☉浙江省平陽縣水頭鎮(zhèn)第一中學 張合遠

追求自然、簡約、深刻的思維課堂
——以直角三角形的性質復習課為例

☉浙江省平陽縣水頭鎮(zhèn)第一中學 張合遠

隨著新課程的進一步深入，教師的教學理念、教學方式發(fā)生了很大的變化，課堂也從改革初始的嘗試變得日益成熟，特別是復習課教學，從追求課堂的大容量教學轉向簡約，復習模型從“題海戰(zhàn)術”轉變?yōu)椤耙活}（圖）一課”.近幾年，浙江省特級教師張宏政名師網絡工作室活動特別提倡“一題（圖）一課”的復習課教學模式.2016年11月21日，2016之秋第109屆浙派名師暨省初中數(shù)學名師網絡工作室課堂教學藝術展在杭州師范大學隆重舉行.筆者作為浙江省張宏政名師網絡工作室的學科帶頭人，為與會的1000余名教師展示了一堂八年級“直角三角形的性質復習”的觀摩課，得到觀摩老師的一致好評.本文記錄該課的教學設計與教后反思，與更多的同行分享與研討.

一、教學簡錄及分析

（一）提供背景圖形，生成相關知識.

引入：我們知道，三角形按角分類，可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.由于直角三角形的特殊性，它在日常生活與今后的學習中有著廣泛的應用.今天我們專題復習“直角三角形”（板書課題）.請大家看問題1.

設計說明：這節(jié)課由三角形的分類與直角三角形的特殊性引入，旨在使學生明確直角三角形在整個“三角形”知識單元中所占的位置和廣泛應用，從而激發(fā)學生復習的興趣和要求.

問題1：如圖1，在△ABC中，∠C=90°，你能得出哪些結論？

設計說明：從一個低起點問題引題，旨在讓更多的學生參與到課堂中來，同時，也可以從角、邊入手梳理直角三角形的有關知識，為下一環(huán)節(jié)的順利展開鋪平道路.

板書：角與角：∠A+∠B=90°，邊與邊：a2+b2=c2.

師：下面給出具體數(shù)據(jù)，請你們求這個三角形的面積.

問題2：如圖1，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，你能求出△ABC的面積嗎？

生：不能求出△ABC的面積.

師：為什么？

生：這個三角形是不確定的.

師：哦？那就請你們再添加一個條件解決這個問題.

請?zhí)砑右粋€條件，再解答下題：

如圖1，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，_________，求△ABC的面積.

……

師：今后我們還會進一步學習任意銳角度數(shù)的直角三角形三邊之比（.引導學生添加斜邊上的高線）若點D為AB邊上的一個動點，請大家看問題3.

圖1

圖2

問題3：如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，若點D為AB邊上的一個動點，則線段CD的取值范圍是多少？為什么？

板書：面積法.

師：看來面積法是解決幾何問題的一種有效方法.求斜邊上的高線CD，是否還有其他方法呢？（勾股定理）

板書：設元構建方程模型.

師：點D還有哪些特殊位置值得研究？這時CD的長分別是多少？為什么？

生：中線與角平分線.

板書：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

生：當CD為角平分線時……（說不下去了）

師：哦，好像遇到困難了.請想一想，角平分線有什么性質？

生：過點D分別作BC、AC的垂線段DE、DF（如圖3）.則DE=DF，這時，△CDE為等腰直角三角形，所以CD=，但DE的長為……（說不下去了）

師：請同學們思考，這么多的高線，你們能聯(lián)想到什么方法呢？

生：面積法.

師：看來，能否對條件中隱含的信息進行充分挖掘是解題的關鍵.下面我們改變題目中CD的位置（出示變式題）.

