段秀平

摘 要：高中數(shù)學(xué)當(dāng)中，函數(shù)內(nèi)容占據(jù)著一定的比例，例如反比例函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等。而函數(shù)本身可以認(rèn)為是一種不同變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)和研究是高中數(shù)學(xué)中非常重要的部分。與函數(shù)具有相同之處的回歸方程，實(shí)際上也反應(yīng)的是不同變量之間的關(guān)系。關(guān)于函數(shù)與回歸方程，重點(diǎn)分析函數(shù)內(nèi)容與回歸方程之間的區(qū)別，為此將通過結(jié)合例題的方式具體分析回歸方程的實(shí)際應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；函數(shù)；回歸方程

簡(jiǎn)單而言，函數(shù)是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，是從非空數(shù)集a到實(shí)數(shù)集b的對(duì)應(yīng)。而回歸方程則是指能夠用直線方程y=bx+a近似表示的一種相關(guān)關(guān)系，回歸方程的具體表現(xiàn)形式實(shí)則也表現(xiàn)為函數(shù)形式，其方程也叫線性回歸方程。從函數(shù)與回歸方程的性質(zhì)來看，二者之間存在相同之處，也存在區(qū)別[1]。針對(duì)函數(shù)與回歸方程之間的關(guān)系，以及回歸方程涉及回歸分析和實(shí)際應(yīng)用，以下將展開具體的分析。

一、函數(shù)

在數(shù)學(xué)當(dāng)中，函數(shù)表示的是對(duì)應(yīng)關(guān)系。更加精準(zhǔn)來說，當(dāng)x是一個(gè)非空集合，y是非空數(shù)集，f是一個(gè)對(duì)應(yīng)的法則，如果對(duì)x中的每個(gè)x，按照對(duì)應(yīng)法則f，使得y中存在唯一的一個(gè)元素y與之對(duì)應(yīng)，就稱對(duì)應(yīng)法則f是x上的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x），稱x為函數(shù)f（x）的定義域，集合{y|y=f（x），x∈R}為其值域（值域是y的子集），x叫做自變量，y叫做因變量，也可稱為y是x的函數(shù)。因此，在函數(shù)當(dāng)中，函數(shù)具備三個(gè)要素，即對(duì)應(yīng)法則、定義域和值域。在解決不同變量之間的關(guān)系當(dāng)中，函數(shù)能夠以一種確定和理想的形式體現(xiàn)。

二、回歸方程

回歸方程是在一定的樣本資料下，根據(jù)回歸分析后，取得一個(gè)變量（因變量）對(duì)另一變量（自變量）的一種回歸關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即y=bx+a。其與函數(shù)關(guān)系不同，y=bx+a表示的是一種不確定性關(guān)系[2]。更具體而言，給出一組數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn），線性回歸方程中的系數(shù)a，b滿足：

b=，a=y-bx。

在回歸方程當(dāng)中，受到變量的作用和影響，其中的相關(guān)關(guān)系可以為線性相關(guān)，也可以為非線性相關(guān)，而回歸方程也能夠在很大程度上反映各不同變量之間是否存在相關(guān)性。

三、回歸方程中的相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同分析

根據(jù)上述對(duì)函數(shù)以及回歸方程的定義，兩者存在的異同點(diǎn)十分明顯。

首先，在相同點(diǎn)方面，二者均是指兩個(gè)變量之間的關(guān)系。

其次，在不同點(diǎn)方面，函數(shù)關(guān)系指的是兩個(gè)變量之間的關(guān)系，是一種確定性的關(guān)系，是一種因果關(guān)系，是一種理想的關(guān)系模型[3]。而相關(guān)關(guān)系，則是指一種非確定性關(guān)系。相關(guān)關(guān)系當(dāng)中，可以其中一個(gè)為變量，另一個(gè)為隨機(jī)變量，或者兩個(gè)都可以為隨機(jī)變量，其關(guān)系是一種更加一般的關(guān)系。

四、回歸分析與回歸方程

得到回歸方程，實(shí)際需要以回歸分析作為主要方法，該方法的基本步驟主要分為四步：（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖；（2）依據(jù)散點(diǎn)圖求出b，a的值；（3）求回歸直線方程；（4）用回歸直線方程解決應(yīng)用問題。在回歸分析當(dāng)中，由于兩個(gè)變量并不對(duì)等，因此分析時(shí)需要區(qū)分出自變量與因變量。當(dāng)然，在進(jìn)行回歸分析的過程當(dāng)中，主要是依據(jù)回歸方程進(jìn)行。因此，針對(duì)某個(gè)實(shí)際問題，或者針對(duì)給出的某組數(shù)據(jù)，首先是在畫出散點(diǎn)圖的過程中，以及在區(qū)分自變量和因變量的基礎(chǔ)上，判斷出兩個(gè)變量是否存在相關(guān)性。具體可看如下例題：

例：一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)測(cè)得數(shù)據(jù)如下：

根據(jù)以上題目，如若要預(yù)測(cè)加工200個(gè)零件需要花費(fèi)多少時(shí)間，以回歸分析方法進(jìn)行分析，則可以通過給出的數(shù)據(jù)，畫出散點(diǎn)圖并進(jìn)一步判斷y與x是否存在線性相關(guān)，如果y與x存在線性相關(guān)關(guān)系，則可求出線性回歸方程，最后依據(jù)方程則可預(yù)測(cè)出加工200個(gè)零件需要花費(fèi)的時(shí)間。具體可制出如下圖表：

依據(jù)以上表格計(jì)算出xi一行的總和，yi一行的總和，xiyi、xi2等各相應(yīng)的數(shù)值。最后，根據(jù)y=bx+a求出b和a。

由以上例題可知，當(dāng)給出一組數(shù)據(jù)后，畫出數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖能夠從中找出相關(guān)關(guān)系，再依據(jù)方程則可解決實(shí)際的問題。由此，回歸方程具有非常重要的作用，其通過自變量的變化逐步可以推算出因變量變動(dòng)的估計(jì)值，并且得出的這個(gè)估計(jì)值與實(shí)際值具有一致性，但也有可能不存在一致性，這主要是由于估計(jì)值與實(shí)際值存在的離差，有正有負(fù)，有大有小。在這種情況下，回歸方程則需要有一個(gè)計(jì)算指標(biāo)，該指標(biāo)最好能夠充分反映其中誤差的大小。

綜上所述，函數(shù)關(guān)系與回歸方程之間存在相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，其中回歸方程涉及的回歸分析，以及其中包含的最小二乘法，從數(shù)學(xué)的角度而言，對(duì)往后數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析也都有非常重要的意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]李嘉益.淺談高中數(shù)學(xué)函數(shù)與回歸方程[J].農(nóng)家參謀，2017（13）：150.

[2]王鵬.淺談高中數(shù)學(xué)函數(shù)與回歸方程[J].讀與寫（教育教學(xué)刊），2011，8（8）：91.

[3]王忠民，李楊，張榮.一種基于自相關(guān)函數(shù)特征的行為識(shí)別方法[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2018（6）：1-2.

編輯 趙飛飛