羅 杰

（1.湖南有色測(cè)繪院有限公司，湖南 長(zhǎng)沙410129）

非等時(shí)距MGM（1，m）模型在高速公路沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

羅 杰1

（1.湖南有色測(cè)繪院有限公司，湖南 長(zhǎng)沙410129）

分別以Lagrange插值法和三次樣條曲線法為基礎(chǔ)，利用灰色理論建立高速公路沉降預(yù)測(cè)的非等時(shí)距GM（1，m）模型。分析比較MGM（1，m）與GM（1，1）模型精度，基于非等時(shí)距的MGM（1，3）模型沉降預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)情況吻合較好，擬合與預(yù)測(cè)精度也比非等時(shí)距GM（1，1）的精度高，非等時(shí)距的序列轉(zhuǎn)換采用Lagrange插值函數(shù)法和三次樣條曲線法求得，對(duì)于此次工程數(shù)據(jù)采用三次樣條曲線法較Lagrange插值函數(shù)法精度高。

高速公路，沉降變形，多變量灰色模型，非等時(shí)距

由于地質(zhì)勘察、室內(nèi)試驗(yàn)、土工計(jì)算方法存在誤差，同時(shí)，實(shí)際的地基處理和路基施工進(jìn)度也與設(shè)計(jì)的預(yù)期安排有所不同，現(xiàn)場(chǎng)發(fā)生的沉降量及其過(guò)程與初始設(shè)計(jì)往往存在很大的差異，因此，需要通過(guò)分析現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)沉降資料來(lái)預(yù)測(cè)后期沉降量，必要時(shí)還須校核、修改、補(bǔ)充設(shè)計(jì)，在施工過(guò)程中對(duì)路基沉降變形進(jìn)行動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)和施工控制。工程上大多采用部分實(shí)測(cè)沉降數(shù)據(jù)來(lái)推算沉降量，主要方法有經(jīng)驗(yàn)公式法、三點(diǎn)法、Asao-ka法、灰色系統(tǒng)法、遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等[1-3]。本文對(duì)灰色系統(tǒng)法在沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用進(jìn)行了分析。

高速公路的變形監(jiān)測(cè)不能只對(duì)單點(diǎn)（或單方向）進(jìn)行局部分析研究，應(yīng)該充分利用監(jiān)測(cè)點(diǎn)之間的相關(guān)信息。本文應(yīng)用多變量灰色模型（multi-variable grey model，MGM（1，m）模型），從系統(tǒng)的角度對(duì)多變量進(jìn)行統(tǒng)一描述，能較好地反映系統(tǒng)中各變量之間相互影響的關(guān)系，進(jìn)行建模并預(yù)測(cè)。MGM（1，m）模型是單點(diǎn)GM（1，1）模型在多點(diǎn)情況下的擴(kuò)展，而不是GM（1，1）的簡(jiǎn)單組合，也不同于GM（1，m）模型。該模型不僅能夠較真實(shí)地反映普遍聯(lián)系的客觀實(shí)際，而且擬合精度較高[2]。通過(guò)對(duì)非等時(shí)距序列的等時(shí)距化處理，可以拓寬該模型的使用范圍，使之成為路基沉降預(yù)測(cè)的有效方法之一。

本文探索了灰色系統(tǒng)理論在沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用。針對(duì)工程實(shí)踐中沉降觀測(cè)資料一般都是不等時(shí)間間隔的特點(diǎn)[5-6]，采用Lagrange 插值法和三次樣條曲線法對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行等時(shí)距變換。對(duì)不等時(shí)距沉降數(shù)據(jù)建立多變量灰色模型MGM（1，m）進(jìn)行預(yù)測(cè)，并且與GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)精度進(jìn)行比較，結(jié)果表明MGM（1，m）與實(shí)際沉降量更接近，精度更高。

1 關(guān)聯(lián)MGM（1，m）數(shù)學(xué)模型

MGM（1，m）模型的m個(gè)參數(shù)向量的最小二乘估計(jì)為：

當(dāng)n=1時(shí)，MGM（1，n）退化為單一因子或單點(diǎn)序列的GM（1，1）模型。GM（1，n）模型適合于建立系統(tǒng)的狀態(tài)模型、各變量動(dòng)態(tài)關(guān)系分析以及為高階建模提供基礎(chǔ)，但不太適合于預(yù)測(cè)，MGM（1，n）模型既可以建模又可以預(yù)測(cè)。

