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        高中數(shù)學中的“數(shù)形結合”

        2017-03-09 18:06:57信艾佳
        環(huán)球市場 2017年31期
        關鍵詞:數(shù)形結合數(shù)形題目

        信艾佳

        山東省無棣縣第一高級中學

        高中數(shù)學中的“數(shù)形結合”

        信艾佳

        山東省無棣縣第一高級中學

        縱觀近年的高考數(shù)學試卷不難發(fā)現(xiàn),圍繞“數(shù)形結合”思想設置的題目不勝枚舉。因此,為了讓我們更好地掌握這種思想,提高應試解題能力,本文以“數(shù)形結合”的部分案例為主要研究對象,望能夠為當前處在高三復習階段的廣大同學提供一定的借鑒和啟示。

        高中數(shù)學;數(shù)學思想;數(shù)形結合

        一、數(shù)形結合思想對于學好高中數(shù)學的意義所在

        數(shù)形結合思想不僅對教師設計課堂教學有重要的引導作用,對于高中生的數(shù)學學習而言,也具有非常重要的指導意義。

        首先,數(shù)形結合思想有助于我們更好地掌握數(shù)學知識,形成系統(tǒng)的模塊。事實上在小學和初中階段,我們就接觸過較為簡單的“數(shù)形結合”案例,比如植樹問題、簡單的函數(shù)問題等。但是進入高中以后,我們所面對的問題由簡單變得復雜,由單一變得寬泛,需要我們有更為強大的駕馭和統(tǒng)籌能力,將不同模塊的知識囊括在統(tǒng)一的系統(tǒng)當中,將抽象問題具象化、將直觀問題概念化,在不斷參與和體驗問題的過程中加深對數(shù)形結合思想的理解。

        其次,數(shù)形結合思想能培養(yǎng)我們的抽象思維和形象思維。隨著高中數(shù)學學習的不斷深入,我們的認知結構亦在不斷完善,思維方式也日漸成熟。比如當我們接觸了高中階段的函數(shù)知識之后,只要提到不同的函數(shù)類型,隨即便會聯(lián)想到各種不同類型的解析式及相應的圖像;再比如學習到橢圓、雙曲線時,我們亦會聯(lián)想到相應的圖形、解析式和概念,以及圖形上的焦點和漸進線等。換言之,我們可以通過具體的數(shù)聯(lián)想到相應的圖像、通過形能夠提煉出它的代數(shù)式,實現(xiàn)動與靜的結合,全面、辯證地看待問題,不斷培養(yǎng)自身的抽象和形象思維。

        最后,數(shù)形結合思想能有效培養(yǎng)我們發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的能力。在日常學習過程中,我們習慣于通過觀察表面現(xiàn)象進而發(fā)掘現(xiàn)象之下的內部變化規(guī)律、探究其本質的方法;但是“數(shù)”與“形”的結合,卻能夠有效引導我們發(fā)現(xiàn)數(shù)、圖像以及二者之間關聯(lián)性等各種規(guī)律,會幫助我們多角度、多層次地考慮問題,用不同的方法解決問題。

        二、高中數(shù)學學習中數(shù)形結合思想的滲透

        (一)函數(shù)部分

        數(shù)形結合思想在函數(shù)問題上有廣泛應用,比如函數(shù)的值域和定義域問題,函數(shù)極值問題、零點問題等,其具體的解決方式主要是以形輔數(shù)或以數(shù)輔形。

        以這樣一道題目為例:求函數(shù)f(x)=x2-2x-3在區(qū)間[t,t+3]的最大和最小值。

        通過分析可知,該函數(shù)圖像的對稱軸為x=1(直線),而x本身的取值范圍是[t,t+3],由于函數(shù)取值范圍本身充滿了不確定性,就意味著我們在解題時,要考慮[t,t+3]與x=1之間的關系,那么這道題目就自然而然會出現(xiàn)三種可能性:

        (1)[t,t+3]在x=1的左則,即意味著t+3≤1時,最大值為f(t),最小值為f(t+3);

        (2)[t,t+3]在x=1的右則,即意味著t≥1時,最大值為f(t+3),最小值為f(t);

        (3)x=1在[t,t+3]內,t≤1≤t+3時,最小值為f(1),但此時最大值卻被細化為兩種可能:

        由此可見,在解決這道題目時,我們將函數(shù)的圖像置于思維當中,隨時考慮可移動區(qū)間與對稱軸之間的關系,那么解決這道題目過程中產生的障礙自然降低,我們的思路也會更加清晰。

        (二)集合部分

        在高中數(shù)學教材中,集合是開篇。我們在高中數(shù)學的開始階段,掌握了集合的定義、性質和表示方法,懂得了與集合相關的重要概念,如交集、并集、子集和補集等。而在綜合性的集合題目中,利用數(shù)形結合思想來解決問題無疑是難點和重點。

        綜合兩種可能性,a的取值范圍為1≤a≤3,且a≠2。

        (三)綜合應用

        數(shù)形結合思想除了在上述函數(shù)和集合學習中有著廣泛應用外,在“數(shù)與形”交叉領域也有著廣泛滲透。具體來講,在進行數(shù)學知識學習和數(shù)學問題解決時,當遇到相對復雜的知識和問題時,數(shù)形結合思想的有效運用,能夠快速找到突破口,提高問題解決效率。例如,當遇到“如果未知數(shù)x和y都是正數(shù),并滿足x2-y2=1的條件,那么請問y/x-2具體取值范圍是多少?”此時,如實學會幾何意義和代數(shù)意義的交叉應用,就能夠迅速和高效地解決問題。我們在遇到上述問題時,許多同學會想到不同的解決方法,但“單刀直入”地進行解題會造成解題步驟的復雜化,帶來許多不必要的麻煩,不僅降低了解題效率,而且降低了解題精準度。因此,在遇到這類綜合性數(shù)學問題時,我們應該更多地思考如何利用數(shù)學結合方法進行解決,將代數(shù)知識轉化為幾何知識找到突破口,然后在具體運算中再次將其轉化為代數(shù)計算,這樣就能夠快速和精準地找到最終答案。

        三、結論

        總而言之,數(shù)形結合思想在高中數(shù)學學習階段有著十分重要的意義,同時其也是近年來高考數(shù)學試卷當中對學生數(shù)學知識考查最為常見的內容之一。為了不斷培養(yǎng)和加強我們對于數(shù)形結合思想的認知,能夠在面對一道具體的題目時快速切入、找到重點,我們不僅要加強練習、懂得積累,更重要的是要學會收集數(shù)學模型,提高自己對于數(shù)學問題解構、分析的能力。

        [1]孔令偉.數(shù)形結合思想方法在高中數(shù)學教學與解題中的應用[D].遼寧師范大學,2012:12-20.

        [2]張艷.數(shù)形結合思想在高中數(shù)學教學中的應用研究[J].中國校外教育,2016(31):55+57.

        [3]劉桂玲.數(shù)形結合思想方法在高中數(shù)學教學中的應用分析[J].中國校外教育,2015(13):106.

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