吳立堯，袁長(zhǎng)清，施強(qiáng)

(空軍航空大學(xué) 飛行器與動(dòng)力系，吉林 長(zhǎng)春 130022)

二體旋轉(zhuǎn)庫侖衛(wèi)星編隊(duì)反饋線性化滑?？刂?/p>

吳立堯，袁長(zhǎng)清，施強(qiáng)

(空軍航空大學(xué) 飛行器與動(dòng)力系，吉林 長(zhǎng)春 130022)

為了減少在庫侖衛(wèi)星編隊(duì)運(yùn)動(dòng)過程中不確定因素的影響，避免控制過程中發(fā)生抖振現(xiàn)象，提高控制器的穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性，設(shè)計(jì)了適用于二體旋轉(zhuǎn)庫侖衛(wèi)星編隊(duì)的反饋線性化滑?？刂品椒?。首先在地月系平動(dòng)點(diǎn)L2點(diǎn)處附近建立二體旋轉(zhuǎn)庫侖衛(wèi)星編隊(duì)的動(dòng)力學(xué)模型并進(jìn)行簡(jiǎn)化，針對(duì)庫侖編隊(duì)動(dòng)力學(xué)特性，在滑模控制中加入了線性化反饋項(xiàng)，保證了編隊(duì)整體的魯棒性；仿真結(jié)果證明，該方法能夠使編隊(duì)達(dá)到預(yù)期構(gòu)型，具有良好的控制性能。

庫侖衛(wèi)星編隊(duì)；平動(dòng)點(diǎn)；反饋線性化；滑?？刂疲环抡?；魯棒性

0 引言

近年來，關(guān)于近距離(10～100 m)衛(wèi)星編隊(duì)飛行的研究和應(yīng)用成為了航天領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一，King等[1]在2002年首次提出衛(wèi)星庫侖力編隊(duì)的概念以來，庫侖力編隊(duì)衛(wèi)星技術(shù)受到了廣泛關(guān)注。所謂庫侖力衛(wèi)星編隊(duì)技術(shù)，即控制衛(wèi)星的靜電荷量，通過設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)目刂坡筛淖兒教炱鏖g相互作用靜電力來控制衛(wèi)星編隊(duì)的構(gòu)型、姿態(tài)、距離等以完成預(yù)期任務(wù)。目前庫侖衛(wèi)星編隊(duì)飛行已成功應(yīng)用到了SCATHA，ATS，CLUSTER任務(wù)中。

King和Parker[2]系統(tǒng)地研究了靜態(tài)庫侖編隊(duì)平衡電量和平衡位置的求解問題?；贖ill方程，利用編隊(duì)構(gòu)形對(duì)稱性及圓形參考軌道條件，討論了靜態(tài)庫侖編隊(duì)平衡電量的存在性。Berryman和Schaub[3]提出一種求解靜態(tài)庫侖虛擬結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)平衡電量的數(shù)值方法。之后兩人又利用非經(jīng)典哈密爾頓庫侖衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)方程，通過將軌道運(yùn)動(dòng)和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)解耦，提出了應(yīng)用恒定電荷量實(shí)現(xiàn)靜態(tài)編隊(duì)的必要條件[4]。

對(duì)于庫侖編隊(duì)系統(tǒng)反饋控制問題，Hussein等[5]于2007年首次研究庫侖虛擬結(jié)構(gòu)的反饋控制問題?？紤]三結(jié)點(diǎn)共線虛擬結(jié)構(gòu)，應(yīng)用線性化相對(duì)動(dòng)力學(xué)方程設(shè)計(jì)了電荷反饋控制律。Natarajan等[6-8]針對(duì)地球同步軌道的二體庫侖虛擬繩系編隊(duì)推導(dǎo)出衛(wèi)星的相對(duì)距離動(dòng)力學(xué)方程和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程，并設(shè)計(jì)了電荷反饋控制器：文獻(xiàn)[6]在軌道徑向方向?qū)⒎蔷€性動(dòng)力學(xué)方程線性化，設(shè)計(jì)了電荷PD反饋控制律來穩(wěn)定二體庫侖編隊(duì)構(gòu)型；文獻(xiàn)[7]在軌道跡向方向和法線方向采用了推力器和庫侖力相結(jié)合的方式，設(shè)計(jì)了一個(gè)混合反饋控制律，并且沒有引起羽流問題；文獻(xiàn)[8]基于線性化平面外解耦模型，提出了一個(gè)只用庫侖力進(jìn)行控制的控制律。Inampudi和Schaub等[9-10]針對(duì)于二體庫侖編隊(duì)在地月平動(dòng)點(diǎn)處推導(dǎo)編隊(duì)動(dòng)力學(xué)模型并設(shè)計(jì)了反饋控制律：文獻(xiàn)[9]利用拉格朗日方程推導(dǎo)出衛(wèi)星相對(duì)距離動(dòng)力學(xué)方程和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程的一般式，設(shè)計(jì)電荷PD反饋控制律穩(wěn)定構(gòu)型；文獻(xiàn)[10]考慮了環(huán)境力矩包括重力梯度力矩和太陽光壓攝動(dòng)。Wang和Schaub[11]研究了地球同步軌道處兩衛(wèi)星自旋庫侖虛擬結(jié)構(gòu)控制問題，設(shè)計(jì)全狀態(tài)反饋電荷控制器，并應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性理論，證明閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

