沈 悅，李銀伢， 戚國慶，盛安冬

(南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 210094)

基于PSO的工業(yè)機(jī)器人時(shí)間-脈動(dòng)最優(yōu)軌跡規(guī)劃

沈 悅，李銀伢， 戚國慶，盛安冬

(南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 210094)

為提高工業(yè)機(jī)器人的工作效率，并且保持機(jī)器人關(guān)節(jié)平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)，提出一種基于粒子群優(yōu)化算法的時(shí)間-脈動(dòng)最優(yōu)軌跡規(guī)劃方案；通過權(quán)重法將多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化，再運(yùn)用粒子群優(yōu)化算法得到時(shí)間-脈動(dòng)最優(yōu)的運(yùn)動(dòng)軌跡；軌跡規(guī)劃中，采用了關(guān)節(jié)空間五次非均勻B樣條插值法，以確保脈動(dòng)曲線的連續(xù)性；最后以GRB4016工業(yè)機(jī)器人為研究對(duì)象進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，該方案可以得到較理想的運(yùn)動(dòng)軌跡，并驗(yàn)證了方案的有效性。

B樣條曲線；粒子群優(yōu)化；時(shí)間-脈動(dòng)最優(yōu)；軌跡規(guī)劃

0 引言

工業(yè)機(jī)器人的軌跡規(guī)劃是軌跡跟蹤控制的基礎(chǔ)，對(duì)工業(yè)機(jī)器人的工作效率、平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)、能量消耗等均具有重要意義，所規(guī)劃的軌跡函數(shù)都必須是連續(xù)和平滑的，從而使得工業(yè)機(jī)器人能平穩(wěn)的運(yùn)動(dòng)。工業(yè)機(jī)器人的軌跡規(guī)劃可分為笛卡爾空間(也即工作空間)軌跡規(guī)劃和關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃[1-2]，笛卡爾空間軌跡規(guī)劃能夠直觀的觀察到工業(yè)機(jī)器人末端的運(yùn)動(dòng)軌跡及其位姿，但是，這種方法不能回避運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異點(diǎn)的問題，從而給運(yùn)算帶來了很大的麻煩；而關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃方法則不存在這種問題。本文主要探討的是關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃方法。如今，關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃方法常用的有拋物線過渡的線性插值法[1-2]、多項(xiàng)式插值法[3-4]、B樣條插值法[5]等插值法，和從加速度曲線出發(fā)的矩形加速度曲線法、梯形加速度曲線法、正弦加速度曲線法及其組合法等[6]。其中，多項(xiàng)式插值具有階次高、沒有凸包性的缺點(diǎn)；矩形加速度法具有加速度曲線不連續(xù)的缺點(diǎn)；梯形加速度法具有加加速度曲線不連續(xù)的缺點(diǎn)；而B樣條曲線可以分段處理、具有局部支撐性、凸包性和導(dǎo)數(shù)連續(xù)性，應(yīng)用廣泛，效果明顯優(yōu)于其他插值法。

關(guān)節(jié)空間規(guī)劃的軌跡優(yōu)化[7]根據(jù)性能指標(biāo)劃分可分為時(shí)間最優(yōu)[8-9]、脈動(dòng)(即加加速度)最優(yōu)[10-11]、能量最優(yōu)[9]、距離最短等，其中時(shí)間最優(yōu)算法是最早提出的。優(yōu)化方法大多采用免疫算法[8]、遺傳算法[12]、粒子群算法等進(jìn)化算法，以及上述算法的改進(jìn)或混合算法。近年來，粒子群優(yōu)化算法(PSO，particle swarm optimization)得到諸多研究學(xué)者的關(guān)注。相較于遺傳算法，粒子群算法具有參數(shù)設(shè)置簡單、易調(diào)節(jié)，算法簡單、易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)勢。

