廣東省德慶縣香山中學(xué) 謝樹文

基本不等式：a>0、b>0,當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)等號(hào)成立。該不等式在高中數(shù)學(xué)中占有重要的地位，它也是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容之一。其應(yīng)用十分廣泛，既可以用于求函數(shù)的最值及證明不等式，也可以求實(shí)際問題的解。應(yīng)用時(shí)有的是直接運(yùn)用，有的是以間接運(yùn)用，還有的需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃尾拍苓\(yùn)用。下面列舉幾個(gè)例子予以說明。

一、直接運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最值

對(duì)于形如（x＞0，k為正常數(shù)）的函數(shù)，可以直接運(yùn)用基本不等式求解。

例1已知x＞2,求函數(shù)的最小值。

解：因?yàn)閤＞2，x-2＞0，故+2=2×2+2=6,當(dāng)且僅當(dāng),即x=4時(shí)，等號(hào)成立。由此，當(dāng)x＞2時(shí)，f(x)的最小值是6。

二、間接運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最值

有些函數(shù)的已知條件沒有直接給出正值，必須進(jìn)行分類討論，間接運(yùn)用基本不等式求解。

例2已知 x≠0 ，求函數(shù)的值域。

分析：此題中只知x≠0 ，不符合基本不等式的應(yīng)用條件，應(yīng)對(duì)變量x作分類討論，間接運(yùn)用基本不等式求解。

解：因?yàn)?x≠0,所以x<0,或x>0；

（1）當(dāng)x>0時(shí),3x＞0,f(x)=3x+，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立。由此，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)取得最小值2。

（2）當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,f(x)==-(-3x+)≤-2=-2,當(dāng)且僅當(dāng)-3x=-,即x=-時(shí)等號(hào)成立。由此，當(dāng)x< 0時(shí)，f(x)取得最大值-2。

綜上所述，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=3x+的值域是[2,+∞)；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=3x+的值域是（-∞，-2]。

三、通過變形運(yùn)用基本不等式求解

對(duì)于形如f(x)=x+,x–a<0，k>0的函數(shù)，由于已知條件不 滿足a>0與b>0的形式，必須作適當(dāng)變形后才能應(yīng)用基本不等式求解。

例3 已知x<2,求函數(shù)f (x)=的最大值。

分析： 因?yàn)閤<2,故x–2<0,不符合正值的條件，不能直接應(yīng)用基本不等式求解，必須作適當(dāng)?shù)淖冃巍?/p>

解：因?yàn)?x<2,故 x–2<0,2–x>0，因此f(x)=x–2+=–[（2–x）=–2×2=–4,當(dāng)且僅當(dāng)2–,即x=0時(shí)，f(x)取得最大值–4。所以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f (x)=的最大值是–4。

四、基本不等式在不等式證明中的應(yīng)用

有些不等式用常規(guī)的作差法很難證明，對(duì)于形如0,k>0）的不等式，可以運(yùn)用基本不等式去證明。

例4 已知a、b均為正數(shù)，且a+b=1，求證：≥9。

分析：本題條件和結(jié)論中，變量的次數(shù)是一個(gè)要注意的特征。條件中a、b次數(shù)為1，而結(jié)論中a、b次數(shù)為-1，可以利用1的代換，從平衡a、b的次數(shù)入手。

證明：因?yàn)閍、b均為正數(shù)，且a+b=1，

所以=2=4+2+1=5+2≥5+2×2=5+4=9。

五、基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用

實(shí)際問題中，有些是求圖形的周長、面積的最大值，或者是求營業(yè)額、利潤的最大值，這些問題都可以運(yùn)用基本不等式求解。

例5 某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800平方米的矩形蔬菜溫室。在溫室內(nèi)，沿左右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1米寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3米寬的空地。當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？

分析：本題是幾何問題，可先用代數(shù)式表示出矩形的面積再進(jìn)行化簡，然后再運(yùn)用基本不等式求解。

解：設(shè)矩形溫室的長為a米，寬為b米，則ab=800平方米。蔬菜種植地的長為（a-2）米，寬為（b-4）米，蔬菜種植地的面積為S=（a-2）(b-4)=ab-4a-2b+8=808-2(2a+b)≤808-2=808-2×80=648平方米;當(dāng)且僅當(dāng)2a=b即a=20米，b=40米時(shí)，等號(hào)成立。即當(dāng)矩形溫室的邊長分別為20和40米時(shí)，蔬菜的種植面積最大，最大面積為648平方米。

在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生在運(yùn)用基本不等式時(shí)存在各種問題，下面舉例說明。

（一）忽視正值的條件

有一部分學(xué)生只是記住基本不等式的形式，做題時(shí)沒有考慮具體題目中的已知條件是否符合正值，因此在做題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例6 已知求函數(shù)y=4x-2+的最值。

錯(cuò)解：y=4 x-2+=(4 x-5)++3≥2+3=2+3=5，當(dāng)且僅當(dāng)(4x-5)=,即或x=1時(shí)等號(hào)成立。故函數(shù)的最小值為5。

點(diǎn)評(píng) 學(xué)生在做題時(shí)忽略了,4x-5<0這個(gè)條件，由此導(dǎo)致錯(cuò)解。

正解：因?yàn)?4x–5<0,–(4x–5)>0,即5–4x>0。

y=4x–2+= 4x-5 ++3=–［(5–4 x)+］+3≤-2+3=-2+3=1。當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=,即x=1時(shí)等號(hào)成立。故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y=4x-2+的最大值為1。

（二）忽略等號(hào)成立的條件

有的學(xué)生往往只注意到正值的條件而忽略了等號(hào)是否能成立，由此導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例7 已知x∈R,求函數(shù)y=的值域 。

錯(cuò)解：因?yàn)閤2+4>0,故>0，1y==+=2,由此函數(shù)的最小值是2。

點(diǎn)評(píng)： 學(xué)生只注意到>0，>0，沒有考慮等號(hào)成立的條件，即x2+4=1，x2=-3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不成立，因此出現(xiàn)錯(cuò)誤。

正解：+=

因?yàn)椤?,(以上這兩個(gè)不等式當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)同時(shí)取等號(hào))，故y≥4—,從而函數(shù)的值域是。