文︳張新春

從數(shù)學(xué)史出發(fā)
——“圓的周長”課堂實(shí)錄與設(shè)計(jì)意圖

文︳張新春

課堂實(shí)錄

一、談話引入

師：咱們第一次見面，知道張老師姓什么嗎？（生笑）我其實(shí)不是這個(gè)意思，zhang這個(gè)姓，都是念zhang，但這是兩個(gè)不同的姓，你們知道嗎？（知道）對，一個(gè)是“立早章”，另一個(gè)是“弓長張”，知道張老師姓哪個(gè)zhang嗎？

生：弓長張！

師：是的，說到弓長張的弓，我還真帶了一張弓，（出示弓）我和我女兒一起做的，我女兒也上六年級。弓長，弓長，我想請大家?guī)臀伊恳涣窟@個(gè)弓到底有多長，誰來幫我？我這里有尺。（學(xué)生上臺量）看懂了他是怎么量的嗎？他剛才解決了一個(gè)很難的問題，你們有沒有注意到？

生：尺子是直的，但弓是彎的。用直的量彎的很難。

師：把彎的東西變成了直的東西，是這樣嗎？好了，關(guān)于張老師的姓以及“弓有多長”的事兒，咱們就說到這兒，現(xiàn)在開始上課。今天要學(xué)的是圓的周長。（板書課題）

二、概念理解

師：我們前段時(shí)間學(xué)過圓，周長在三年級的時(shí)候就學(xué)過。（課件出示一個(gè)圓）那圓的周長是什么意思呢？

生：圓的長度；圓外框那條長線的長度；圓的一周。

師：這樣說起來有點(diǎn)難懂，我想了一個(gè)辦法。（課件演示圓上出現(xiàn)一只螞蟻，如圖1）我想讓它爬行。（課件演示螞蟻爬行一周）螞蟻爬的這個(gè)路線的長度就是圓的周長。如果這個(gè)圓擺在你面前，你估計(jì)一下它的周長大概有多長？不好說，沒有數(shù)據(jù)，是嗎？給大家一個(gè)數(shù)據(jù)吧。（課件出示圖2）這是個(gè)多大的圓？

生：直徑為10厘米的圓。

師：直徑為10厘米的圓，咱們現(xiàn)在先估一估它的周長有多少。（給出一個(gè)答案10厘米）大家覺得這個(gè)答案靠譜嗎？為什么？

生1：小了，因?yàn)閳A的周長比直徑長。

師：那20厘米呢？

生2：還是短了，因?yàn)?0厘米就是10厘米的兩倍，還是不夠。師：有沒有同學(xué)能說清楚為什么兩倍還是不夠？生3：因?yàn)樯厦娴囊话氡?0厘米要大，下面的一半肯定也比10厘米大。

師：那30厘米呢？（差不多）不太好說哦，40厘米呢？為什么？

圖1

圖2

生4：大了。因?yàn)檫@個(gè)正方形的周長就是40厘米，這個(gè)圓的周長沒有這個(gè)正方形的周長長。

師：也就是說我們現(xiàn)在能確定的是這個(gè)圓的周長比20厘米要大，比40厘米要小，是不是30厘米不太好說，對不對？（生點(diǎn)頭）當(dāng)然，如果我們硬要搞清楚它的周長是多少，可以用剛剛量弓的辦法，但老是用量，不是好辦法。

三、質(zhì)疑驗(yàn)證

師：其實(shí)，古人對圓的周長是有研究的，并且還有研究的成果，想不想看一看古人的成果？（想）這有本書，名字叫做《周髀算經(jīng)》，書上有一個(gè)關(guān)于圓的研究，它的研究結(jié)果是“周三徑一”，你懂嗎？“周”是什么？“徑”是什么？“周三徑一”又是什么意思？

生5：“周”是周長，“徑”是直徑，“周三徑一”是說周長是直徑的3倍。

師：古人說的“周三徑一”，我們能不能把它翻譯成現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言？比如，我們知道，直徑用字母d表示，周長一般用C表示，這么一來，“周三徑一”可以翻譯成什么樣子呢？

生6：C=3d。

師：C=3d，你們同不同意？你相信嗎？（學(xué)生意見不一）怎么辦呢？

生7：我們可以動手量一下周長。

師：就研究研究，是不是這個(gè)意思？如果要研究“周三徑一”是否正確，應(yīng)該如何做？同桌之間說一說，怎么就叫研究了？我們就能判斷了？（同桌之間相互說）看來找到研究的方法并不是那么容易的，我們先來聽聽幾位先找到的同學(xué)的想法，好不好？