B樣條曲線具有局部支撐性、凸包性以及導(dǎo)數(shù)連續(xù)性等優(yōu)點(diǎn)，而粒子群算法則具有參數(shù)設(shè)置簡單、易調(diào)節(jié)，算法簡單、易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)勢。因此，為提高工業(yè)機(jī)器人的工作效率，并且保持機(jī)器人平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)，本文提出一種基于PSO(particle swarm optimization)算法的五次B樣條插值的工業(yè)機(jī)器人軌跡規(guī)劃方法。具體的，先預(yù)設(shè)關(guān)節(jié)路徑點(diǎn)，再進(jìn)行五次B樣條插值，得到C4連續(xù)的軌跡曲線，以確保脈動(dòng)函數(shù)(即加加速度jerk函數(shù))連續(xù)；然后運(yùn)用PSO算法，以路徑點(diǎn)之間的時(shí)間間隔序列為粒子向量，考慮約束條件(速度、加速度、加加速度等)，最終達(dá)到優(yōu)化的目的。

1 問題描述

關(guān)節(jié)空間點(diǎn)到點(diǎn)(PTP，PointtoPoint)軌跡規(guī)劃，即根據(jù)工作任務(wù)，得到一系列工作空間機(jī)械臂末端的期望路徑點(diǎn)，再根據(jù)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)算得到關(guān)節(jié)空間相應(yīng)的關(guān)節(jié)角，最后對(duì)所得關(guān)節(jié)角路徑點(diǎn)進(jìn)行插值運(yùn)算，以關(guān)節(jié)角的函數(shù)來描述軌跡(時(shí)間和空間)。

圖1 GRB4016工業(yè)機(jī)器人模型

(1)

相應(yīng)的速度、加速度、加加速度(脈動(dòng))函數(shù)表示如下：

(2)

(3)

jerk5(t)jerk6(t)]T

(4)

進(jìn)行軌跡優(yōu)化過程中，為實(shí)現(xiàn)工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃的優(yōu)化，從機(jī)器人的運(yùn)行效率和軌跡平滑性出發(fā)，定義如下性能指標(biāo)：

(5)

(6)

上式中，S1為機(jī)器人關(guān)節(jié)軌跡運(yùn)行總時(shí)間，也可用tall或tm表示，用來衡量機(jī)器人運(yùn)行效率，m為預(yù)設(shè)路徑點(diǎn)個(gè)數(shù)，i為路徑點(diǎn)序號(hào)；S2為機(jī)器人關(guān)節(jié)平均脈動(dòng)，用來衡量機(jī)器人軌跡平滑性，其中，N為關(guān)節(jié)數(shù)，本文N=6，j為關(guān)節(jié)序號(hào)，jerkj(t)為j關(guān)節(jié)的脈動(dòng)函數(shù)，可由式(4)求得。

2 五次B樣條函數(shù)構(gòu)造

本文在關(guān)節(jié)空間運(yùn)用非均勻B樣條對(duì)關(guān)節(jié)路徑點(diǎn)進(jìn)行插值，第j關(guān)節(jié)第i段k次非均勻B樣條插值的軌跡可描述為：

(7)

式(3)中Vj,r為j關(guān)節(jié)的控制點(diǎn)，共有1+k個(gè)控制點(diǎn)來定義該段軌跡，那么m-1段軌跡則有m-1+k個(gè)控制點(diǎn)，上述控制點(diǎn)可由已知路徑點(diǎn)反求得到；Br,k(u)為k次規(guī)范B樣條基函數(shù)，其每一個(gè)可稱為規(guī)范B樣條，有如下定義[5,13]：

(8)

(9)

為下文進(jìn)一步分析軌跡的速度、加速度、加加速度曲線以及邊界條件，利用下式可遞推求得相應(yīng)的階控制點(diǎn)，進(jìn)而得到軌跡的階導(dǎo)數(shù)[13]：

(10)