圖3

圖4

變一變：如圖4，若上述條件均不變，把∠C的平分線CD改成∠B的平分線BG，則BG的長為多少？

師：剛才的方法還適用嗎？

設計說明：通過設計開放性問題求面積，進一步復習勾股定理的應用、特殊三角形中邊角之間的關系，而后自然引出特殊線段的長度求解，既復習了它們的性質，也可以讓學生體驗面積法、方程思想等解決問題的方法.

生：仍然可用面積法.

師：看來面積法在解決問題中具有普遍性.是否還有不同的方法呢？

生：可以利用勾股定理.

師：利用勾股定理構建方程模型也是重要的解題思路.當然，有時還需要先通過（軸對稱）變換，把條件聚集到同一個三角形中.

師：好了，我們從角、邊、重要線段入手梳理了直角三角形的相關知識，同時對解決問題的方法也有了進一步的體驗.下面讓我們繼續(xù)探究.

（二）建立圖形間的聯(lián)系，體驗數(shù)學思想.

問題4：如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，點G是邊AC上的一個動點.記點A關于直線BG的對稱點為A′，連接GA′、BA′，BA′與邊AC交于點E.若△A′GE為直角三角形，求AG的長.

分析條件，引導學生畫出如下分類圖形（如圖6，圖7）并解答：

圖5

圖6

方法二：根據(jù)軸對稱得∠1=∠2=∠3=45°，故BC= GC=6，此時AG=2.

課堂預設：

（1）如圖6所示，當∠A′GE=90°時，

方法一：根據(jù)軸對稱得

圖7

圖8

方法三：如圖8，過點A′作A′F⊥BC交BC的延長線于點F，則∠A′FB=90°.易得四邊形A′GCF是矩形，CF=A′G，A′F=CG.設AG=A′G=x，則BF=BC+CF=6+x，A′F=CG=ACAG=8-x.在Rt△A′FB中，由勾股定理得（6+x）2+（8-x）2= 102，解得x1=2，x2=0（舍去），此時AG=2.

（2）如圖7所示，當∠A′EG=90°時，

方法二：點C與點E重合，則A′E=A′B-BC=10-6=4.設AG=A′G=x，則CG=AC-AG=8-x.在Rt△A′GE中，由勾股定理得（8-x）2+42=x2，解得x=5，此時AG=5.

綜上所述，AG的長為2或5.

歸納：本題主要考查直角三角形的綜合應用，以及點的運動帶來的圖形變化問題.探討有關直角三角形的問題，要注意進行分類討論；在對待動點問題時，耐心畫出各類情況對應的圖形，可達到事半功倍的效果（切忌所有情況畫在一個圖中）.根據(jù)問題4，你還可以提出哪些問題？

教師備用以下拓展探究問題，如果學生思維活躍就隨學生的問題展開，否則教師嘗試拋出如下拓展探究問題引發(fā)學生思考.

課堂預設：

策略一：不改變任何條件，學生可能得出新問題；

與面積有關的結論：若S△AGE=S△BCE，求AG的長.

……

策略二：改變條件探求是否有新問題.

減弱條件探求是否有新問題：線段AC改為射線AC，線段BC改為直線BC，探求點A′的位置；另外，把圖4放在平面直角坐標系中還可繼續(xù)拓展.

……

設計說明：通過對問題的進一步變化，既強化了對運動觀下幾何問題的本質把握，也使學生加深了對分類討論、面積法、構建方程模型等基本數(shù)學思想方法的體驗與感悟，而后面嘗試讓學生提出問題，則旨在培養(yǎng)學生的問題意識，初步感受提出問題的策略.

（三）感悟數(shù)學思想，啟迪學生智慧.

拓展探究：如圖9，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，點G是射線AC上的一個動點.記點A關于直線BG的對稱點為A′，連接GA′、BA′，BA′與射線AC交于點E.當點A′落在直線BC上時，求AG的長.

圖9

引導學生畫出如下兩種分類圖形（如圖10、圖11），并用面積關系和勾股定理等方法建立方程模型解答此題.