生8：用軟尺圍著圓的一周量出圓的周長，再量出直徑，然后除一下，看看是不是等于3。

師：你們同意她的辦法嗎？比如，張老師手上有一個(gè)圓，我知道它的直徑是5厘米，我還做一件什么事，就能判斷“周三徑一”是否正確？

生9：想辦法量出圓的周長。

師：（課件出示表格）假設(shè)我這里有3個(gè)圓，它的直徑分別是3厘米、4厘米、5厘米，如果“周三徑一”真的正確，A號圓的周長應(yīng)該是多少？B呢？C呢？請同桌兩人拿出你們的信封，想辦法量一量，看它到底對還是不對。在研究問題的時(shí)候，盡量不要有成見，客觀地記錄數(shù)據(jù)。

研究“周三徑一”是否正確圓直徑（厘米）研究結(jié)論A 3 9若“周三徑一”正確，周長應(yīng)為（厘米）B 4 12實(shí)際測量得到周長為（厘米）C 5 15

學(xué)生動手操作，然后匯報(bào)。

生10：我測量的A號圓的周長是10厘米，B號圓的周長是13厘米，C號圓的周長是15厘米。

生11：我研究的A號圓的周長是9.4厘米，B號圓的周長是12.6厘米，C號圓的周長是16.7厘米。

生12：我測量的A號圓的周長是9.6厘米，B號圓的周長是12.7厘米，C號圓的周長是16.7厘米。

生13：我測量的A號圓的周長是9.5厘米，B號圓的周長是11.5厘米，C號圓的周長是14.5厘米。

師：看著這些數(shù)據(jù)，你們有什么結(jié)論？

生14：“周三徑一”應(yīng)該是正確的。（師質(zhì)疑）因?yàn)楣湃说慕Y(jié)論不是完全準(zhǔn)的，會有一點(diǎn)偏差。

生15：大概古人量得不精確，跟我們量的有誤差，不好說它對或者不對。

生16：我認(rèn)為應(yīng)該是不正確的，這里面沒有一個(gè)跟它的數(shù)據(jù)是一模一樣的。

師：但是有一個(gè)問題，一個(gè)不對的東西，怎么流傳到了今天？2000多年了，我們還知道它，難道它一點(diǎn)價(jià)值都沒有嗎？

生17：它盡管不對，但是也差不多了。

師：差不多的話，那C=3d就不行呀，怎么改一下才好？

生17：C≈3d。

師：這樣是不是好一些，也許這就是“周三徑一”在《周髀算經(jīng)》里本來的意思，可不可能？（生點(diǎn)頭）“周三徑一”其實(shí)就是C≈3d。如果按照這個(gè)觀點(diǎn)，開始的那個(gè)圓的周長應(yīng)該是多少？（約等于30厘米）

四、歷史探尋

師：現(xiàn)在我們已經(jīng)對“周三徑一”的意義有了新的理解，那今天這個(gè)圓的周長是不是就學(xué)完了呢？

生：不是，應(yīng)該還要學(xué)準(zhǔn)確地算圓的周長。

師：是的，“約等于”那可不行。你覺得古人會不會就此罷手？一定會要繼續(xù)研究！是的，有一個(gè)人就繼續(xù)研究了，他叫劉徽。他將這個(gè)3改進(jìn)成了3.14，采用的辦法叫割圓術(shù)，想不想看看？（課件演示）這是一個(gè)正六邊形，眼力好的同學(xué)應(yīng)該可以看出來，這個(gè)正六邊形的周長是多少？（這個(gè)正六邊形的周長真的是圓直徑的3倍）圓呢？圓的周長要比這個(gè)正六邊形大一點(diǎn)。這是劉徽開始的研究，然后他不斷地增加邊數(shù)。你發(fā)現(xiàn)沒有，邊數(shù)越來越多，這個(gè)正多邊形就越來越接近圓了。

這是正48邊形，老師為什么停在這里呢？因?yàn)槭聦?shí)上，劉徽在割圓的時(shí)候，從正六邊形割到了正48邊形，然后說了“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”。這是劉徽的說法，他把C≈3d改造成了C≈3.14d。那么在劉徽看來，開始的那個(gè)圓的周長是多少呢？（約等于31.4厘米）精確很多了對不對？那我們是不是就此結(jié)束？

