王芳++楊斌鑫

【摘要】本文分析了本科院校數(shù)學專業(yè)基礎(chǔ)課“數(shù)學分析”緒論在課程教學中的重要地位和重要性.針對地方本科院校數(shù)學專業(yè)學生的特點，給出了“數(shù)學分析”緒論的教學過程設(shè)計.該教學過程設(shè)計一方面能夠給學生初步搭建起“數(shù)學分析”課程體系的框架，讓學生明白這門課要學習的主要內(nèi)容及其相互關(guān)系；另一方面，該課程設(shè)計從數(shù)學發(fā)展史的角度給學生闡述高等數(shù)學和初等數(shù)學的聯(lián)系與區(qū)別，使學生能夠盡快從高中的公式恒等變形的初等數(shù)學思方式轉(zhuǎn)換到以變化的觀點分析和研究問題的高等數(shù)學思維方式中來.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學分析；緒論；教學設(shè)計；地方院校

【基金項目】山西省重點教學改革項目（J2014071），山西省高等學校特色專業(yè)建設(shè)項目，太原科技大學重點教學改革項目（2013007）.

一、引言

“數(shù)學分析”是數(shù)學專業(yè)的最重要的必修基礎(chǔ)課，“數(shù)學分析”中體現(xiàn)的數(shù)學思想、數(shù)學方法、數(shù)學能力是數(shù)學在實際中應用和進行數(shù)學理論研究的基石，通過數(shù)學分析課程教學要使學生受到基本和嚴格的數(shù)學訓練[1].“數(shù)學分析”緒論的教學是整個數(shù)學分析教學過程的序幕，其重要性不言而喻.一方面，“數(shù)學分析”緒論是“數(shù)學分析”課程的第一次課，其重要作用在于給學生初步搭建起“數(shù)學分析”課程體系的“森林”，讓學生明白這門課要學習的主要內(nèi)容及其相互關(guān)系，讓學生先見到“森林”，能夠縱觀數(shù)學分析的大致面貌，這樣在以后認識“樹木”，也就是學習各章節(jié)的知識點的時候，學生心里才會知道這個知識點表示的“樹木”處于森林中的什么地位，這樣才能做到“既見樹木又見森林”.另一方面，“數(shù)學分析”緒論也是學生由初等數(shù)學（從幼兒園到高中所學的數(shù)學）階段進入高等數(shù)學（大學所學的數(shù)學）階段的第一堂課，因此，“數(shù)學分析”緒論也承擔著從數(shù)學發(fā)展史的角度給學生闡述高等數(shù)學和初等數(shù)學的聯(lián)系與區(qū)別的重要任務.

然而，很多地方高校對于“數(shù)學分析”緒論的教學重視程度遠遠不夠.有的教師在緒論課上只介紹了“數(shù)學分析”課程的主要內(nèi)容，而忽略了初、高等數(shù)學的區(qū)別與聯(lián)系.有的教師側(cè)重于介紹數(shù)學發(fā)展史，而忽略了給學生搭建“數(shù)學分析”課程體系的框架.更有甚者，只把對學生的要求簡單說罷便開始單個知識點的講解，完全忽略了“數(shù)學分析”緒論的重要性，這樣教出來的學生對“數(shù)學分析”的體系框架根本沒有了解，學完課程也不知道學了些什么，只有各知識點，但是缺乏一條串起這些知識點的主線.本文作者多年從事“數(shù)學分析”課程教學，對“數(shù)學分析”緒論的重要性有深刻的認識，經(jīng)過多年的探索，已經(jīng)形成了“數(shù)學分析”緒論教學的特色，既給學生搭建起數(shù)學分析的框架體系，讓學生了解數(shù)學分析各部分之間的關(guān)系，又讓學生明白從幼兒園開始到高中所學的數(shù)學課程與進入大學中要學的高等數(shù)學課程的區(qū)別，使學生在學習過程當中不至于感到迷茫.以下詳細給出“數(shù)學分析”緒論的教學過程.

二、“數(shù)學分析”緒論教學過程

同學們來到大學，選擇了數(shù)學專業(yè)，要學習很多數(shù)學課程，“數(shù)學分析”就是其中第一門，同時也是最重要的數(shù)學基礎(chǔ)課之一.在開始學習這門課的時候，大家自然要問，數(shù)學分析與中學已經(jīng)學過的初等數(shù)學有什么不同？它的研究對象與基本思想方法是什么？下面就來簡要地講一講這些問題.

總的說來，初等數(shù)學研究的是離散量的運算體系，包括加法與乘法以及它們的逆運算——減法與除法.而“數(shù)學分析”提供的是連續(xù)量的運算體系及其數(shù)學理論.“數(shù)學分析”的主要內(nèi)容是微積分，研究對象是函數(shù)，立論數(shù)域是實數(shù)連續(xù)統(tǒng)，采用的研究工具是極限.

