湖南省長沙師范學(xué)院初等教育系 陳 麗 羅湘娟 劉 蘇

基于傅里葉變換的兒歌音樂合成研究

湖南省長沙師范學(xué)院初等教育系 陳 麗 羅湘娟 劉 蘇

本文探討了傅里葉變換在音樂合成中的應(yīng)用，揭示了音樂信號(hào)是由一系列振幅和頻率不一的正弦波疊加且?guī)в胁煌j(luò)修飾形成的，進(jìn)而采用曲線擬合來定音樂的包絡(luò)。以傅里葉變換來研究兒歌的音樂合成，從數(shù)學(xué)的角度生動(dòng)直觀地展示了數(shù)學(xué)與兒童音樂結(jié)合的無窮魅力。

傅里葉變換；音樂合成；包絡(luò)

一、問題的提出

通過廣泛地研究近年來說話人識(shí)別中常用的特征參數(shù)和建模方法，在處理語音數(shù)據(jù)時(shí)，主要提取基于 Mel 頻率的倒譜系數(shù)（MFCC）作為語音的特征參數(shù)，高斯混合模型（GMM）作為語音描述的模型。在研究說話人識(shí)別和高斯混合模型（GMM）在流行音樂中運(yùn)用的基礎(chǔ)上，提出用曲線擬合的方法獲得兒童音樂的包絡(luò)，然后將得到的音樂信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉變換（FFT）計(jì)算其頻譜，從而獲得音樂發(fā)音的諧波，在MATLAB軟件中用wavplay語句實(shí)現(xiàn)傅里葉級(jí)數(shù)合成音樂的數(shù)字信號(hào)。

二、問題的分析

通過觀察發(fā)現(xiàn)音樂中伴奏部分和歌唱部分?jǐn)?shù)據(jù)的譜分布明顯不同，由于人聲帶的快速振動(dòng)，歌唱聲音的譜幾乎總是諧波，并且在頻譜的低頻和中頻部分，基頻的整數(shù)倍頻率處能量通常較大.與歌唱聲音相比較，伴奏聲音突出的諧波較少，其能量分布范圍也更廣。聲音是氣壓隨著時(shí)間t的波動(dòng)行為，是一種隨著時(shí)間t變化的連續(xù)信號(hào)，音樂是靠聲音發(fā)出的，是一系列振幅和頻率不一的正弦波疊加形成的。為了得到波形音頻文件，可以使用音頻轉(zhuǎn)化軟件將其他格式的音頻轉(zhuǎn)化成波形音頻，在數(shù)學(xué)建模領(lǐng)域中，用MATLAB語言wavread讀出音樂，用曲線擬合的方法獲得音樂的包絡(luò)，通過傅里葉變換獲得音樂的頻譜圖，分析頻譜圖獲得音樂的諧波，最后實(shí)現(xiàn)音樂的合成。

三、簡單的音樂合成

根據(jù)《兩只老虎》第一小節(jié)的簡譜和十二平均律計(jì)算出該小節(jié)每個(gè)樂音的頻率，在MATLAB中生成幅度為1，抽樣頻率為8kHz的正弦信號(hào)表示這些樂音，用sound播放合成的音樂。曲調(diào)為C的兩只老虎的簡譜為 |1231|1231|345-|345-|，因此可以得到每個(gè)樂音對(duì)應(yīng)的頻率分別1=262.63Hz，2=263.66Hz，3=329.63Hz，4=349.23hZ，5=292Hz。每小節(jié)有四拍，一拍的時(shí)間是0.5s，因此各樂音的持續(xù)時(shí)間為1→0.5，2→0.5，3→0.5，1→0.5，1→0.5，2→0.5，3→0.5，1→0.5，3→0.5，4→0.5，5→1，3→0.5，4→0.5，5→1。在MATLAB中編寫以下程序，就可以完成兩只老虎的音樂合成：

clear；clc； fs=8000； f=[262.63 293.66 329.63 262.63 262.63 293.66 329.63 262.63 329.63 349.23 392]；time=fs＊[1/2，1/2，1/2，1/2，1/2，1/2，1/2，1/2，1/2，1/2，1，1/2，1/2，1]； N=length（time）；east=zeros（1，N）；n=1；for num=1∶N t=1/fs∶1/fs∶time（num）/fs；