又有一個(gè)人很厲害，知道他是誰嗎？（祖沖之）祖沖之把這個(gè)結(jié)果改進(jìn)到3.1415926與3.1415927之間。所以在祖沖之看來，C至少等于3.1415926d，最多不超過3.1415927d，這個(gè)結(jié)果比“周三徑一”更精確了。祖沖之還發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)分?jǐn)?shù)特別接近。如果你感興趣，課后可以去了解。按照祖沖之的觀點(diǎn)，我們開始那個(gè)圓的周長最多不超過31.415927厘米，最少也有31.415926厘米，這個(gè)已經(jīng)很精確了，那精確到什么程度呢？讓我們發(fā)揮想象力，地球是球形的，球上有一個(gè)最大的圓，比如赤道就是球上的一個(gè)最大的圓，那個(gè)圓有多大，知道嗎？大概4萬千米，它的直徑是1.3萬多千米。我們把它想象成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圓，用祖沖之的結(jié)論計(jì)算赤道的周長，你能猜想它的誤差是多少嗎？與準(zhǔn)確值的差距不超過1.5米，只是你我之間的距離而已。祖沖之是不是很厲害？你說我們會不會在祖沖之這里停下來呢？當(dāng)然不能，后人還進(jìn)行了很多非常有價(jià)值的研究，不過非常遺憾，我們現(xiàn)在所學(xué)的數(shù)學(xué)知識還稍微少了點(diǎn)，老師沒有辦法跟大家一一介紹。

這個(gè)呢，是老師得到的一個(gè)新的資料，大家看看，算到了多少位呀？

2011年10月16日，日本長野縣坂田市公司職員近藤茂利用家中電腦將圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后10萬億位，刷新了2010年8月由他自己創(chuàng)下的5萬億位吉尼斯世界紀(jì)錄。56歲的近藤茂使用的是自己組裝的計(jì)算機(jī)，從10月起開始計(jì)算，花費(fèi)約一年時(shí)間刷新了紀(jì)錄。3被改進(jìn)成精確到小數(shù)點(diǎn)后10萬億位的小數(shù)。假設(shè)1秒讀1位，一個(gè)人不分晝夜地讀完這些天文般的數(shù)字要花30多萬年。若將它們?nèi)繉懙胶?.1毫米的紙上，每張紙上寫1萬位，這些紙堆起來將比10座珠穆朗瑪峰還高。

我特別喜歡一張圖，給大家看一下，有個(gè)人在一張紙上寫出了圓周率的小數(shù)點(diǎn)后八百多位，挺好玩的。

五、回顧總結(jié)

師：好了，我們回顧一下圓周率的研究過程，一開始《周髀算經(jīng)》說C≈3d，結(jié)果劉徽改進(jìn)成了C≈3.14d，后來祖沖之把它改進(jìn)成了C≈3.1415926d到3.1415927d，后來又有很多很多，對不對？但是你發(fā)現(xiàn)沒有，這里全是“約等于”。那到底等于多少呢？這個(gè)事情已經(jīng)有研究，研究的結(jié)果可能會讓你失望，第一，這個(gè)數(shù)你寫不完，寫不完的數(shù)你見過沒有？（循環(huán)小數(shù)）第二，這個(gè)數(shù)根本就不循環(huán)。那它等于什么呢？寫不完又不循環(huán)，那就找個(gè)符號吧，古人也是這么做的，這個(gè)符號就是π，也就是C＝πd。C＝πd是我們今天研究的結(jié)果，是什么意思呢？圓的周長是直徑的π倍。無論是大圓還是小圓，所有的圓，它的周長都是直徑的π倍，換一句話說，只要我告訴你圓的直徑，你就可以求出圓的周長。那如果我告訴你半徑呢？

師：課到這就差不多上完了，老師想請大家課后設(shè)計(jì)兩個(gè)與圓的周長有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，一個(gè)最好是很簡單的，另一個(gè)是你認(rèn)為比較難的。如果你還有興趣，設(shè)計(jì)一個(gè)超難的也可以，設(shè)計(jì)好了，把答案做出來，和同學(xué)交流。關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)上還有很多有意思的事兒，大家可以課后再多多了解。

