蘇科版七（下）“證明（1）”教學(xué)案例

■王曉蘭

一、情境創(chuàng)設(shè)

師：同學(xué)們，眼見一定為實嗎？

生（齊）：一定。

師（給出兩幅圖片：兩個等大的圓出現(xiàn)在兩幅圖中，一個是大圓內(nèi)的小同心圓，一個是小圓外的大同心圓）：這兩個圓一樣大嗎？

生（齊）：不一樣大。

師（演示平移）：請同學(xué)們再看一看。

生（齊）：一樣大。

師：可見，眼見不一定為實。它告訴我們，通過觀察、操作實驗可發(fā)現(xiàn)一些結(jié)論，但它們不一定都正確，其正確性需進(jìn)行證實。今天我們就來學(xué)習(xí)證實結(jié)論正確性的方法——證明。

二、探索活動

活動一（課本第147頁）

師：請看問題。如圖1，長am寬bm的長方形草坪中間有一條1m寬的直道，現(xiàn)改為1m寬的“曲徑”，如圖2，這兩條小道的面積相等嗎？為什么？請大家獨立思考后，進(jìn)行小組交流。

（學(xué)生思考、計算。）

圖1

圖2

師：有結(jié)果了嗎？誰來把你探索的成果與同學(xué)們交流一下？

生1：相同。易知圖1中直道是bm2，對于圖2中的曲徑，可設(shè)想將它的兩邊拉直，可得到一個底為1m、高為bm的平行四邊形，面積也是bm2，兩者相等。

師：很好！將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，答案一目了然，轉(zhuǎn)化是常用的思想方法。有其他方法嗎？

生2：可以這樣思考，把左邊草坪都向右平移1m，得到的都是邊長為（a-1）m和bm的長方形，其面積相等，因此兩條小道的面積相等。

師：把左邊的草坪整個向右平移，能和右邊的草坪拼合嗎？請同學(xué)們按屏幕上的要求進(jìn)行操作，體會一下兩塊草坪是否真能拼合；若能，怎樣計算曲徑的面積？

（屏幕呈現(xiàn)操作要求：①用一張透明紙覆蓋在圖2上，描出小道左邊草坪的邊框；②把透明紙向右平移，使左、右兩邊的草坪拼合。你發(fā)現(xiàn)了什么？為什么？）

（學(xué)生動手操作。）

生3：曲徑處1m寬可以保證拼合，小道的面積等于長方形的面積減去兩塊草坪的面積，即a·b-a·(b-1)=b（m2）。

生4：曲徑的面積就是平移后左邊留下的長方形的面積，都是bm2。

師：通過平移，易得到曲徑面積也是bm2，由此說明結(jié)論是正確的。

活動二（由課本第148頁題目改編）

師：請思考下面的問題，然后把你的發(fā)現(xiàn)與同桌交流一下，看誰的結(jié)論正確。

（2）換幾個數(shù)再試試，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（學(xué)生計算后，同桌交流。）

師：誰來與大家分享一下你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。

生5：2-2m+m2的值是正數(shù)。

生6：2-2m+m2的值都大于或等于1。

生7：m的值為負(fù)數(shù)時，m的值越小，代數(shù)式的值就越大。

生8：m的值為正數(shù)時，m的值越大，代數(shù)式的值就越大。

師：這些結(jié)論正確嗎？請大家小組內(nèi)研討，然后請各組的代表將你們的想法在全班交流。

生9：只有生8的結(jié)論不正確，m等于0.5和1.5時，代數(shù)式的值相等。

師：你們怎么知道前面三個結(jié)論都是正確的？

生10：舉例子。

師：同學(xué)們，代數(shù)式中的m可以取哪些值？你能把所有滿足要求的數(shù)都取到嗎？怎么辦？

生11：不用一一取數(shù)，可以通過代數(shù)式的變形來證明：m2-2m+2=m2-2m+1+1=(m-1)2+1，無論m取何值，(m-1)2都大于或等于0，則(m-1)2+1總大于或等于1，生5和生6的結(jié)論正確。

生12：m是負(fù)數(shù)，它越小，m-1就越小，絕對值也越大，(m-1)2+1的值就越大，生7結(jié)論正確。

師：非常好！面對同一個代數(shù)式，從不同的角度觀察、思考能得到不同的結(jié)論。這些結(jié)論有的正確，有的錯誤，我們必須通過說理才能作出判斷。

活動三（課本第148頁）

師：讓我們一起走進(jìn)數(shù)學(xué)實驗室，繼續(xù)來探索結(jié)論并說明理由。請同學(xué)們拿出事先準(zhǔn)備好的邊長為8cm的正方形紙片，先按圖3剪成4塊，再按圖4重新拼合，你發(fā)現(xiàn)了什么問題？

