賈諾,王濤

(哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150025)

Devaney定義下變換的拓?fù)浜碗S機(jī)性質(zhì)的關(guān)系

賈諾,王濤

(哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150025)

利用拓?fù)浜捅闅v理論對(duì)Devaney混沌意義下變換的弱混合與拓?fù)浠旌稀⑼負(fù)鋫鬟f及初值敏感的關(guān)系進(jìn)行了研究,改進(jìn)了已有文獻(xiàn)的結(jié)論,證明了弱混合則初值敏感.

保測(cè)變換;弱混合;拓?fù)鋫鬟f;初值敏感

1 引言

Devaney混沌定義是目前普遍流行的幾個(gè)混沌定義之一[1],它從拓?fù)涞慕嵌瓤虅澚嘶煦?給出了一維、高維甚至是Banach空間上的非線性迭代系統(tǒng)的精確的數(shù)學(xué)描述,并逐步用于對(duì)混沌動(dòng)力系統(tǒng)的研究,如醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、通信、工程、信息處理和概率理論等等[26].

在研究混沌的三種常用方法中,基于Devaney混沌定義的微觀拓?fù)浞椒ê突诒闅v理論的隨機(jī)方法受到了廣泛關(guān)注[7].許多學(xué)者利用拓?fù)浞椒ń沂玖嘶煦缍x中變換滿足的三個(gè)條件之間的關(guān)系[810],與此同時(shí),由于系統(tǒng)軌道行為具有混合、弱混合和傳遞等特征,以泛函分析和譜理論為工具研究變換的混合性質(zhì)的隨機(jī)方法也引起了研究者的濃厚興趣[1114].近年來(lái),為了建立拓?fù)浜碗S機(jī)方法間的聯(lián)系,不斷有學(xué)者致力于動(dòng)力系統(tǒng)的拓?fù)浜碗S機(jī)性質(zhì)間關(guān)系的研究.徐正杰等[15]研究了連通、緊致、光滑的黎曼流形上的光滑迭代映射的混合與初值敏感的關(guān)系,研究結(jié)果表明混合是拓?fù)鋫鬟f和初值敏感的充分條件.Salim[16]證明了對(duì)定義了Borel概率測(cè)度的非平凡緊致度量空間上的連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng),若映射拓?fù)浠旌蟿t初值敏感,且驗(yàn)證了拓?fù)浠旌先跤诨旌?在文獻(xiàn)[17]中,我們證明了若連續(xù)變換f弱混合且周期點(diǎn)稠密,則f初值敏感.

為了進(jìn)一步展示動(dòng)力系統(tǒng)的拓?fù)浜碗S機(jī)性質(zhì),本文從一個(gè)新的角度分別驗(yàn)證了弱混合與拓?fù)浠旌稀⑼負(fù)鋫鬟f及初值敏感之間的關(guān)系.研究表明弱混合則意味著拓?fù)鋫鬟f和初值敏感,減弱了文獻(xiàn)[15-16]中的定理?xiàng)l件,改進(jìn)了相關(guān)結(jié)果.

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)M 為度量空間,d為定義在M上的距離,f:M→M為M到自身的連續(xù)映射,則拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)可以描述為(M,f),其中M 代表系統(tǒng)的狀態(tài)集合,f用于刻劃系統(tǒng)的狀態(tài)演化.

定義 2.1[1]度量空間(M,d)上M 到自身的連續(xù)映射f在Devaney意義下是混沌的,當(dāng)且僅當(dāng)下面條件成立：

(i)f是拓?fù)鋫鬟f的,即對(duì)于 M 中的每一對(duì)非空集合 U和 V,存在一個(gè)正整數(shù) n,使得

(ii)f的周期點(diǎn)集在M 中稠密;

(iii)f初值敏感,即存在敏感正常數(shù)σ＞0,對(duì)每一x∈M 和它的開(kāi)鄰域Nx,存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)n,使得

關(guān)于變換f:M→M 的其他相關(guān)定義如下：

(a)若對(duì)任意非空開(kāi)集U,V?M,存在整數(shù)n≥0,使得對(duì)每個(gè)k≥n,都有

則f是拓?fù)浠旌系?

(b)若對(duì)任意可測(cè)集A∈σ(M)都有

則稱f保持測(cè)度μ或測(cè)度μ是f不變的;

(c)若對(duì)任意A,B∈σ(M)有

則保測(cè)變換f:M→M 是弱混合的.

定義 2.2[11]設(shè)集合A??且n∈?.定義

其中

表示大于1小于n的自然數(shù)集合,則ν?(A),ν?(A)分別稱為集合A的上密度和下密度.如果進(jìn)一步有

則稱ν(A)為集合A的密度.

3 主要結(jié)果

首先給出以下引理和定理的前提假設(shè).設(shè) (M,σ(M),d)是一個(gè)非退化的緊致度量空間, σ(M)表示(M,d)上的Borelσ-代數(shù),μ為(M,σ(M))上的概率測(cè)度且其支撐集supp(μ)=M,即

其中

f:M→M是M到自身的連續(xù)可逆保測(cè)變換.