目前國(guó)內(nèi)在靜態(tài)編隊(duì)以及動(dòng)態(tài)編隊(duì)研究還比較少。王婷[12]分析了五星庫侖編隊(duì)飛行的靜態(tài)構(gòu)型，并設(shè)計(jì)了線性二次型最優(yōu)控制律保持編隊(duì)穩(wěn)定。張皓和師鵬[13]在兩星問題結(jié)論的基礎(chǔ)上，通過對(duì)開環(huán)控制和閉環(huán)控制的仿真分析，給出了利用庫侖力技術(shù)實(shí)現(xiàn)懸停軌道的實(shí)施方案。黃靜[14]在Wang和Schaub[11]的基礎(chǔ)上解決了二星編隊(duì)在地月L2點(diǎn)附近的旋轉(zhuǎn)二體庫侖衛(wèi)星的相對(duì)運(yùn)動(dòng)控制問題。首先推導(dǎo)了限制性三體模型下二體衛(wèi)星在地-月系L2點(diǎn)附近的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，進(jìn)一步在抗飽和方法與反步法相結(jié)合的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了狀態(tài)限制輔助函數(shù)，解決了存在控制和狀態(tài)受限的衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)變化并保持的虛擬結(jié)構(gòu)控制問題。另外黃靜[15]針對(duì)于平動(dòng)點(diǎn)附近處二體繩系系統(tǒng)姿軌耦合控制問題，首先采用歐拉-拉格朗日方程對(duì)二體衛(wèi)星建模，設(shè)計(jì)了非線性二次型最優(yōu)控制器實(shí)現(xiàn)了對(duì)二體繩系系統(tǒng)的長(zhǎng)周期穩(wěn)定控制。

本文在Wang[11]的基礎(chǔ)上，考慮在深空環(huán)境下地月系平動(dòng)點(diǎn)L2點(diǎn)附近情況下，兩衛(wèi)星自旋虛擬結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)控制問題。首先推導(dǎo)出限制性三體模型下二體庫侖衛(wèi)星在地月系平動(dòng)點(diǎn)處附近處的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，采用反饋線性化滑模變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計(jì)系統(tǒng)控制器，為系統(tǒng)提供了更好的動(dòng)態(tài)特性，通過仿真驗(yàn)證了該方法的可行性與優(yōu)點(diǎn)。

1 問題描述

1 .1 二體庫侖衛(wèi)星編隊(duì)動(dòng)力學(xué)建模

如圖1為限制性三體問題下的二體庫侖衛(wèi)星系統(tǒng)，O為地月系的公共質(zhì)心，Oxyz為以O(shè)為中心的慣性坐標(biāo)系，地球與月球連線繞軸Oz以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。令地球和月球的質(zhì)量分別為M1和M2，2顆衛(wèi)星質(zhì)量分別為m1和m2。

圖1 限制性三體問題下的二體庫侖衛(wèi)星系統(tǒng)Fig.1 Two-body coulomb satellite system

假設(shè)衛(wèi)星電勢(shì)小于自身等離子體動(dòng)能，那么兩衛(wèi)星之間庫侖力作用在第1顆衛(wèi)星上可表示為

(1)

式中:kc為庫侖常數(shù)，大小為8.99×109C-2·N·m2；Q為兩帶電衛(wèi)星電荷乘積Q=q1q2，其中q1和q2分別為兩衛(wèi)星所帶電荷量；L為兩衛(wèi)星之間相對(duì)距離；λd為德拜長(zhǎng)度(研究表明，在地球低軌道上，德拜長(zhǎng)度僅為毫米至厘米量級(jí)；在地球同步軌道上，德拜長(zhǎng)度為100～1 000 m；在深空環(huán)境中，德拜長(zhǎng)度為20～50 m);r為第1顆衛(wèi)星指向第2顆衛(wèi)星的向量。

