一個復(fù)習(xí)專題連續(xù)進(jìn)行，利用課內(nèi)、課外時間，全方位展開.細(xì)想這12個問題中所包含的數(shù)學(xué)內(nèi)容，甚至是深度，對提升學(xué)生的綜合解題能力和思維能力大有裨益.如果能把這些內(nèi)容學(xué)透了，函數(shù)的問題基本就解決了.這就需要教師課后花更多的精力“鉆”進(jìn)去，學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)才能真正“減”下來.舊題可以新解，一題可以多解，難題可以巧解，我們應(yīng)該精做好題，發(fā)揮例題深處最大的功效.