引理3.1f:M→M 是弱混合的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意非空開(kāi)集U,V?M,存在一個(gè)密度為1的正整數(shù)集K,使得對(duì)每一個(gè)k∈K,都有

證明由文獻(xiàn)[18]中W 的性質(zhì)可以直接得到結(jié)論.

命題 3.1若f拓?fù)浠旌蟿t弱混合.

證明由f拓?fù)浠旌现?對(duì)任意非空開(kāi)集U,V?M,存在非負(fù)整數(shù)N≥0,使得對(duì)每一個(gè)k≥N,有

成立.于是,

且

由引理3.1得f是弱混合的.

注 3.1在某些特定情形下,弱混合與拓?fù)浠旌鲜堑葍r(jià)的,例如,f=a·A是緊致度量的Abelian群G上的仿射變換,其中a∈G,A:G→G是G上的滿同態(tài).但通常由f弱混合無(wú)法得到拓?fù)浠旌?即命題3.1的逆命題未必成立.例如,在文獻(xiàn)[12]中,令τ(M)代表M 上所有保測(cè)變換全體構(gòu)成的集合,若采用文獻(xiàn)[19]中的弱拓?fù)鋵ⅵ?M)拓?fù)浠?則在此拓?fù)湎麓嬖谌趸旌系峭負(fù)浠旌系淖儞Q.

命題3.2若f:M→M 弱混合則拓?fù)鋫鬟f.

證明用反證法.假設(shè)變換f不是拓?fù)鋫鬟f的,則存在M 中的非空開(kāi)集U和V,使得對(duì)所有n∈?都有

于是

與引理3.1矛盾.因此f是拓?fù)鋫鬟f的.

注 3.2這里我們基于引理3.1給出了命題3.2的證明,與文獻(xiàn)[17]中采用的遍歷定理方法不同,也更簡(jiǎn)潔.

引理3.2若f:M→M 拓?fù)鋫鬟f且支撐集supp(μ)=M,則對(duì)任意非空開(kāi)集U?M,存在帶有正密度的非負(fù)整數(shù)遞增序列{nk}k≥1,使得

證明對(duì)任意M 中的非空開(kāi)集U,由sup p(μ)=M 知μ(U)＞0.由于f保持測(cè)度μ,由不變測(cè)度的遍歷分解定理知存在遍歷測(cè)度ν,使得ν(U)＞0.根據(jù)Birkho ff遍歷定理,令

則ν(Gν)=1,因此且對(duì)任意x∈Gν∩U和g,有

令

則

即

是帶有正密度的集合.

引理3.3設(shè)supp(μ)=M,f:M→M 是拓?fù)鋫鬟f但非初值敏感的,則存在M 中的非空開(kāi)集U,V和帶有正密度的非負(fù)整數(shù)遞增序列{nk}k≥1,使得

證明由M 是非退化的知,存在δ＞0,使得對(duì)任意y∈M 都有

又由f不是初值敏感的可得,存在x∈M及其鄰域Nx,使得對(duì)任意自然數(shù)n≥0和y∈Nx有

于是有

再由已知supp(μ)=M 得μ(Nx)＞0,根據(jù)引理3.2,存在帶有正密度的非負(fù)遞增整數(shù)整數(shù)序列,使得

進(jìn)一步,令

則存在ε＞0,使得B(z,ε)?Nx.于是對(duì)任意u∈B(z,ε)和所有k≥1,由不等式(6)得

因此

令

則V非空,且

定理3.1若f:M→M 弱混合,supp(μ)=M,則f初值敏感.

證明由f弱混合及命題3.2知,f拓?fù)鋫鬟f.若f不是初值敏感的,由引理3.3知,存在非空開(kāi)集U,V?M 和帶正密度的非負(fù)整數(shù)遞增序列{nk}k≥1,使得

這與引理3.1矛盾.

4 結(jié)論

本文對(duì)Devaney混沌意義下變換f的拓?fù)浜碗S機(jī)性質(zhì)的關(guān)系進(jìn)行了探討,證明了若f是連續(xù)可逆保測(cè)變換,則f弱混合意味著拓?fù)鋫鬟f和初值敏感.所得結(jié)論將文獻(xiàn)[15-16]的驗(yàn)證條件減弱為弱混合,改進(jìn)了其結(jié)論.在此基礎(chǔ)上仍有以下問(wèn)題值得進(jìn)一步研究：

(1)在一般流形上f拓?fù)鋫鬟f并不能保證Devaney混沌定義中的其他兩條性質(zhì),是否一般流形下變換f的混合性質(zhì)能保證其定義域內(nèi)周期點(diǎn)的稠密性有待于進(jìn)一步探討;

(2)本文中f的拓?fù)湫再|(zhì)成立的充要條件;

(3)文獻(xiàn)[20-23]將f的隨機(jī)性質(zhì)推廣到f的Zadeh延展型上.盡管已有一些文獻(xiàn)討論了的拓?fù)浜碗S機(jī)性質(zhì)及與f的關(guān)系,但的拓?fù)浜碗S機(jī)性質(zhì)的關(guān)系仍不清楚,需要進(jìn)一步探討.

