劉小燕

[摘 要]小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的很多題型都與百分率有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)聯(lián)，隨著小升初的數(shù)學(xué)試卷中應(yīng)用題比分的不斷上升，百分率問題越來(lái)越受到關(guān)注。由易到難地歸納出四種常見的百分率題型，并深入淺出地進(jìn)行分析，希望能起到拋磚引玉的作用。

[關(guān)鍵詞]百分率 應(yīng)用題 生活實(shí)例

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）02-061

近十年來(lái)，小升初的數(shù)學(xué)試卷中，小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的題型一般有以下幾種：求平均數(shù)應(yīng)用題、歸一問題（如工程問題）、相遇以及追及問題、比和比例問題……它們或多或少地與分?jǐn)?shù)和百分率有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)聯(lián)。下面將百分率的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理。

一、已知的兩個(gè)數(shù)之間的百分率計(jì)算

常見題型：（1）甲數(shù)是乙數(shù)的百分之幾；（2）甲數(shù)比乙數(shù)多（少）百分之幾。

這是所有百分率問題的基礎(chǔ)，盡管這兩類題型比較簡(jiǎn)單，但教師在教學(xué)中要予以足夠的重視，務(wù)必確保百分之百的通過率。為了提高學(xué)生解決問題的能力，教師可結(jié)合產(chǎn)品的合格率、考試成績(jī)的優(yōu)分率等設(shè)置一些習(xí)題。對(duì)于題型（2），要讓學(xué)生在大腦中留下根深蒂固的印象：a比b多的百分率不等于b比a少的百分率！（如，5比4多25%，但4比5不是少25%，而是少20%。）

二、已知一個(gè)數(shù)a和百分率x%，求另一個(gè)數(shù)b

對(duì)此，可以設(shè)置習(xí)題：（1）50的70%為_________；（2）_____的60%為30；（3）_______比5大20%；（4）比_____大20%的數(shù)是72；（5）一件衣服打九折之后出售還賺利潤(rùn)21元，進(jìn)價(jià)是2400元，標(biāo)價(jià)是_____元；（6）一件衣服的進(jìn)價(jià)為50元，售價(jià)為80元，若按售價(jià)的八折售出，利潤(rùn)是______元，利潤(rùn)率為_____。

重點(diǎn)題型：（1）已知數(shù)a增加（或減少）百分率x%，得b，求b的值；（2）a增加（或減少）百分率x%后為已知數(shù)b，求a的值。

解這兩種題型可用圖示法： （增加對(duì)應(yīng)的等式為a×（1+x%）=b）或 （減少對(duì)應(yīng)的等式為a×（1-x%）=b）。

【例1】 （1）值日生乙單獨(dú)擦黑板所用時(shí)間是20秒，甲單獨(dú)擦黑板所用時(shí)間比乙多50%，兩人一起擦黑板，需多少秒？

（2）值日生甲單獨(dú)擦黑板所用時(shí)間比乙單獨(dú)擦黑板多50%，兩人一起擦需12秒，單獨(dú)擦各需多少秒？

解：（1）乙用20秒，工效是1/20；甲所用時(shí)間為20×（1+50%）=30（秒），工效是1/30。兩人一起擦的工效為1/20+1/30=1/12，所用時(shí)間為12秒。

（2）兩人一起擦需12秒，合擦工效為1/12；甲單獨(dú)擦比乙用時(shí)多50%，甲用時(shí)=乙用時(shí)×（1+50%）=乙用時(shí)的1.5倍，于是甲的工效是乙的2/3。所以乙的工效為 ÷（1+ ）= ，乙單獨(dú)擦黑板用時(shí)為20秒，甲單獨(dú)擦黑板用時(shí)為30秒。

【例2】 服裝店的某一時(shí)間以每件120元的價(jià)格賣出兩件羊毛衫，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件總的來(lái)說是盈利還是虧損，或是不盈不虧？

解：結(jié)合 120和 120，可得a=120÷（1+25%）=96（元），b=120÷（1-25%）=160。由于進(jìn)價(jià)a+b=256（元）大于售價(jià)120×2=240（元），所以賣這兩件總的來(lái)說虧損16元。

