【摘 要】“生長數(shù)學(xué)”可以認(rèn)為是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的愿景，讓學(xué)生學(xué)到具有生長力的數(shù)學(xué)是生長數(shù)學(xué)教育的核心所在?！吧L數(shù)學(xué)”要關(guān)注讓學(xué)生從問題中生長思維、從探究中生長學(xué)力、從感悟中生長品格、從內(nèi)化中生長素養(yǎng)，只有這樣，數(shù)學(xué)教學(xué)才能聚焦核心素養(yǎng)，才能向踐行創(chuàng)新思維的理想王國起航。

【關(guān)鍵詞】生長數(shù)學(xué)；生長；生長力；教學(xué)主張

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）11-0033-03

【作者簡介】卜以樓，南京市寧海中學(xué)分校（南京，210036）教師，正高級教師，江蘇省特級教師。

筆者提出“生長數(shù)學(xué)”的教學(xué)主張，一是源于對關(guān)注學(xué)生生命自覺的責(zé)任。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)愿景，歸根結(jié)底還是定位于學(xué)生生命的綻放，所以要從生命的視角播種數(shù)學(xué)，讓其發(fā)芽、生根、枝繁葉茂，直至長成參天大樹，用數(shù)學(xué)的精巧來演繹生命的精彩。二是給數(shù)學(xué)以生命，讓生命教育著生命。生長源于內(nèi)在渴望與外部環(huán)境的作用，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體系也要讓其在一定環(huán)境中自內(nèi)而外地“生長”。教師要深層次地尋覓思維活動軌跡，高標(biāo)準(zhǔn)地架設(shè)知識生長結(jié)構(gòu)，才能教給學(xué)生具有生長力的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)才能迸發(fā)出無與倫比的生命力量。

捷克著名教育家夸美紐斯指出：“找出一種教育方法，使教師因此而少教，但是學(xué)生可以多學(xué)；使學(xué)校因此可以少些喧囂、厭惡和無益的勞苦，獨具閑暇、快樂及堅實的進(jìn)步。”[1]毋庸置疑，基于高品質(zhì)關(guān)注學(xué)生生命成長、高水平理解數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)、高起點創(chuàng)造數(shù)學(xué)生長過程的“生長數(shù)學(xué)”，便是對這種教育信念的踐行。本文就“再探冪的運算”這一教學(xué)活動，談?wù)劰P者思索“生長數(shù)學(xué)”這一教學(xué)主張的立意。

一、從問題中生長思維

生命的本質(zhì)特征是自然生長、必然生長。數(shù)學(xué)教學(xué)的價值在于思維教學(xué)，思維教學(xué)的關(guān)鍵在于創(chuàng)設(shè)思維必然的場景，從而讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)活動學(xué)會數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而學(xué)會思維，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

“再探冪的運算”這節(jié)課在江蘇南通借班上課，他們使用的是人教版教材，這節(jié)內(nèi)容被安排在八年級上冊最后一章中，筆者上課時八年級學(xué)生還沒有學(xué)到這一內(nèi)容，所以借用九年級學(xué)生開啟“再探冪的運算”這一學(xué)習(xí)之旅。

開始上課時就直接提出“活動1”：“同學(xué)們，我們在八年級上冊學(xué)習(xí)了冪的運算，從冪的運算這個課題上看，這節(jié)課我們要研究什么問題？”這個直擊本節(jié)探究中心的問題，它不是要求學(xué)生將已學(xué)過的am·an=am+n、am÷an=am-n、（ab）n=anbn、（am）n=amn這四種冪的運算性質(zhì)重述一遍，而是要靠學(xué)生自己的思維，認(rèn)真審題，自然地思考。這里的自然思考，不是教師強加給學(xué)生的，而是問題情境產(chǎn)生的思維場把學(xué)生帶入到思維自然的狀態(tài)。這種自然思維的狀態(tài)，就是弄清本問題讓你干什么。干什么呢？自然要探究冪的加法、減法、乘法、除法、乘方和開方這六種運算，接下來學(xué)生的思維就進(jìn)入具體探究這六種運算的必然思維中。

顯然，學(xué)生思維的方向性和層次法是由教師設(shè)置問題的目的性和質(zhì)量決定的。如果設(shè)置的問題不能構(gòu)成有效的思維場，那么學(xué)生的思維就沒有方向性，即使教師把答案告訴學(xué)生，也是強加給學(xué)生的，不是學(xué)生自然生長出來的，這種缺失自然性的思維是沒有生命的。如果設(shè)置的問題不能構(gòu)成合理的思維場，那么學(xué)生的思維就缺失必然性，也就沒有層次性，這樣的思維也是沒有生命的。