本文中預(yù)期得到脈動(dòng)(加加速度)連續(xù)的軌跡，采用了C4連續(xù)的非均勻五次B樣條插值法，因此得到的軌跡也是C4連續(xù)的。將k=5代入上述相關(guān)公式進(jìn)行運(yùn)算，針對(duì)j關(guān)節(jié)進(jìn)行求解。對(duì)m+4個(gè)控制點(diǎn)進(jìn)行反求，需要列出m+4個(gè)方程，其中m個(gè)方程可由已知路徑點(diǎn)列出：

(10)

(11)

最后可列出矩陣方程

AjDj=Pj，解得Dj=Aj-1Pj

(12)

3 基于PSO的最優(yōu)時(shí)間-脈動(dòng)求解

根據(jù)第1章節(jié)中定義的性能指標(biāo)，將時(shí)間-脈動(dòng)最優(yōu)這一多目標(biāo)優(yōu)化，運(yùn)用權(quán)重法轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化，得到算法所需的適應(yīng)度函數(shù)如下：

fit=a·S1+b·S2

(13)

基本粒子群算法的描述及其各項(xiàng)參數(shù)定義如下[14-15]：

(14)

式(12)中參數(shù)按經(jīng)驗(yàn)選?。杭铀僖蜃觕1=1.49,c2=1.49，慣量因子ω=0.729，r1,r2為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。pidk為粒子個(gè)體位置最優(yōu)值，pgdk為群體位置最優(yōu)值。

基于PSO的五次B樣條軌跡規(guī)劃方案的具體步驟如下：

1)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)初始化粒子群規(guī)模N，慣性因子，加速因子等，一般地，N=20；

3)根據(jù)式(14)來更新粒子的速度向量和位置向量，超出搜索范圍的用該維數(shù)的最大值或最小值代替；

4)根據(jù)式(13)計(jì)算粒子當(dāng)前位置的適應(yīng)值，更新粒子歷史最優(yōu)位置pidk和群體最優(yōu)位置pgdk；

5)若滿足優(yōu)化條件則停止迭代；由于本文所求沒有優(yōu)化條件，需設(shè)置最大迭代次數(shù)DTMax，以確保算法達(dá)到收斂狀態(tài)，若未達(dá)到最大迭代次數(shù)，則需返回步驟③。

4 仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為驗(yàn)證基于PSO的五次非均勻B樣條曲線插值軌跡規(guī)劃方案的有效性，即能得到運(yùn)行時(shí)間S1較短、加加速度(脈動(dòng))曲線連續(xù)以及平均脈動(dòng)S2較小的軌跡，并且探討將多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化的適應(yīng)度函數(shù)中S1、S2的權(quán)重系數(shù)的取值對(duì)上述兩種指標(biāo)優(yōu)化結(jié)果的影響，本文以GRB4016型六自由度工業(yè)機(jī)器人為研究對(duì)象，如圖1所示，其各軸運(yùn)動(dòng)范圍和運(yùn)動(dòng)約束(見表1)，預(yù)設(shè)8個(gè)路徑點(diǎn)(見表2)，在關(guān)節(jié)空間進(jìn)行基于PSO算法的五次非均勻B樣條軌跡規(guī)劃。

表1 軸運(yùn)動(dòng)范圍及約束

表2 關(guān)節(jié)路徑點(diǎn) (單位：度)

在進(jìn)行五次非均勻B樣條軌跡規(guī)劃時(shí)，需進(jìn)行7段軌跡的規(guī)劃，時(shí)間序列長度為7。則運(yùn)用PSO算法進(jìn)行優(yōu)化中，粒子的維數(shù)為7，設(shè)有20個(gè)粒子，DTMax設(shè)為100，加速因子、慣性因子等其他參數(shù)均按第三章所述設(shè)定，再設(shè)定不同的權(quán)重系數(shù)值a,b(a+b=1)，最后進(jìn)行多次仿真實(shí)驗(yàn)得到時(shí)間-脈動(dòng)優(yōu)化的結(jié)果如表3。

