☉江蘇如皋市實驗初中冒劼

明晰尺規(guī)功能，讓明理與得法同行

☉江蘇如皋市實驗初中冒劼

尺規(guī)作圖是指用無刻度的直尺和圓規(guī)進(jìn)行的作圖，它是學(xué)生必備的一項基本技能.初中階段，學(xué)生將要學(xué)習(xí)五種基本作圖和一些基于基本作圖的組合作圖.為此，人教版教材自七年級上冊第四章開始，以“作一條線段等于已知線段”這一基本作圖為開端，將其他作圖循序漸進(jìn)地安排在整套教材之中.顯然，無論是基本作圖的編排，還是組合作圖的設(shè)計，都經(jīng)過編者精心安排.然而，通讀全套教材，筆者并未發(fā)現(xiàn)對圓規(guī)和直尺這兩件工具在作圖中的功能介紹，對于這樣的安排，不知教材編者是如何考慮的.這樣的缺失，導(dǎo)致學(xué)生對尺規(guī)作圖獲得的結(jié)論僅“知其然”，而“不知其所以然”.為此，在人教版八年級上冊全等三角形單元教學(xué)中，筆者明晰了尺規(guī)的功能，并讓學(xué)生結(jié)合尺規(guī)功能分析作圖過程，使得教學(xué)中的明理與得法同步.

一、“12.2三角形全等的判定（第1課時）”的三則教學(xué)片斷

1.揭示尺規(guī)功能.

師（拿著圓規(guī)）：這是什么？

生（齊答）：圓規(guī)！

師：有什么用？

生（齊答）：畫圓.

師請一名學(xué)生到前面板演作圓，并讓其他學(xué)生取出自己的圓規(guī)在紙上畫圓.

師：你是怎畫的？

生1：先找一個點(diǎn)，把圓規(guī)的一只“腳”戳進(jìn)去，將另一只“腳”繞著這個點(diǎn)轉(zhuǎn)一圈.

師：不錯！在圓規(guī)旋轉(zhuǎn)的過程中，這兩個“腳”之間的距離會發(fā)生變化嗎？

生（齊答）：不會！

師：這個距離是圓中什么的長度？

生2：半徑！

教師請學(xué)生作出圓的一條半徑.

師：圓有多少條半徑？

生（齊答）：無數(shù)條.

師（指著圓上的任意一點(diǎn)）：連接這個點(diǎn)到圓心是半徑嗎？

生（齊答）：是.

師（指到圓上的另外一個點(diǎn)）：這個點(diǎn)呢？生（齊答）：是.

師：這些點(diǎn)到圓心的距離都相等嗎？

生3：相等！

師：根據(jù)這個發(fā)現(xiàn)，想要作出到一個點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)，可以怎么作？

生4：以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑作圓.

師：對，圓規(guī)就是用來作“到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)”的工具，這在我們今后的作圖中將會發(fā)揮巨大的作用.除了圓規(guī)，在尺規(guī)作圖中，我們還會用到直尺，大家知道直尺的作用嗎？

生5：度量和劃線.

師：在尺規(guī)作圖中，我們不能用直尺的度量功能，只能用直尺的畫“直”線的功能.接下來，我們就用這兩個工具開啟今天的學(xué)習(xí).

2.判定方法探究.

探究先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，A′C′=AC.把畫好的△A′B′C′剪下來，放到△ABC上，它們?nèi)葐幔?/p>

學(xué)生活動：自主作圖，并在小組中交流各自的作法及發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

3分鐘后，教師組織學(xué)生進(jìn)行全班交流，并展示了規(guī)范的作圖過程，如圖1：

圖1

（1）畫B′C′=BC；

（2）分別以點(diǎn)B′、C′為圓心，線段AB、AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A′；

（3）連接A′B′、A′C′.

師：“以點(diǎn)B′、C′為圓心，線段AB、AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A′”，在這個過程中，你得到了哪些相等線段？

生6：A′B′=AB，A′C′=AC.

師：為什么？

生7：以AB、AC的長為半徑，A′B′、A′C′是所作的弧的半徑，所以這兩組線段相等.

3.作一個角等于已知角.

已知：∠AOB.

求作：∠A′O′B′，使得∠A′O′B′=∠AOB.

學(xué)生活動：自主探究作法，并將自己的思路在小組中交流.

教師巡視指導(dǎo)，組織學(xué)生小組交流.

4分鐘后，全班交流.教師先請學(xué)生展示作法，逐步調(diào)整學(xué)生的語言，最終形成規(guī)范的作圖過程，如圖2：

圖2

（1）以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D；

（2）畫一條射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點(diǎn)C′；

（3）以點(diǎn)C′為圓心，CD長為半徑畫弧，與（2）中所作的弧交于點(diǎn)D′；

（4）過點(diǎn)D′畫射線O′B′.

師：請結(jié)合這里的作圖過程說出∠A′O′B′=∠AOB的理由.

學(xué)生陳述作圖中通過圓規(guī)和直尺構(gòu)造出的相等線段：O′C′=O′D′=OC=OD，C′D′=CD，并給出∠A′O′B′=∠AOB的完整理由.