在“活動1”的基礎(chǔ)上，再逐級給出8個活動，它們拾級而上，逐漸生長，形成本節(jié)課的9個問題鏈。這9個問題鏈又形成了本節(jié)課的思維流，講述著冪的運算的“思維故事”[2]。故事的立意不是已學(xué)過冪的運算性質(zhì)的老生常談，而是基于“再探”生長理念的創(chuàng)新認(rèn)識，這時學(xué)生回首眺望，倍感本節(jié)課“再探”的價值珍貴。這里的思維價值既有像“本節(jié)課就是要逐一探究冪的六種運算”這種思維的“干什么”，又有像“如何研究每一種運算”的“怎么干”，這種生長的思維、成長的體驗，出于“數(shù)學(xué)地思維”，又不囿于“數(shù)學(xué)地思維”，是通過數(shù)學(xué)思維積累思維素養(yǎng)，可能將伴隨學(xué)生的一生。

二、從探究中生長學(xué)力

學(xué)力是學(xué)習(xí)能力、動手能力和知識水平的簡稱，它指一個人的知識水平以及在接受知識、理解知識和運用知識方面的能力。因此，生長學(xué)生的學(xué)力、提升學(xué)生的學(xué)力，自然成了數(shù)學(xué)教學(xué)的責(zé)任和擔(dān)當(dāng)。基于這樣的認(rèn)識，數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要重視學(xué)生應(yīng)該要學(xué)到什么，還要關(guān)注讓他們怎樣學(xué)到什么，所以教學(xué)中要給學(xué)生以自主探究的地位、獨立思考的時空，形成過程的感受、體驗成敗的樂趣。只有這樣，學(xué)生的學(xué)習(xí)才能走向深入，學(xué)力才能得以生長。

在這節(jié)課的另一環(huán)節(jié)如何研究冪的加法過程中，首先讓學(xué)生認(rèn)識到這是一個多變量的問題，然后讓學(xué)生自然地將在研究物理、化學(xué)、生物等學(xué)科時的控制變量法遷移到數(shù)學(xué)探究中來，這樣就在數(shù)學(xué)園地里播下了控制變量的種子，并在這個探究活動中讓其落地生根，開花結(jié)果。由此看來，這是一種教學(xué)的智慧，也是一種體現(xiàn)生長數(shù)學(xué)理念的實踐。

具體來講，如果將用控制變量法研究“冪的加法”視為一個“元認(rèn)知”的話，那么將這個“元認(rèn)知”的種子在“冪的乘法”中再次發(fā)芽，又可算是另一次生長；接著將這個“元認(rèn)知”的種子遷移到“冪的乘方”中，這時學(xué)生可體悟到此時控制變量的不適切性；最后將之運用到“活動9”的解題學(xué)習(xí)中，則可彰顯出其強大的生命力。對于第一道題，可將底數(shù)控制成1，求a；可將底數(shù)控制成-1，求a；可將指數(shù)控制成0，求a。對于第二道題和第三道題，同樣可以從控制底數(shù)、指數(shù)兩個變量來考慮，而控制底數(shù)如何來控制，控制指數(shù)如何控制，又大有文章可做，需要再一次的控制，這樣就產(chǎn)生了“一題多解”。如果從控制變量這個角度去看待問題，那么這三道就是“多題一解”；如果整體地去看待這一節(jié)課，那么整節(jié)課也是個“多題一解”。所以說，生長的力量不可小覷！

教學(xué)中展現(xiàn)的控制變量法在“冪的運算”這個環(huán)境中生長的過程，它既有從其他學(xué)科遷移到冪的加法的“從無到有”的過程，也有從冪的加法遷移到冪的乘法的“從有到有”的過程，還有遷移到冪的乘方的“從適應(yīng)到不適應(yīng)”的過程，更有遷移到解題活動中的“從有到強”的過程。在這些過程中，數(shù)學(xué)知識的種子，需要師生給予生長條件，需要學(xué)生的認(rèn)知和內(nèi)化相潤澤。只要學(xué)生從“知識元”出發(fā)，將“最近發(fā)展區(qū)”轉(zhuǎn)化為“營養(yǎng)液”，那么隨著學(xué)生認(rèn)知的不斷完善提高，知識的種子一定會一步步地生長。

這種一次次的生長，一次次的體驗，一次次的積累，正如人民教育出版社數(shù)學(xué)編審高存明老師在講座中所說的那樣：數(shù)學(xué)的生長及學(xué)習(xí)如同大樹的生長過程，種子發(fā)芽、生根、生長，再生根，再生長，循環(huán)往復(fù)，雙向促進(jìn)，最終根深葉茂，葉茂根深。在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，構(gòu)建基本原理，并由此產(chǎn)生的各類知識層面和方法，都要進(jìn)行雙向貫通，不停地返到起點，周而復(fù)始，彼此不斷地溝通、演化、深化，基礎(chǔ)會打得越來越扎實牢固，對各類知識面的理解也越來越深刻。數(shù)學(xué)邏輯可用“性”與“法”這兩條主線，達(dá)到雙向貫通的目的。

三、從感悟中生長品格

“生長數(shù)學(xué)”不光指數(shù)學(xué)知識的內(nèi)部生長，也指學(xué)生數(shù)學(xué)思維的生長，更指學(xué)生的思維品質(zhì)、生命品格和精神價值的生長和提升。如果說在探究中生長學(xué)力是一種能力的提升，那么在數(shù)學(xué)教學(xué)中還要錘煉學(xué)生的思維品質(zhì)和生命品格。提升學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)和生命品格“是一個關(guān)注人的生命成長的過程，是一個將知識生長與人的生命成長協(xié)同發(fā)展的教學(xué)理念的具體體現(xiàn)，也是一個追求彰顯個性發(fā)展的過程，更是一個體悟知識生長、生命成長哲理的過程”[3]。