表3 基于PSO的時(shí)間-脈動(dòng)優(yōu)化時(shí)間序列及性能指標(biāo)

由表3可知，a的值越大，權(quán)重就越大，S1就值越小，表明優(yōu)化效果越明顯；同理，b的值越大，權(quán)重越大，S2值越小，其優(yōu)化效果越明顯。其中對(duì)于變化幅度而言，隨著a的減小，相較于指標(biāo)S1的增加的幅度，指標(biāo)S2的下降的幅度較大，說明權(quán)重變化對(duì)指標(biāo)S2的影響較大。具體的，a=1時(shí)，S1指標(biāo)值(即工業(yè)機(jī)器人運(yùn)行時(shí)間總和)可以達(dá)到一個(gè)較小的值，但由于沒有對(duì)S2(即加加速度平均值)進(jìn)行優(yōu)化，S2數(shù)值較大；當(dāng)S2的比例大于0.05，其值就基本穩(wěn)定在幾十的范圍內(nèi)，因此結(jié)合指標(biāo)S1，選取加權(quán)指標(biāo)較小的第三組數(shù)據(jù)(a=0.9,b=0.1)進(jìn)行五次非均勻B樣條插值，從而得到各關(guān)節(jié)的位置曲線(關(guān)節(jié)角變量曲線)、角速度曲線、角加速度曲線、角加加速度(脈動(dòng))曲線，如圖2～圖5所示。

圖2 各關(guān)節(jié)位置曲線及路徑點(diǎn)

圖3 各關(guān)節(jié)角速度曲線

圖4 各關(guān)節(jié)角加速度曲線

圖5 各關(guān)節(jié)脈動(dòng)曲線

由圖2可知根據(jù)上述算法所得的各關(guān)節(jié)軌跡均能通過設(shè)定的路徑點(diǎn)(“*”表示關(guān)節(jié)空間路徑點(diǎn))；由圖3可知，各關(guān)節(jié)的角速度均在約束條件范圍內(nèi)；由圖3、4可知，軌跡的啟停角速度、角加速度均為零；由圖4、5可知，得到的關(guān)節(jié)角加速度、角加加速度曲線均連續(xù)。

綜上，基于PSO算法的五次B樣條能得到運(yùn)行時(shí)間較短、脈動(dòng)連續(xù)且平均脈動(dòng)較小的運(yùn)動(dòng)軌跡，確保了機(jī)器人較高的工作效率以及較高的平穩(wěn)性。

運(yùn)用正運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算出機(jī)器人執(zhí)行器末端的軌跡，再利用MATLAB中的RobotToolbox可繪制出該機(jī)器人的三維模型，如圖6和圖7所示。

圖6 六自由度機(jī)器人執(zhí)行器末端運(yùn)動(dòng)軌跡

圖7 GRB4016工業(yè)機(jī)器人三維模型

圖6中，“＊”代表路徑點(diǎn)，“△”上三角代表起始點(diǎn)，“▽”下三角代表終止點(diǎn)，可看出，起止點(diǎn)基本重合。圖7為在MATLAB的RobotToolbox建立的GRB4016型號(hào)工業(yè)機(jī)器人的三維模型。

5 結(jié)論

本文運(yùn)用了五次非均勻B樣條插值法，來進(jìn)行關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃，這種插值法相較于高階多項(xiàng)式插值法，具有凸包性和局部支撐性等優(yōu)點(diǎn)。并通過PSO算法對(duì)規(guī)劃出的軌跡進(jìn)行時(shí)間-脈動(dòng)最優(yōu)的優(yōu)化。研究結(jié)果表明，本文提出的基于PSO優(yōu)化算法的五次B樣條軌跡規(guī)劃方案，能夠得到時(shí)間-脈動(dòng)較優(yōu)的軌跡，實(shí)現(xiàn)了六自由度機(jī)器人較高的運(yùn)行效率和平穩(wěn)性的研究目標(biāo)。

[1] 蔡自興.機(jī)器人學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2000.