G=zeros（1，time（num））；G（1∶time（num））=exp（1∶（-1/time（num））∶1/8000）；east（n∶n+time（num）-1）=sin（2＊pi＊f（num）＊t）.＊G（1∶time（num））； n=n+time（num）；end sound（east，8000）；plot（east）；

四、利用傅里葉變換合成音樂

為了分析wave2proc的基波和諧波，可以對(duì)wave2proc進(jìn)行傅里葉變換，利用MATLAB中快速傅里葉變換函數(shù)fft可以看出包絡(luò)，但是非常不明顯，因此將抽樣頻率由NFFT=2^nextpow2（length（wave2proc））改為NFFT=8^nextpow2（length（wave2proc）），雖然頻域的抽樣頻率提高了很多，但是得到的包絡(luò)依然不精確，這是因?yàn)閣ave2proc是周期函數(shù)，要想顯示出離散化程度高的幅值譜，就要增加wave2proc的周期性，即讓wave2proc在時(shí)域重復(fù)多次后再進(jìn)行傅里葉變換。利用repmat函數(shù)可以將wave2proc在時(shí)域重復(fù)，再經(jīng)過傅里葉變換可以看出幅值譜的離散化程度已經(jīng)非常高了。wave2proc的基頻為329.1Hz，幅值為0.05401，高次諧波幅值分別為：諧波2是0.07676，諧波3是0.04841，諧波4是0.0519，諧波5是0，諧波6是0.005709，諧波7是0.01923，諧波8是0.006741，諧波9是0.007326。 將音頻信號(hào)導(dǎo)入后得到的是一個(gè)向量，它包含了這段音樂的所有信息，要自動(dòng)分析這段音樂的音調(diào)，就需要將每個(gè)音調(diào)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)進(jìn)行傅里葉變換得到其幅值譜，在幅值譜上找到第一個(gè)幅值較大的極大值點(diǎn)，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的就是該音調(diào)的基頻，得到基頻后就可以得到高次諧波的幅值。為了使對(duì)每個(gè)音調(diào)進(jìn)行傅里葉變換后得到的幅值譜離散程度高，應(yīng)該將每個(gè)音調(diào)的數(shù)據(jù)在時(shí)域上重復(fù)多次，由于這些點(diǎn)都是直接采集的，沒做處理，因此其重復(fù)次數(shù)應(yīng)該足夠大才能體現(xiàn)出較強(qiáng)周期性，本實(shí)驗(yàn)采用重復(fù)1000次，若所有點(diǎn)的幅值都小于0.02，那么用0.015作為幅值的限定條件，這樣就將音調(diào)基頻確定出來了。為了去頂節(jié)拍，可以將確定出的基頻的誤差設(shè)為 1Hz，程序確定的基頻為200Hz，那么k次諧波對(duì)應(yīng)的頻率范圍是k＊（200-1）到k＊（200+1），在這個(gè)區(qū)間中繼續(xù)找幅值的極大值點(diǎn)就是k次諧波對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

利用傅里葉變換分析提取了這些音頻信號(hào)對(duì)應(yīng)的基頻和各次諧波相對(duì)應(yīng)的幅值，再用wavplay語句對(duì)合成音樂進(jìn)行了播放，合成了完整的一首兒歌。

[1]基于數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京： 中國鐵道出版社，2014.

[2]李麗娟.基于高斯混合模型流行音樂中歌唱部分的智能檢測(cè).小型微型計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，2009.

陳麗（1984-1），女，漢族，湖南長沙人，碩士，助教，主要研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)】