三、連續(xù)變化的百分率的計(jì)算

解答此類題，需要每變一步，就畫一個(gè)分析圖。

【例1】 大潤(rùn)發(fā)賣場(chǎng)的某種電器的進(jìn)價(jià)是120元，按利率25%的售價(jià)擺上貨架后，由于其供不應(yīng)求，賣主將售價(jià)提高了20%，發(fā)現(xiàn)銷售情況不大理想，只能再將銷售價(jià)下調(diào)10%，此時(shí)該電器的售價(jià)為多少元？

解：三次變化的過程： 。利用有關(guān)等式，可得c=120×（1+25%）×（1+20%）×（1-10%）=162（元）。

四、鹽水中的百分率計(jì)算

鹽水問題就是傳統(tǒng)的濃度問題。掌握這類問題的關(guān)鍵只有一個(gè)：含鹽的百分率= ×100%。

常見題型：

（1）鹽與水混合，求含鹽的百分率。這一類題比較容易，但也要多讓學(xué)生練習(xí)，加深學(xué)生對(duì)含鹽率的理解。

（2）在已知含鹽率的鹽水中加入一定量的鹽或水，求新鹽水的含鹽率。只要把握新鹽水中的真實(shí)鹽量和新的鹽水量，問題就能迎刃而解。其變形題（在已知含鹽率的鹽水中加入一定量的鹽或水，并且知道新鹽水的含鹽率，求加入的量。）有一定的難度，建議用“加鹽水不變、加水鹽不變”的思路進(jìn)行解題。

（3）兩種鹽水混合所涉及的運(yùn)算。這類習(xí)題看似復(fù)雜，實(shí)際上不難，只要搞清鹽量的變化情況，解題就易如反掌。

（4）在已知含鹽率的鹽水中加入一定量的鹽，求新鹽水的含鹽率。（其類似題目還有在酒中加入酒精或在硫酸銅溶液中加入膽礬等）這類習(xí)題本質(zhì)上是以題型（2）的形式出現(xiàn)，用解題型（3）的方法解題，只偶爾出現(xiàn)在競(jìng)賽試題中。

【例1】 在含鹽率50%的40克鹽水中加入多少克鹽，才能使鹽水的含鹽率變?yōu)?0%？

解1：（方程法）設(shè)需加入x克鹽，則x+40×50%=（x+40）×60%， 解得x=10。

解2：用“加鹽水不變”的思路解。加鹽之前的水=40×（1-50%）=20（克），加鹽之后的水也是20克，此時(shí)的鹽水量為20÷（1-60%）=50（克），比以前增加的量=50-40=10（克），10克就是加入的鹽量。

【例2】 李明在超市購(gòu)買了以下商品：①康師傅方便面4桶，單價(jià)3.5元/桶，打九折；②脈動(dòng)飲用水10瓶，單價(jià)3.1元/瓶，不打折；③蘋果2斤，單價(jià)4.5元/斤，打八五折；④雕牌洗衣粉2袋，單價(jià)5.5元/袋，打八折。

（1）仔細(xì)讀題，完成下表，并求出總付款多少元；

（2）若超市的平均贏利率為20%，則這批商品超市的成本是多少？

（3）如果李明是為5位客戶跑腿的，每位客戶都買了一份上述商品，每個(gè)客戶都允許李明多拿15%的辛苦費(fèi)，那么誠(chéng)信的李明必須向每位客戶收取多少費(fèi)用？一共獲得多少辛苦費(fèi)？

解：（1）

總付款=各商品的應(yīng)付款的總和=12.6+31+7.65+8.8=60.05（元），因此實(shí)際付款60元。（5分錢各大超市還是樂意讓利的）

（2）學(xué)生在解此題時(shí)容易出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤是60×（1-20%）=48（元）。很明顯，如果成本是48元，收入為60元，其贏利是60-48=12（元），贏利率為12÷48×100%=25%，與已知條件矛盾。正解是60÷（1+20%）=50（元）。

（3） 李明必須向每位客戶收取的費(fèi)用=60×（1+15%）=69（元），辛苦費(fèi)=5×9=45（元）。

綜上，教師如能結(jié)合實(shí)際問題行之有效地完成百分率的教學(xué)任務(wù)，學(xué)生必然就能輕松自如地消滅應(yīng)用題這只“攔路虎”。

（責(zé)編 金 鈴）