兩顆衛(wèi)星的慣性運(yùn)動(dòng)方程分別表示為

(2)

(3)

式中：R01和R02分別為兩顆衛(wèi)星在慣性坐標(biāo)系中的位置向量；G是萬有引力常數(shù)，大小為G=6.674 28×10-11m3kg-1s-2；Rij分別為兩顆衛(wèi)星在慣性坐標(biāo)系系下的相對(duì)于地球和月球的位置向量，如圖1所示。

由動(dòng)力學(xué)方程(2)和(3)可得兩顆衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(4)

(5)

將式(4)代入式(5)可得到

(6)

式中：與系統(tǒng)慣性位置向量相關(guān)的函數(shù)f1和與相對(duì)位置向量相關(guān)的函數(shù)f2分別為

(7)

(8)

1.2 模型簡(jiǎn)化

對(duì)于f1函數(shù)，在深空環(huán)境內(nèi)(本文選取地月系平動(dòng)點(diǎn)L2點(diǎn)處附近)，由于德拜效應(yīng)的存在衛(wèi)星之間的距離不宜過大，為防止兩衛(wèi)星之間發(fā)生碰撞，衛(wèi)星之間距離也不宜過小，在本文中選取衛(wèi)星之間距離為10～40 m。在文獻(xiàn)[14]中，Wang證明了在地球同步軌道處，f1函數(shù)具有邊界值，且數(shù)量級(jí)遠(yuǎn)小于f2。另外與庫侖力相比，數(shù)量級(jí)仍小于庫侖力。由于簡(jiǎn)化f1函數(shù)過于繁瑣，此處在短期時(shí)間內(nèi)可近似將f1視為干擾項(xiàng)。

對(duì)于f2函數(shù)，簡(jiǎn)化過程如下：如圖2所示，Bereθeh為二體庫侖衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)的本體坐標(biāo)系，其中er為方向?yàn)榈?顆衛(wèi)星指向第2顆衛(wèi)星的單位向量，ωθ為兩星在本體坐標(biāo)系內(nèi)的旋轉(zhuǎn)角速度，eθ為ωθ角速度切線方向。利用如下式子：

(9)

式(5)中，根據(jù)余弦公式可得到

(10)

圖2 二體庫侖衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)的本體坐標(biāo)系Fig.2 Body frame Bereθeh

在二體庫侖衛(wèi)星編隊(duì)高速自旋系統(tǒng)中，在短時(shí)間內(nèi)，可忽略衛(wèi)星重力梯度力矩作用力，所以可近似看作系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，即

(11)

(12)

綜合式(8)，(10)和(12)可得

(13)

綜上所述，動(dòng)力學(xué)方程(6)可近似為

(14)

式中：d為包括f1函數(shù)與外界環(huán)境干擾(如太陽光壓所產(chǎn)生的干擾)。

(15)

(16)

(17)

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 線性化反饋滑?？刂?/p>

理想衛(wèi)星間距為xd，則間距誤差可表達(dá)為

e=x-xd.

(18)

設(shè)計(jì)滑模面函數(shù)為

(19)

式中：c>0。

對(duì)滑模面函數(shù)求導(dǎo)可得

(20)

根據(jù)反饋線性化理論，設(shè)計(jì)滑模控制器為

(21)

(22)

為防止在滑?？刂七^程中出現(xiàn)抖振現(xiàn)象，利用連續(xù)函數(shù)θ(s)取代符號(hào)函數(shù)sgns，則控制律式(21)可表達(dá)為

(23)

其中連續(xù)函數(shù)θ(s)為

(24)

式中:δ表示邊界層厚度，為很小的正常數(shù)。

2.2 穩(wěn)定性分析

定義Lyapunov函數(shù)為

(25)

對(duì)式(25)進(jìn)行求導(dǎo)可得到

(26)

將控制律式(23)代入式(26)，可得到

(27)

此時(shí)，控制器滿足Lyapunov穩(wěn)定性條件，系統(tǒng)可以在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面。

3 仿真校驗(yàn)

本節(jié)利用Matlab/Simulink對(duì)進(jìn)行數(shù)值仿真，驗(yàn)證在深空環(huán)境中兩星自旋庫侖編隊(duì)線性化反饋滑?？刂坡傻挠行浴?/p>

(28)

式中：r(t0)為慣性坐標(biāo)系下相對(duì)位置向量。兩顆衛(wèi)星在慣性坐標(biāo)系內(nèi)初始速度為

(29)

由于在地月系平動(dòng)點(diǎn)處L2點(diǎn)處附近環(huán)境干擾非常小，主要由太陽光壓產(chǎn)生，數(shù)量級(jí)約為10-7N。在本文中假設(shè)干擾力約為[15]

d=5×10-7sin(ωst-γ)，

(30)