“再探冪的運算”這節(jié)課，精心架設(shè)了學(xué)生積極思維、主動探究的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在這種結(jié)構(gòu)中，學(xué)生一定會自主地在教師營造的思維場中去探究，有一種刨根問底的探究信念，有一種“舍我其誰”的必勝氣場，有一種大膽嘗試、敢于創(chuàng)新的實踐行為。因為學(xué)生在探究冪的加法時，面對的就是一個司空見慣的加法問題，不是高不可攀的月亮和星星，而是跳一跳可以摘到的桃子。只不過這個問題以另一種形式出現(xiàn)，在某種程度上挑戰(zhàn)了學(xué)生的認(rèn)知底線。此時，學(xué)生的參與度高，探究熱情濃，骨子中“不信自己連一個加法都搞不定”的不服輸?shù)木髣庞腿欢?。在這種氛圍中，學(xué)生呈現(xiàn)出來的一定是積極向上的正能量，在這種思維場中，磨煉出來的一定是向上正能量的學(xué)習(xí)品質(zhì)和生命品格。

課堂教學(xué)只有像這樣用問題、用思維去引領(lǐng)、激發(fā)和喚醒學(xué)生，順著學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律不斷向前推進(jìn)，新知才能在舊知的樹干上萌發(fā)新芽，向著陽光努力生長；學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)和生命品格才能在自己的感悟中不斷得到有效、有度的錘煉；數(shù)學(xué)教育才能接近高位的教學(xué)目標(biāo)，數(shù)學(xué)教學(xué)才能在人的發(fā)展中發(fā)揮正能量；教育的力量才能自然地潛移默化、春風(fēng)化雨。

四、從內(nèi)化中生長素養(yǎng)

教育部2016年9月公布的《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》總體框架中指出：學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)，主要指學(xué)生應(yīng)具備的、能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。這就是說基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，既要立足當(dāng)前的知識技能的發(fā)展，更要關(guān)注長遠(yuǎn)的能力品質(zhì)的形成，真正把數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計成數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，把數(shù)學(xué)活動的教學(xué)設(shè)計成數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，把數(shù)學(xué)思維的教學(xué)設(shè)計成人的生命成長的教學(xué)。在關(guān)注知識生長、生命成長的活動過程中，內(nèi)化知識技能，積累活動經(jīng)驗，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

知識生長活動、生命成長的體悟都必須把握好生長和成長的時空與路徑，“認(rèn)真謀劃知識的生長過程，精心設(shè)計好問題生長的路徑，要創(chuàng)造性地提煉知識的生長鏈”[4]。“再探冪的運算”這節(jié)課，一方面，設(shè)計了冪的加、減、乘、除、乘方、開方這六個大路徑，在大路徑中又用控制變量法和逆運算法設(shè)計了多個小路徑，為學(xué)生提供了足夠的探究、生長空間。另一方面，從整節(jié)課來看，用問題驅(qū)動，開辟路徑來激起學(xué)生思維及情感的波瀾，這樣學(xué)生不再僅僅是收獲一份結(jié)論，還有活動中自我完善與自我優(yōu)化的思維策略，從而形成比較完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這種優(yōu)化的策略與意識，有力地促進(jìn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生長。

“教育的出發(fā)點和落腳點就是讓學(xué)生經(jīng)歷一種成長、見證一種成長”[5]，這也是生長數(shù)學(xué)的教育情懷和教育理念。我們只有立足數(shù)學(xué)教學(xué)的高遠(yuǎn)目標(biāo)，以學(xué)生為本，以學(xué)生的思維為本，以累積學(xué)生的素養(yǎng)為本，從內(nèi)心深處把學(xué)生當(dāng)作神圣的生命，尊重他們的認(rèn)知基礎(chǔ)和活動經(jīng)驗，那么，知識、學(xué)力、經(jīng)驗、智慧、品行等素養(yǎng)就一定會從數(shù)學(xué)課堂中慢慢地拼命地生長出來！

【參考文獻(xiàn)】

[1]夸美紐斯.大教學(xué)論[M].傅任敢，譯.北京：人民教育出版社，1979.

[2]卜以樓.生長構(gòu)架：復(fù)習(xí)課的理念創(chuàng)新[J].中學(xué)數(shù)學(xué)：下旬，2016（10）.

[3]卜以樓.相似圖 遷徙鏈 生長路——基于生長型架構(gòu)下相似三角形復(fù)習(xí)課的實踐與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2016（04）.

[4]卜以樓.用生長型構(gòu)架進(jìn)行中考復(fù)習(xí)：“增長率問題”復(fù)習(xí)案例[J].中國數(shù)學(xué)教育：初中，2010（03）.

[5]卜以樓.生長型構(gòu)架下實數(shù)復(fù)習(xí)課的教學(xué)實踐與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)：下旬，2016（03）.