圖10

圖11

設計說明：通過對問題的進一步改編，為學生認識圖形、把握本質創(chuàng)造了思維的載體，也為分類討論、方程模型思想的靈活運用與概括提供了必要的邏輯通道.

檢測練習：如圖12，有一張直角三角形紙片ABC，AB=10，BC=6，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AP折疊，使它落在斜邊AB上，且與AD重合.你能求出CP的長嗎？

變式1：如圖13，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB= 10，若AB上有一點M，AC上有一點N，AM=CN，折一折，算一算，你能否找到這樣的M、N，使△AMN是直角三角形，且滿足MN=4？若存在，請求出AM的長；若不存在，請說明理由.

圖12

圖13

圖14

變式2：如圖14，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6.點E是AC邊上的一個動點（不與點A、C重合），過點E作EF⊥AC交AB于點F，將∠A沿直線EF翻折，點A落在射線AC上的點P處.當△BFP為直角三角形時，求AE的長.

設計說明：通過這組變式訓練題，既鞏固了當堂復習的有關知識和解題策略，又培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力.

二、教學反思

本節(jié)課以一個簡單的基本圖形引題，旨在發(fā)動更多的學生參與課堂，通過問題串的設計與變式教學逐層推進，提倡多角度、多策略解決問題，注重在合作交流中讓學生傾聽、優(yōu)選，在獲得解題思路的同時不忘歸結能力、發(fā)散思維的培養(yǎng)，體驗并嘗試如何提出問題，初步掌握提出問題的若干策略.

為了追求自然、簡約、深刻的思維課堂，這節(jié)課的教學過程得到了整體優(yōu)化，調動了全班學生學習的積極性，體現(xiàn)了新的教育理念和當前的課改方向，取得了滿意的教學效果，聽課的教師給予了很高的評價.大家一致認為這節(jié)課的主要特點是：

1.去繁為簡，一圖貫之.

用一個圖形貫穿始終，并按照由淺入深、層層深入的設計思路展開，其中開放性問題的設計、動點元素的滲透及設問形式的變化，賦予了本課靈動與生機，也有效提高了課堂中高認知思維的含量.

2.提煉方法，生長智慧.

復習課的重要目標，就是要讓學生在梳理知識的同時，感悟數(shù)學解題策略，提煉基本數(shù)學方法，從而達到生長智慧的目的.因此，從問題2中的求三角形面積到問題3中的求CD的取值范圍，為面積法的引出進行了必要的鋪墊，也影射了數(shù)形結合的重要性，而后面求角平分線長度的設計，對這一幾何基本大法予以強化，同時也自然生成了建構方程模型的解題策略.而問題4用動點溝通圖形聯(lián)系的設計，既體現(xiàn)了復習課的綜合性要求，也為分類討論、方程模型思想的運用與概括提供了邏輯通道.本課提倡多角度解決問題，并在比較中優(yōu)化思路，突出本質，同時嘗試提出問題，初步體驗提出問題的若干策略，從而達到梳理知識、理解方法、形成能力的教學目標.

初中數(shù)學復習課，教師應從一道題目（一個基本圖形）出發(fā)，開放性地設計問題，鼓勵學生從多角度解決問題，并嘗試讓學生自主編題，提出問題，為后續(xù)進一步挖掘題目作鋪墊.同時關注學情，動態(tài)生成，讓課堂更加自然、簡約、深刻.在這樣一條復習主線下，提煉解題策略，挖掘數(shù)學不變的量，滲透數(shù)學思想方法，真正讓數(shù)學復習課成為學生的主陣地，走出“題海戰(zhàn)術”，追求“簡約”卻不簡單的課堂，體現(xiàn)“一題（圖）一課”的價值，真正凸顯“以生為本”的教學理念.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.顧泠沅主編.初中數(shù)學教學研究［M］.上海：上海教育出版社，2012.

3.吳立建.數(shù)學課堂中應重視引導學生提出問題［J］.數(shù)學通報，2013（7）.