大家知道，現(xiàn)實世界中的萬事萬物，無一不在一定的空間中運動變化，在運動變化過程中都存在一定的數(shù)量關(guān)系.按照恩格斯的說法，數(shù)學就是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學.簡略地說，就是研究數(shù)和形的科學.時至今日，雖然數(shù)學的內(nèi)容更加豐富，方法更加綜合，應用更加廣泛，但是關(guān)于數(shù)學的上述說法大體上還是正確的.只是隨著人們對事物認識的逐漸深化，作為研究對象的“數(shù)”和“形”，在數(shù)學發(fā)展的不同階段，它們的內(nèi)涵和表現(xiàn)形式也不相同罷了！

歷史上，數(shù)學的發(fā)展可以劃分為三個階段.

第一階段是從古希臘時代（公元前5世紀—公元前3世紀）到17世紀中葉.在這長達兩千多年的時期內(nèi)，由于生產(chǎn)力的落后，人們把客觀世界中各種事物看成是孤立的、靜止不變的，因而，數(shù)學中研究的“數(shù)”基本上是常數(shù)或常量（即在某一運動變化過程中保持不變或相對保持不變、可以看作取固定值的量），研究的“形”也主要是簡單的、不變的、規(guī)則的幾何形體（例如，直線段、直邊形與直面形等）.研究常量間的代數(shù)運算和規(guī)則幾何形體內(nèi)部及相互間的關(guān)系，分別形成了初等代數(shù)和初等幾何，統(tǒng)稱為初等數(shù)學.因此，這個階段常被稱為初等數(shù)學階段或常量數(shù)學階段.

第二階段是從1637年法國著名哲學家、數(shù)學家笛卡爾（R.Descartes，1596—1650）建立解析幾何到19世紀末.在這個階段中，由于工業(yè)革命的興起，推動了機械、造船、采礦、航海和修建鐵路等新興工業(yè)的建立和發(fā)展，大大拓寬了人們的視野.加深了人類對自然界的認識.意大利數(shù)學家、現(xiàn)代物理學奠基人伽利略（G.Galileo，1564—1642）和德國天文學家開普勒（J.Kepler，1571—1630）的一系列發(fā)現(xiàn)，導致了數(shù)學從古典數(shù)學向現(xiàn)代數(shù)學的轉(zhuǎn)折.在25歲以前，伽利略就開始做了一系列實驗，發(fā)現(xiàn)了許多有關(guān)物體在地球引力場運動的基本事實.開普勒在1619年前后歸納出著名的行星運動三定律.這些成就對后來的絕大部分的數(shù)學分支都產(chǎn)生了巨大影響.伽利略的發(fā)現(xiàn)導致了現(xiàn)代動力學的誕生，開普勒的發(fā)現(xiàn)則產(chǎn)生了現(xiàn)代天體力學.物理、力學和天文學等學科的迅速發(fā)展，產(chǎn)生了以下四類問題：

1.已知物體運動的路程與時間的關(guān)系，求物體在任意時刻的速度和加速度.反過來，已知物體運動的加速度和速度，求物體在任意時刻的速度和路程.

困難在于17世紀所涉及的速度和加速度每時每刻都在變化.計算平均速度可用運動的時間去除運動的距離.但對瞬時速度，運動的距離和時間都是0，這就碰到了0比0的問題.這是人類第一次碰到這樣的問題.

2.求曲線的切線.這是一個純幾何的問題，但對于科學應用具有重大意義.例如，在光學中，透鏡的設(shè)計就用到曲線的切線和法線的知識.在運動中也遇到曲線的切線問題.運動物體在它的軌跡上任一點處的運動方向，是軌跡的切線方向.

3.求函數(shù)的最大值和最小值問題.在彈道學中涉及炮彈的射程問題.在天文學中涉及行星和太陽的最近和最遠距離問題.

4.求積問題.求曲線的弧長、曲線所圍區(qū)域的面積、曲面所圍的體積、物體的重心等.這些問題在古希臘就已經(jīng)開始研究，但他們的方法缺乏一致性.

這些問題要求建立新的數(shù)學工具研究物體的運動變化規(guī)律，研究曲線和曲面的性質(zhì).在這種形勢下，天才的英國物理學家、理學家、天文學家和數(shù)學家牛頓（I.Newton，1642—1727）和德國數(shù)學家、哲學家萊布尼茲（G.W.Leibniz，1646—1716）總結(jié)并發(fā)展了前人的成果，建立了連續(xù)量變化率的直觀概念和計算方法，發(fā)現(xiàn)了求連續(xù)量累積綜合的問題剛巧是求變化率的逆運算，從而各自獨立地創(chuàng)立了微積分的運算體系.