2 應(yīng)用實(shí)例

2.1 數(shù)據(jù)介紹

本文利用某高速公路某標(biāo)段沉降觀測(cè)成果驗(yàn)證上述模型與方法的實(shí)用性。后期連續(xù)非等間距（180 d）數(shù)據(jù)13組見(jiàn)表1。

表1 某高速公路某標(biāo)段沉降實(shí)測(cè)值

表中前十組數(shù)據(jù)用來(lái)建模，后三組用來(lái)檢驗(yàn)預(yù)測(cè)精度。首先取道中、道左、道右3個(gè)變量，分別用x1、x2、x3表示，以此建立MGM（1，3）模型。

2.2 非等時(shí)距時(shí)間序列的等時(shí)距變換

非等時(shí)距時(shí)間序列的等時(shí)距變換方法有非等時(shí)距數(shù)列按等時(shí)距處理法、內(nèi)插法（直線插值、Lagrange，牛頓插值）、樣條曲線法等[4]。本文通過(guò)Matlab計(jì)算，分別采用Lagrange 插值法和三次樣條曲線法對(duì)道中、道左、道右沉降量序列進(jìn)行等時(shí)距變換得到兩組不同的建模數(shù)據(jù)。

2.3 建立模型概述

取等時(shí)間間距的1～10組數(shù)據(jù)，按式（3）建立MGM（1，3）模型，取表1中數(shù)據(jù)求得L與Y，進(jìn)一步計(jì)算時(shí)間響應(yīng)式，求得后，按照式（7）還原計(jì)算即可得擬合預(yù)測(cè)值。

2.4 模型檢驗(yàn)

通過(guò)Matlab 計(jì)算出的模型計(jì)算值和實(shí)測(cè)值，得到殘差向量，即

其中Vi=（Vi(1),Vi(2),…,n；k=1,2,…）。

具體計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2和表3。

基于Lagrange插值法的MGM（1，3）模型中道中、道左、道右的平均絕對(duì)誤差分別為2.5 mm、0.26 mm、0.176 mm，平均相對(duì)誤差分別為4.41%、0.51%、0.327%；基于三次樣條曲線法的MGM（1，3）模型中道中、道左、道右的平均誤差分別為2.213 mm、0.225 mm、0.209 mm，平均相對(duì)誤差分別為4.02%、0.49%、0.39%。這說(shuō)明對(duì)于本工程數(shù)據(jù)采用三次樣條曲線法較Lagrange插值函數(shù)法精度高。通過(guò)計(jì)算可得：基于Lagrange插值法的MGM（1，3）模型的C=0.240 3、P=1，精度等級(jí)好；基于三次樣條法的MGM（1，3）模型的C=0.230 4、P=1，精度等級(jí)也好；GM（1，1）模型的C=0.484 6、P= 0.777 8，精度等級(jí)勉強(qiáng)可以。

2.5 MGM（1，3）與GM（1，1）預(yù)測(cè)模型的比較

對(duì)于道中沉降，分別比較MGM（1，3）與GM（1，1）預(yù)測(cè)模型的擬合、預(yù)測(cè)精度，三種模型的比較見(jiàn)圖1，道中沉降預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表4。這個(gè)結(jié)論對(duì)于其他類型工程是否合理，還有待進(jìn)一步驗(yàn)證。

表2 基于Lagrange插值法的MGM（1，3）模型逐點(diǎn)殘差

表3 基于三次樣條法的MGM（1，3）模型逐點(diǎn)殘差

表4 道中沉降預(yù)測(cè)結(jié)果

圖1 三種模型擬合及沉降預(yù)測(cè)值曲線

3 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)對(duì)非等時(shí)距多變量灰色模型的介紹及其在某高速公路某標(biāo)段沉降工程實(shí)例中的應(yīng)用，可以得出如下結(jié)論：①基于非等時(shí)距的MGM（1，3）模型沉降預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)情況吻合很好，擬合與預(yù)測(cè)精度也較比非等時(shí)距GM（1，1）模型高。說(shuō)明多變量預(yù)報(bào)模型MGM（1，m）對(duì)該類路面沉降預(yù)測(cè)是可行的。②非等時(shí)距的序列轉(zhuǎn)換采用Lagrange插值函數(shù)法和三次樣條曲線法求得，對(duì)于本工程數(shù)據(jù)，采用三次樣條曲線法較Lagrange插值函數(shù)法精度高。

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1672-4623（2017）02-0108-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2017.02.033

2015-06-24。

羅杰，工程師，主要從事測(cè)繪工作。