式中：ωs=2.462 9×10-6rad/s；γ為初始相位角，假設(shè)為15°。

仿真結(jié)果如圖3～7所示。

圖3 兩星在平動(dòng)點(diǎn)L2處運(yùn)行軌跡Fig.3 Trajectory of two satellites at libration point L2

圖4 兩衛(wèi)星間隔距離隨時(shí)間變化曲線Fig.4 Satellite spacing distance change curve with time variation

圖5 衛(wèi)星間庫侖力隨時(shí)間變化曲線Fig.5 Coulomb force curve with time variation

圖6 電荷乘積隨時(shí)間變化曲線Fig.6 Charge product change curve with time variation

圖7 衛(wèi)星所帶電荷變化曲線Fig.7 Satellite charge change curve with time variation

圖3表示庫侖編隊(duì)系統(tǒng)在2 h內(nèi)以地月系平動(dòng)點(diǎn)L2點(diǎn)為質(zhì)心的坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)軌跡。由圖可以看出，兩顆衛(wèi)星通過改變所帶電量，從初始位置運(yùn)動(dòng)到間距不變的圓周運(yùn)動(dòng)。另外由圖4可知，在設(shè)計(jì)的線性化反饋滑?？刂破鞯淖饔孟?，庫侖編隊(duì)系統(tǒng)能夠以較高的精度達(dá)到期望構(gòu)型，在0.5 h左右，編隊(duì)達(dá)到期望間距并穩(wěn)定保持。說明本文在深空環(huán)境下，針對(duì)庫侖編隊(duì)特性所設(shè)計(jì)的線性化反饋滑?？刂破髂軌蚴咕庩?duì)達(dá)到期望構(gòu)型并保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，充分校驗(yàn)了本文所提出的控制器的有效性，魯棒性和穩(wěn)定性。圖5表示兩顆衛(wèi)星之間庫侖作用力的大小，在兩衛(wèi)星運(yùn)行初期衛(wèi)星所帶電荷和之間庫侖力變化比較大，隨著時(shí)間逐漸穩(wěn)定在定值-0.07 mN以消除外界環(huán)境以及重力勢(shì)能干擾。圖6，7分別表示衛(wèi)星所帶電荷乘積和單顆衛(wèi)星所帶電荷量大小，由于兩衛(wèi)星之間作用力為引力，所以兩顆衛(wèi)星電荷乘積為負(fù)值，所以兩衛(wèi)星帶異種電荷，大小相等，最后保持在2.81 μC左右。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)于在深空環(huán)境中二體庫侖衛(wèi)星編隊(duì)控制問題，首先推導(dǎo)了在地月系L2點(diǎn)處二體庫侖衛(wèi)星編隊(duì)的動(dòng)力學(xué)方程，根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程特點(diǎn)設(shè)計(jì)了線性化反饋滑模變結(jié)構(gòu)控制器，滑?？刂品椒ㄔ诳刂七^程中可以減少不確定因素的影響，并可以避免發(fā)生抖振現(xiàn)象，使二體庫侖衛(wèi)星編隊(duì)模型以較高的精確度達(dá)到期望構(gòu)型。仿真驗(yàn)證表明，設(shè)計(jì)的控制律有效，穩(wěn)定，具有良好的魯棒性。

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Feedback Linearization Sliding Mode Control of a Spinning Two-Body Coulomb Satellite Formation

WU Li-yao, YUAN Chang-qing, SHI Qiang

(Aviation University of Air Force, Aircraft and Power Department, Jilin Changchun 130022, China)

In order to reduce the uncertain factors of coulomb aircrafts formation movement process, avoid chattering of controlling process and increase the stability and veracity of controller, a feedback linearization sliding mode control method applied to the two-satellite formation flying at libration is designed. First the dynamics model two-satellite coulomb formation at earth-moon libration points are established and simplified, the feedback linearization is added with sliding mode control because of the characteristics of dynamics model to ensure robustness of formation. Simulation shows the method can make formation meet desired configuration with favorable control performance.

Coulomb satellite formation; libration points; feedback linearization; sliding mode control；simulation；robustness

2016-03-09；

2016-06-20 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11372353) 作者簡(jiǎn)介：吳立堯(1992-)，男，吉林遼源人。碩士生，主要從事庫侖航天器編隊(duì)動(dòng)力學(xué)與控制。

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.01.015

V448.2

A

1009-086X(2017)-01-0082-06

通信地址：130022 吉林省長(zhǎng)春市東南湖大路2222號(hào)學(xué)員11隊(duì)