牛頓建立了微積分的演算體系以后，受開普勒三定律和重力的啟發(fā)，想到了行星間所受的力為萬有引力.他最后成功地運用微積分，從開普勒三定律推導出萬有引力定律，又反過來從萬有引力定律推導出開普勒三定律，這就是人類歷史上最偉大的自然科學著作之一——牛頓的《自然哲學的數(shù)學原理》的主要內(nèi)容.從此，微積分逐漸應用到一切科學技術(shù)領(lǐng)域.像達朗貝爾（DAlembert，1717—1783）、拉格朗日（Lagrange，1736—1813）、歐拉（Euler，1707—1783）、拉普拉斯（Laplace，1749—1827）、高斯（Gauss，1777—7855），都是運用微積分在開拓新領(lǐng)域方面最卓越的數(shù)學家的代表.

牛頓與萊布尼茲當時建立的微積分概念與演算，是以直觀為基礎(chǔ)的，概念并不準確，推導公式有明顯的邏輯矛盾.在微積分廣泛應用的17—18世紀，人們沒顧得及（也許是還不可能）解決這些問題.到19世紀，矛盾已積累到非解決不可的程度，這就是第二次數(shù)學危機.經(jīng)過人們的長期努力，最后由柯西（Cauchy，1789—1857）、波爾查諾（Bolzano，1781—1848）、威爾斯特拉斯（Weierstrass，1815—1897）等人，用極限把微積分的概念澄清.但隨后極限的存在性問題開始出現(xiàn)，最終，戴德金（Dedekind，1831—1916）、康托（Cantor，1845—1918）、威爾斯特拉斯等人，又給出了連續(xù)量的數(shù)學表示，建立了實數(shù)連續(xù)統(tǒng)的理論，把極限理論建立在堅實的基礎(chǔ)上.微積分基礎(chǔ)的建立，和群論、非歐幾何一起，被譽為19世紀數(shù)學的三大發(fā)現(xiàn)，它們改變了整個數(shù)學發(fā)展的進程，形成了近代數(shù)學與現(xiàn)代數(shù)學.

此后，數(shù)學的發(fā)展呈現(xiàn)出一日千里之勢，形成了內(nèi)容豐富的高等代數(shù)、高等幾何與數(shù)學分析三大分支，并出現(xiàn)了一些其他的相關(guān)分支，它們被統(tǒng)稱為高等數(shù)學.在這個階段，數(shù)學中研究的“數(shù)”是變數(shù)或變量（即在某一運動變化過程中不斷變化、可以取不同數(shù)值的量），研究的“形”是復雜的不規(guī)則的幾何形體（例如，曲線、曲面、曲線形與曲面形等）.而且，由于Descartes直角坐標系的引入，使“數(shù)”與“形”緊密地聯(lián)系起來，平面上的點可以用有序數(shù)偶表示，平面曲線（動點的軌跡）可以用代數(shù)方程來表示，因此，“運動和辯證法便進入了數(shù)學”（恩格斯著《自然辯證法》）.這個階段被稱為高等數(shù)學階段或變量數(shù)學階段.同學們在大學本科階段學習的數(shù)學課程大多屬于這個階段的內(nèi)容.

第三個階段是從19世紀末開始，即現(xiàn)代數(shù)學階段.至今，這個階段還在發(fā)展之中.由于集合論的創(chuàng)立，不但為數(shù)學的發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ)，而且使得數(shù)學的研究對象——“數(shù)”與“形”，具有了更豐富的內(nèi)涵和更廣泛的外延，表現(xiàn)形式也更加抽象.

從研究常量到研究變量，從研究規(guī)則的幾何形體到研究不規(guī)則的幾何形體，是人類對自然界認識的一大飛躍，是數(shù)學發(fā)展中的一個轉(zhuǎn)折點.由于研究的對象不同，研究的方法也不同.初等數(shù)學主要采用形式邏輯的方法，靜止地、一個一個問題孤立地進行研究，而數(shù)學分析卻不然，它是以極限為工具對連續(xù)量進行研究.

連續(xù)量在生活中隨處可見，時間和位移是最基本的兩個連續(xù)量，其他當然還有許多.一天中，氣溫隨時間（連續(xù)）變化，這就是（連續(xù)）函數(shù)的概念.我們研究連續(xù)量，還要進一步研究一個連續(xù)量隨另外一個連續(xù)量連續(xù)地變化的規(guī)律，這里涉及兩個最基本的問題，即微分運算和積分運算.

問題之一是一個連續(xù)量隨另一個連續(xù)量變化的“瞬時”變化率，這就是微分運算.

牛頓是以力學為背景來研究微積分的，他所建立的導數(shù)計算法則稱為“流數(shù)術(shù)”.按照這種方法，我們來求自由落體運動在某一時刻的瞬時速度.