設(shè)計(jì)意圖：

1.關(guān)于數(shù)學(xué)史材料的使用

數(shù)學(xué)家龐加萊說，“動物學(xué)家認(rèn)為動物胚胎在發(fā)育的短期內(nèi)，歷經(jīng)其祖先進(jìn)化的一切關(guān)鍵年代，人類思維的發(fā)展也是這樣。因此，教育的職責(zé)就是創(chuàng)造條件，讓學(xué)生的思維過程歷經(jīng)人類祖先之所經(jīng)歷，而不跳過任何階段。教育的指南是科學(xué)史”。龐加萊的觀點(diǎn)中涉及一個(gè)概念——?dú)v史發(fā)生原理，也有人叫重現(xiàn)法則。這本來是生物學(xué)中的一個(gè)概念，簡單地說，即個(gè)體的發(fā)育史會重蹈種族的發(fā)展史。生物學(xué)家通過反復(fù)觀察研究發(fā)現(xiàn)：人類從胚胎到出生的這一階段的發(fā)育，幾乎經(jīng)過了哺乳動物由低級動物進(jìn)化的整個(gè)歷程。如果將這一規(guī)律應(yīng)用到數(shù)學(xué)教育上，則人類個(gè)體學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，在很大程度上是重現(xiàn)前人探索數(shù)學(xué)的歷程。

波利亞持有與龐加萊相同的觀點(diǎn)。他指出：“只有理解人類如何獲得某些事實(shí)或概念的知識，我們才能對人類的孩子應(yīng)該如何獲得這樣的知識作出更好的判斷?！?/p>

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，無論是教材編寫還是課堂教學(xué)，都常有數(shù)學(xué)史材料的出現(xiàn)。但這些材料的使用方式往往比較簡單。在教材中，它們大多以補(bǔ)充材料的形式呈現(xiàn)。在課堂教學(xué)中，往往在一節(jié)課將要結(jié)束時(shí)出現(xiàn)，形式大多是朗讀一段史料。其價(jià)值局限于了解一些趣聞，開闊一下眼界，或進(jìn)行一些簡單的思想教育——某某成果，中國領(lǐng)先世界其他國家若干年。如果將課堂教學(xué)比作一份大餐的話，數(shù)學(xué)史材料只能算是涼菜、小菜，從來不是主菜。

中國老一輩數(shù)學(xué)家余介石與倪可權(quán)在合著的《數(shù)之意義》一書中主張：“歷史之于數(shù)學(xué)，不僅在名師大家之遺言軼事，足生后學(xué)高山仰止之思，收聞風(fēng)興起之效，更可指示基本概念之有機(jī)發(fā)展情形，與夫心理及邏輯程序，如何得以融和調(diào)劑，不至相背，反可相成，誠為教師最宜留意體會之一事也。”在本課的教學(xué)中，我們不僅滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)史，更是基于數(shù)學(xué)史的材料，將課堂教學(xué)展開的主線與圓周率產(chǎn)生發(fā)展的歷史線索結(jié)合起來，讓學(xué)生重走了他們能走的、人類研究圓周率的關(guān)鍵幾步。這樣，把數(shù)學(xué)史材料做成了課堂教學(xué)這一大餐的主菜。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，不僅了解“名師大家之遺言軼事”，更能將圓周率這一概念的發(fā)生發(fā)展“與夫心理及邏輯程序，如何得以融和調(diào)劑，不至相背，反可相成”。

2.科學(xué)精神的培養(yǎng)

所謂科學(xué)精神，主要是指學(xué)生在學(xué)習(xí)、理解、運(yùn)用科學(xué)知識和技能等方面所形成的價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)、思維方式和行為表現(xiàn)，具體包括理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究等基本要點(diǎn)。本課教學(xué)中，教師針對古人“周三徑一”的說法，通過“你懂嗎？”和“你相信嗎？”這兩個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生從理解、質(zhì)疑古人的結(jié)論“周三徑一”開始進(jìn)行學(xué)習(xí)與探索。當(dāng)部分學(xué)生表示相信，部分學(xué)生表示不信時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生直面這一局面，并想辦法解決問題：相信，不能因?yàn)槭菚蠈懙乃孕牛膊荒芤驗(yàn)槲腋杏X可能是對的所以信；不信，也不能僅僅是類似的原因。一方面是要批判、要質(zhì)疑，另一方面，又要有理性思維、能言之有據(jù)。在尋找證據(jù)的探究活動中，本課較之通常也有明顯的不同。在通常的探究活動中，教師往往會出示明確的探究過程，學(xué)生只需按圖索驥即可。而在本課中，教師先提出問題：“如果要研究‘周三徑一’是否正確，應(yīng)該如何做？”討論這樣的問題，不僅是要讓學(xué)生勇于探究，而且要善于探究，要掌握探究的基本方法。

（作者單位：長沙市教育科學(xué)研究院）