[2]JohnJ.Craig.機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論[M].贠 超,等譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2006.

[3]LinCS,ChangPR,LuhJYS.Formulationandoptimizationofcubicpolynomialjointtrajectoriesforindustrialrobots[J].IEEETransactionsonAutomaticControl, 1984, 28(12): 1066-1074.

[4]Planningofmanipulatormotiontrajectorywithhigher-degreepolynomialsuse[J].MechanismandMachineTheory.2008,44(7):1400-1419.

[5] 王幼民.機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間B樣條曲線軌跡規(guī)劃[J].安徽機(jī)電學(xué)院學(xué)報(bào),2000,15(2):21-26.

[6] 田西勇.機(jī)器人軌跡規(guī)劃方法研究[D].北京:北京郵電大學(xué),2008.

[7]ZhaXF.Optimalposetrajectoryplanningforrobotmanipulators[J].Mechanism&MachineTheory,2002,37(10):1063-1086.

[8] 徐海黎,解祥榮,莊 健,等.工業(yè)機(jī)器人的最優(yōu)時(shí)間與最優(yōu)能量軌跡規(guī)劃[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào),2010,46(9):19-25.

[9] 楊國軍,崔平遠(yuǎn).機(jī)械手時(shí)間最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法研究[J].中國機(jī)械工程,2002,13(20):1715-1717.

[10] 余 陽,林 明,林永才.基于混合遺傳算法的工業(yè)機(jī)器人最優(yōu)軌跡規(guī)劃[J].計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì),2012,33(4):1574-1580.

[11]GasparettoA,LanzuttiA,VidoniR,ZanottoV.Experimentalvalidationandcomparativeanalysisofoptimaltime-jerkalgorithmsfortrajectoryplanning[J].RoboticsandComputer-IntegratedManufacturing, 2012,28(2):164-181.

[12]GasparettoA,ZanottoV.Atechniquefortime-jerkoptimalplanningofrobottrajectories[J].RoboticsandComputer-IntegratedManufacturing, 2008,24(3):415-426.

[13]皮 格.非均勻有理B樣條[M].北京：清華大學(xué)出版社,2010.

[14]潘 峰.粒子群優(yōu)化算法與多目標(biāo)優(yōu)化[M]. 北京:北京理工大學(xué)出版社,2013.

[15]高衛(wèi)峰,劉三陽.一種高效粒子群優(yōu)化算法[J].控制與決策.2011,26(8):1158-1162.

Time-jerk Optimal Trajectory Planning for Industrial Robots Based on PSO Algorithm

Shen Yue，Li Yinya，Qi Guoqing，Sheng Andong

(School of Automation, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

In order to improve the work efficiency and guarantee the joints’ smooth movement of industrial robots, this paper proposes a scheme of time-jerk optimal trajectory planning based on PSO(particle swarm optimization) algorithm. First, the multi-objective optimization is transformed into single-objective optimization by the approach of weighting. Then, the time-jerk optimal trajectory is obtained by using PSO algorithm. And the trajectory planning is fulfilled in joint space coordinate by quintic non-uniform B-spline interpolation, and which can guarantee the jerk curves’ continuity. Finally, this scheme is applied to GRB4016—an industrial robot. The simulation results show that this scheme can generate ideal trajectory, and demonstrate the effectiveness of the proposed scheme.

B-spline curve; PSO; time-jerk optimal; trajectory planning

2016-07-19；

2016-08-17。

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61273076)。

沈 悅(1991-)，女，江蘇南通人，碩士研究生，主要從事機(jī)器人方向的研究。

李銀伢(1976-)，男，江蘇南京人，副研究員，博士生導(dǎo)師，主要從事滿意待機(jī)控制、非線性估計(jì)理論及其工程應(yīng)用方向的研究。

1671-4598(2017)01-0158-05DOI：10.16526/j.cnki.11-4762/tp

TP

A