二、片斷簡析

本節(jié)課來自人教版八年級上冊第十二章全等三角形，將學(xué)習(xí)全等三角形的第一種判定方法“邊邊邊”.本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為“三邊分別相等的兩個三角形全等”這一基本事實.在這一定理獲得及應(yīng)用過程中，將會涉及兩次尺規(guī)作圖：一次是探究定理過程中的作圖比對，還有一次是作已知角的角平分線.上面的三則片斷，完整地展示了本節(jié)課與尺規(guī)作圖相關(guān)的教學(xué)：片斷1，教師引導(dǎo)學(xué)生梳理圓規(guī)和直尺在尺規(guī)作圖中應(yīng)該發(fā)揮的功能，為下一步作圖和明晰原理作鋪墊；片斷2，是學(xué)生獲取“邊邊邊”定理的一個重要環(huán)節(jié)，基于作圖的探究將會讓學(xué)生的交流對話言之有物，有利于學(xué)生歸納結(jié)論，積累尺規(guī)作圖經(jīng)驗；片斷3，是初中階段的第二種基本作圖“作一個角等于已知角”的學(xué)習(xí)，這是對“邊邊邊”定理的應(yīng)用.

上述三則片斷，有著明顯的內(nèi)在聯(lián)系，片斷1是片斷2、3得以順利展開的基礎(chǔ).片斷1中，教者花費(fèi)很大力氣，帶領(lǐng)學(xué)生將他們所熟知的圓規(guī)的功能進(jìn)行了梳理，明確了在作圖中所起的作用；對于直尺，絕大多數(shù)學(xué)生都知道可以用來度量和畫線，教師從學(xué)生的說法中抽取出尺規(guī)作圖適用的功能——畫“直”的線.在接下來的兩則片斷中，問題的探究與師生的交流始終緊扣尺規(guī)功能展開.找尋“圖中存在的相等線段”，讓作圖過程中圓規(guī)和直尺的功能得以凸顯出來，讓每一名學(xué)生對結(jié)論得出的合理性和作圖方法的規(guī)范性都有了較為全面和深刻的認(rèn)識.

三、幾點(diǎn)思考

1.教學(xué)鋪墊應(yīng)根據(jù)實際需求呈現(xiàn).

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)建立在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)之上，在獲取新知前，我們應(yīng)該幫助學(xué)生梳理出本課必備的基礎(chǔ)知識，為新知的順利生成掃清障礙.所以，在實際教學(xué)中，對于一些離當(dāng)下認(rèn)知較遠(yuǎn)但本節(jié)課又要用到的數(shù)學(xué)知識，我們應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)設(shè)較為合理的問題情境，使之順著學(xué)生的認(rèn)知需求順利呈現(xiàn).以本文中的片斷1為例，尺規(guī)功能的交待對本節(jié)課的兩個作圖，特別是作圖成果的合理性分析影響巨大.所以，教師主動展示學(xué)生熟悉的圓規(guī)和直尺，以喚醒他們在上一學(xué)段積累的豐富的應(yīng)用經(jīng)驗，并努力從中篩選出尺規(guī)作圖適用的功能，這一切就是為后續(xù)的學(xué)習(xí)作鋪墊，這樣的鋪墊恰到好處地展示在學(xué)生新知探索之前，彌補(bǔ)了因過長時間的間隔導(dǎo)致的知識缺失，夯實了學(xué)生進(jìn)一步探究交流的知識基礎(chǔ).

2.原理明晰應(yīng)緊貼探究過程進(jìn)行.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出了“作圖不僅要知法，還要明理”的要求.知法保證了作圖技能的應(yīng)用性，而明理則提升了“法”的理論高度.在教學(xué)中，我們最起碼要讓學(xué)生知曉作圖形成的結(jié)果的合理性何在，這對“法”的網(wǎng)絡(luò)化和綜合應(yīng)用都非常有利.為此，作圖教學(xué)，我們會從“法”和“理”兩個維度上引導(dǎo)學(xué)生展開追問，力求讓得法與明理同步.在本文的案例中，教師結(jié)合學(xué)生給出的作圖過程展開追問：在這個過程中，你得到了哪些相等線段？結(jié)論成立的理由成為作圖教學(xué)最為重要的一部分.顯然，這種基于學(xué)生自主探究之上的追問與交流，讓學(xué)生的思維發(fā)展順著自己探究中獲得的知識和積累的經(jīng)驗進(jìn)一步展開，其效果一定是非常好的.

3.教材補(bǔ)白應(yīng)基于內(nèi)容詳解展開.

教材，一般指課本.筆者所在地區(qū)初中數(shù)學(xué)使用的是人教版教材.在這套人教版教材中，七年級上冊第四章幾何圖初步“4.2直線、射線、線段”中，首次出現(xiàn)了尺規(guī)作圖的定義——“在數(shù)學(xué)中，我們常限定用帶刻度的直尺和圓規(guī)作圖，這就是尺規(guī)作圖”.在后面的教材中，先后給出了作一條線段等于已知線段、作一個角等于已知角等基本作圖和一系列基于基本作圖的綜合作圖，然而，始終沒有給出圓規(guī)和直尺的功能.這樣的內(nèi)容缺失，使得學(xué)生在接下來的幾何作圖中，對教材給出的作法中所述的作弧與作直線及取交點(diǎn)的真正緣由不能清晰認(rèn)知.為此，我們有必要對尺規(guī)功能進(jìn)行補(bǔ)白，使之在學(xué)生需要用的時候適時出現(xiàn)，服務(wù)于學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí).當(dāng)然，發(fā)現(xiàn)這些存在的內(nèi)容缺失主要依賴于課前對教材的詳細(xì)解讀，這需要教師坐下來，靜下心認(rèn)真仔細(xì)地剖析當(dāng)下的教學(xué)內(nèi)容和與之相關(guān)聯(lián)的教材內(nèi)容，對于那些缺失的內(nèi)容，我們應(yīng)進(jìn)行精心設(shè)計，既要考慮補(bǔ)什么內(nèi)容，還要考慮在何時補(bǔ)，怎樣補(bǔ).只有基于內(nèi)容詳解之上的教材補(bǔ)白，才能真正服務(wù)于教學(xué)，使課堂教學(xué)得以順利、有效地推進(jìn).