廣州市花都區(qū)新華中學(xué)(510800) 李桃

一道模擬試題的解法分析及推廣應(yīng)用

廣州市花都區(qū)新華中學(xué)(510800) 李桃

題目1 (2017屆高三廣州模擬考試16題)已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=1,2cosC+c=2b,則△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍是____.

答案：

該題作為這份試卷的客觀題壓軸題,正答率極低.翻查一些優(yōu)生的答卷,(2,3]是較常見的答案.同時(shí),筆者發(fā)現(xiàn)該題改編于瓊海市2013屆高考模擬試題16題：

題目2 已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=1,2cosC+c=2b,則△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍是____.答案：(2,3]

一、錯(cuò)解分析

解法1 角化邊,基本不等式求最值

根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可得b+c＞a=1,則周長(zhǎng)a+b+c＞2.利用余弦定理,將2cosC+c=2b化簡(jiǎn),可得b2+c2-bc=1,即(b+c)2-3bc=1.由于解得b+c≤2(當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)),則周長(zhǎng)a+b+c≤3,故周長(zhǎng)的取值范圍為(2,3].

錯(cuò)因分析銳角三角形限制邊b,c有其最小值,所以周長(zhǎng)最小值不可能為2.

解法2 邊化角,函數(shù)的思想求值域

錯(cuò)因分析角B的范圍界定錯(cuò)誤,導(dǎo)致周長(zhǎng)的范圍擴(kuò)大.因?yàn)榻茿=60°及△ABC是銳角三角形,則所以因此周長(zhǎng)的取值范圍為

二、優(yōu)法展示

分析△ABC的內(nèi)角A的度數(shù)及對(duì)邊是固定不變的,但是點(diǎn)A的位置卻是變化的,這個(gè)特征在圓中可以實(shí)現(xiàn).同弧(同弦同一側(cè))所對(duì)的圓周角相等.

對(duì)于題2,如圖1所示,其中點(diǎn)P是優(yōu)弧BC的中點(diǎn),點(diǎn)A在優(yōu)弧BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),角的度數(shù)始終是不變的,滿足題目要求.當(dāng)點(diǎn)A從無(wú)限接近點(diǎn)C的位置開始逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)時(shí),△ABC的周長(zhǎng)從2(但不等于2)開始增加,當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí),△ABC為等腰三角形(b=c),周長(zhǎng)達(dá)到最大值3,點(diǎn)A繼續(xù)從點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),“反向”重復(fù)剛才的變化過(guò)程,因此△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍是(2,3].

圖1

對(duì)于題1,如圖2,其中∠A1CB=∠A2BC=90°,點(diǎn)P是優(yōu)弧BC的中點(diǎn).那么點(diǎn)A在弧A1A2上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不包含A1,A2),滿足題目△ABC是銳角三角形的要求.當(dāng)點(diǎn)A在A1或A2時(shí),周長(zhǎng)是最小值同樣是當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí),周長(zhǎng)達(dá)到最大值3,因此銳角△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為

圖2

點(diǎn)評(píng)圖形揭示很直觀,解題也很簡(jiǎn)便.華羅庚先生有言“形缺數(shù)時(shí)難入微”.畢竟,圖形有時(shí)也會(huì)欺騙我們的眼睛,“以理服人”是數(shù)學(xué)的精髓.筆者做出以下的論證：

綜上所述,我們可以確定,題1、題2的直觀分析都是正確的.

三、應(yīng)用

題目3 (2014年全國(guó)1卷理16)已知a,b,c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則△ABC面積的最大值為____.

解析由a=2且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,即

題目3變式在銳角△ABC中,A=60°,BC=2,則△ABC面積的取值范圍為____.

點(diǎn)評(píng)解法一運(yùn)算量很大,解法二直觀簡(jiǎn)便.

四、小結(jié)

在“△ABC的角A及其對(duì)邊a確定”這一問(wèn)題情境下,我們可以用函數(shù)y=f(B)分別表示b+c,b-c,bc,b2+c2.用三角函數(shù)的知識(shí)可以論證,函數(shù)y=f(B)在B∈都是嚴(yán)格單調(diào)的.具體的結(jié)論,借助圓的直觀分析,就能一目了然.

綜上所述,在客觀題中遇到以上4類問(wèn)題,教師可以指導(dǎo)學(xué)生放心地借助圓來(lái)直觀分析.尤其是當(dāng)三角形的形狀有限制時(shí),借助圓來(lái)直觀分析更是事半功倍.