圖3

圖4

生13（思考討論后）：這4塊紙片能恰好拼成一個長為13cm、寬為5cm的長方形嗎？

師：你為什么會提出這樣的問題呢？

生13：因為圖3是正方形，面積為64cm2，圖4是長方形，面積為65cm2，它們不相等。

師：很好，通過計算面積，我們發(fā)現(xiàn)并提出了問題，得出了由圖3不可能拼成圖4的結(jié)論。運用以后學(xué)習(xí)的知識，我們還可以找到很多種方法來說明圖4不是長方形。

活動四（課本第149頁）

師：先請同學(xué)們按屏幕上圖5的要求畫圖操作，再思考后面的問題：畫∠AOB=90°，并畫∠AOB的平分線OC。（1）將三角尺的直角頂點落在OC上的點P處，使三角尺的兩直角邊與∠AOB的兩邊分別交于點E、F，比較PE、PF的長度；（2）把三角尺繞點P旋轉(zhuǎn)，比較PE、PF的長度，你得到了什么結(jié)論？

圖5

圖6

（學(xué)生畫圖、操作。）

生14：（1）中PE=PF，（2）中PE與PF好像不相等。

師：三角尺旋轉(zhuǎn)到哪個位置時，不用度量就能說明PE=PF？依據(jù)是什么？

生15：PE垂直于OA、PF垂直于OB時，此時四邊形OEPF是正方形，正方形的邊長相等。

師：還有什么位置不用度量就能說明PE= PF？依據(jù)又是什么？

生16：當(dāng)點E和點O重合或點F和點O重合時，此時得到等腰三角形，等腰三角形兩腰相等。

師：是的，三角板旋轉(zhuǎn)到這幾個特殊位置時，PE=PF。其實三角板在一般位置時，也能說明PE=PF，我們來用幾何畫板檢驗一下，請看大屏幕。

（師演示。）

生：哎，真的相等??！

師：是的，確實相等，關(guān)于這個結(jié)論的說理，今后我們會研究。剛才一部分同學(xué)得到PE不等于PF的結(jié)論，可能是畫圖和測量中的誤差造成的。

三、課堂練習(xí)

師：請看課本第149頁練習(xí)3：任意寫兩個相鄰偶數(shù)，計算較大偶數(shù)與較小偶數(shù)的平方差。換兩個相鄰偶數(shù)再試試，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（學(xué)生先獨立探索、研究，整理說理過程，然后匯報。）

生17：兩個相鄰偶數(shù)，較大偶數(shù)與較小偶數(shù)的平方差，等于這兩個相鄰偶數(shù)中間的奇數(shù)的4倍。

師：有不同的意見嗎？如果沒有，誰來說明其正確性的理由？

生18（迫不及待地）：設(shè)兩個相鄰偶數(shù)為2n和2n+2，則（2n+2）2-（2n）2=（2n+2-2n）（2n+2+ 2n）=2（4n+2）=4（2n+1），因此結(jié)論正確。

師：漂亮！有不同的說理方法嗎？

生19：也可以用乘法公式來說理。

師：不錯！這里我們通過舉例、運算發(fā)現(xiàn)了一個結(jié)論，然后運用說理判斷這個結(jié)論是否正確。像這樣借助操作實驗，進(jìn)行觀察猜想，探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再尋求恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行說理，判斷結(jié)論是否正確的過程，正是人類進(jìn)行科學(xué)研究的一般過程。

四、課堂小結(jié)

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對“說理”有哪些感受，還有什么問題嗎？

生20：通過觀察、實驗、操作獲得的結(jié)論，有的正確，有的錯誤，說理可判斷它們的正確性。那么，如何有條理地表達(dá)說理過程呢？

生21：本節(jié)課學(xué)習(xí)的說理方法有計算、代數(shù)式變形、推理、舉例子，還有其他說理方法嗎？

師：大家提出的問題很好，這些正是我們今后所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

五、布置作業(yè)（略）

（本課例獲江蘇省泰州市初中數(shù)學(xué)高級教師優(yōu)質(zhì)課評比一等獎。作者為泰州市初中數(shù)學(xué)名師工作室成員，現(xiàn)任教于興化市板橋初級中學(xué)）