參考文獻(xiàn)

[1]Devaney R.An Introduction to Chaotic Dynamical Systems[M].Boston:Addison-Wesley,1989.

[2]Banasiak J,Lachowicz M,Moszynski M.Topological Chaos:When Topology Meets Medicine[J].Appl.Math.Lett.,2003,16(3):306-308.

[3]Khan M A,Mitra T.On topological chaos in the Robinson-Solow-Srinivasan model[J].Econom.Lett., 2005,88(1):127-133.

[4]Finn M D,Thi ff eault J L,Gouillart E.Topological chaos in spatially periodic mixers[J].Phys.D,2006,221(1): 92-100.

[5]Wei L,Ruan J.Chaotic dynamics of an integrate-and- fi re circuit with periodic pulse-train input[J].IEEE Trans.Circuits Syst.I,2003,50(5):686-778.

[6]Akhmet M U.Devaney’s chaos of a relay system[J].Commun.Nonlinear Sci.Numer.Simul.,2009,14(4):1486-1493.

[7]Rudnicki R.Chaos for some in fi nite-dimensional dynamical systems[J].Math.Methods Appl.Sci.,2004,27(6): 723-738.

[8]Banks J,Brooks J,Cairns G.et al.On Devaney’s de fi nition of chaos[J].Amer.Math.Monthly,1992,99(4):332-334.

[9]Vellekoop M,Bergllund R.On intervals,transitivity=chaos[J].Amer.Math.Monthly,1994,101(4):353-355.

[10]Syahida C D,Good C.On Devaney Chaos and Dense Periodic Points:Period 3 and Higher Implies Chaos[J].Amer.Math.Monthly,2015,122(8):773-780.

[11]Pollicott M,Yuri M.Dynamical Systems and Ergodic Theory[M].Cambridge:Cambridge University Press, 1998.

[12]Peter W.An Introduction to Ergodic Theory[M].Berlin:Springer,1981.

[13]Akin E.The General Topology of Dynamical Systems[M].Providence:American Mathematical Society, 1993.

[14]Grosse-Erdman K G,Manguillot A P.Linear Chaos[M].Berlin:Springer,2011.

[15]Xu Z J,Lin W,Ruan J.Decay of correlations implies chaos in the sense of Devaney[J].Chaos Solitons Fractals,2004,22(2):305-310.

[16]Salim L.On some stochastic properties in Devaney’s chaos[J].Chaos Solitons Fractals,2006,28(3):668-672.

[17]王濤,賈諾.Devaney混沌的隨機(jī)性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2010,40(7):210-213.

[18]England J W,Martin N F B.On weak mixing metric automorphisms[J].Bull.Amer.Math.Soc.,1968,74(3):505-507.

[19]Halmos P R.Lectures on Ergodic Theory[M].Chelsea,New York,1956.

[20]Rom′an-Flores H,Chalco-Cano Y.Some chaotic properties of Zadeh’s extension[J].Chaos Solitons Fractals, 2008,35(3):452-459.

[21]Kupka J.On Devaney chaotic induced fuzzy and set-valued dynamical systems[J].Fuzzy Sets and Systems, 2011,177(1):34-44.

[22]Kupka J.On fuzzi fi cations of discrete dynamical systems[J].Inform.Sci.,2011,181(13):2858-2872.

[23]Lan Y,Li Q,Mu C,et al.Some chaotic properties of discrete fuzzy dynamical systems[J].Abstr.Appl.Anal.,2012,Article ID 875381,9 pages.

Links between topological and stochastic properties of transformation in definition of Devaney′s chaos

Jia Nuo,Wang Tao
(School of Mathematical Sciences,Harbin Normal University,Harbin 150025,China)

We explored the relationships between topological mixing and weak mixing,weak mixing and topological transitivity,weak mixing and sensitive dependence on initial conditions in the sense of Devaney’s chaos by using topology and ergodic theory.The main result that weak mixing can be seen as a new sufficient condition to sensitive dependence on initial conditions is obtained,which improves the results in existing literature.

measure-preserving transformation,weak mixing,topological transitivity, sensitive dependence on initial conditions

O193

A

1008-5513(2017)01-0012-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.01.002

2016-11-23.

黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(12541243);哈爾濱師范大學(xué)青年學(xué)術(shù)骨干資助計(jì)劃研究項(xiàng)目(KGB201222).

賈諾(1978-),博士,副教授,研究方向：微分方程與控制論.

王濤(1977-),博士,副教授,研究方向:概率統(tǒng)計(jì).

2010 MSC:37A25,54H20