江蘇省鹽城市阜寧縣東溝中學(xué) 張達(dá)連

高中數(shù)學(xué)解題中代換法的靈活應(yīng)用

江蘇省鹽城市阜寧縣東溝中學(xué) 張達(dá)連

在高中階段，數(shù)學(xué)知識(shí)相對(duì)于其他科目的知識(shí)比較困難。數(shù)學(xué)題具有一定的綜合性,幾乎每道題都會(huì)運(yùn)用以前的知識(shí)點(diǎn)，但就是因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的這種特點(diǎn)，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)非常困難，有時(shí)候即使了解了很多知識(shí)點(diǎn)，也無(wú)法正確解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，久而久之，容易讓學(xué)生產(chǎn)生一些不自信的心理，影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握。為了解決這些問(wèn)題，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)能力和靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，筆者總結(jié)了高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)、比值代換、變量代換等經(jīng)典代換方式來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

高中數(shù)學(xué)；靈活運(yùn)用；解決問(wèn)題；代換方式

高中數(shù)學(xué)問(wèn)題一般都會(huì)存在一個(gè)或多個(gè)未知變量的條件，這些未知變量的出現(xiàn)提高了解題的難度，讓數(shù)學(xué)問(wèn)題變得更加綜合和復(fù)雜。在解決這些問(wèn)題時(shí)，如果使用一定的數(shù)學(xué)思想或者數(shù)學(xué)方法來(lái)更換解題思路和方式，可以將很復(fù)雜的關(guān)系變成簡(jiǎn)單易懂，容易進(jìn)行解答的問(wèn)題。代換法就是一種能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的方式。代換法有函數(shù)代換、變量代換、等量代換等。需要學(xué)生熟練掌握這些數(shù)學(xué)思想，理解代換方法的解題步驟和原理，充分提高自身解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的水平，進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)成績(jī)。

一、代換法在函數(shù)問(wèn)題中的運(yùn)用

在題目中已知函數(shù)其他有關(guān)條件，求函數(shù)本身的關(guān)系式時(shí)，就可以利用變量代換的思想來(lái)進(jìn)行求解。例題：已知求。在此題的解答中，因?yàn)榉匠套筮叺淖兞勘容^復(fù)雜，所以可以設(shè)因?yàn)椴荒苤苯忧蟪鲇疫厡?duì)應(yīng)的關(guān)系表達(dá)式，所以對(duì)右邊的式子進(jìn)行觀察，看是否能用t表示出來(lái)，化為有關(guān)t的函數(shù)。右邊的化解過(guò)程：方程上下同時(shí)除以可以看作從而得到函數(shù)為又例題：已知這道題可以令求出直接將x的值帶入原式即可得解。當(dāng)一個(gè)題出現(xiàn)了多個(gè)變量的復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，要選擇合適的變量進(jìn)行變換，如下例題：已知x為任一非零實(shí)數(shù)，求在這道題的解答中，需要代換出所以可以設(shè)則原式等于再對(duì)式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化和原式聯(lián)立可得從而得出

函數(shù)在高中的學(xué)習(xí)內(nèi)容還包括求函數(shù)的極限內(nèi)容，課本上最常見(jiàn)的方式就是利用洛必達(dá)法則，主要是針對(duì)的形式進(jìn)行思維擴(kuò)展，還可以運(yùn)用于等方面的內(nèi)容，但是并不是所有類(lèi)型都直接是屬于等的形式，需要學(xué)生進(jìn)行特殊的轉(zhuǎn)換。比如例題：求極限雖然通過(guò)觀察和計(jì)算可以得出是型，但是如果直接使用洛必達(dá)法則，很容易將冪函數(shù)的次數(shù)越化解越高，所以需要對(duì)此進(jìn)行轉(zhuǎn)換，降低冪函數(shù)的次數(shù)，令則原式化解為這道題就是將高次冪轉(zhuǎn)化為了的形式，從而簡(jiǎn)單求出了極限。

二、代換法在微分積分中的運(yùn)用

變量代換法又叫換元法，第一換元法為湊微分法。換元法的步驟在定積分和不定積分中基本相同，但需要注意在定積分中，換元還需要換限，常見(jiàn)的積分中的換元法有算式代換、根式代換和三角代換、指數(shù)代換等。

微分方程是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中一個(gè)非常重要的模塊，一階的微分方程是微分知識(shí)的基礎(chǔ)部分，所以還需要我們掌握其方程的求解方法。一般使用分離變量的代換方法形成方程，進(jìn)而求解。

三、代換法在概率問(wèn)題中的運(yùn)用

概率問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)中可難可簡(jiǎn)單，因?yàn)楦怕蕟?wèn)題涉及的知識(shí)面比較廣，所以需要學(xué)生具備一定的分析能力，在學(xué)習(xí)概率和解決概率問(wèn)題的過(guò)程中，要有靈敏的思維，使用科學(xué)的做題方式來(lái)有效地解決問(wèn)題。例題：一個(gè)黑箱子里面有四個(gè)白球，八個(gè)紅球，這些球除了顏色的區(qū)別以外，其他都是一樣的。如果同學(xué)甲隨機(jī)地在這個(gè)箱子中一下拿出五個(gè)球，求此時(shí)拿出紅球的概率是多少？此題的解題過(guò)程為：設(shè)摸出的球中紅球個(gè)數(shù)為a個(gè)，根據(jù)題目和概率基礎(chǔ)知識(shí)可以得出P答：隨機(jī)從黑箱里拿出五個(gè)球，其中摸出紅球的概率為0.42。又如例題：在A市有一個(gè)超大型的商場(chǎng)，為了讓商品盡快銷(xiāo)售，制定了一個(gè)促銷(xiāo)活動(dòng)，活動(dòng)中有一個(gè)抽獎(jiǎng)不透明的紙箱，箱子里有十個(gè)大小形狀相同的小球，依次按照一到十的順序編號(hào)，其中有兩個(gè)黃球，八個(gè)白球，每一個(gè)抽獎(jiǎng)的顧客都可以一次性拿出兩個(gè)球，如果全是黃球，就是一等獎(jiǎng)。求顧客摸球是一等獎(jiǎng)的概率。解答：此題可以用求的樣品數(shù)除以總的樣品數(shù)，從十個(gè)球中抽取兩個(gè)球有從兩個(gè)黃球中抽出兩個(gè)黃球有種，所以可以求出顧客能夠中一等獎(jiǎng)的概率為：求出得1/45。

在利用代換法對(duì)數(shù)學(xué)方程問(wèn)題進(jìn)行求解時(shí)，需要抓住題中給出的已知條件和各變量及所求量之間的關(guān)系。例題：一條直線(xiàn)與直線(xiàn)L1，L2相交，并且此直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3，5，9），L1：y=3x+5，z=2x+3，L2：y=4x-7，z=5x+10，求該直線(xiàn)方程。解答過(guò)程：設(shè)x=-3+lt，y=5+mt，z=-9+nt，將此式代入L1的表達(dá)式中，化解x、y、z得x=-3+ls，y=5+ms，z=-9+ns，再代入L2的表達(dá)式中，得出m=22l，l=1，所以m=22，n=2，從而解出直線(xiàn)方程。

總的來(lái)說(shuō)，代換法是高中數(shù)學(xué)中常用的思維思考方式，其不僅可以在很大程度上簡(jiǎn)化做題的過(guò)程，幫助學(xué)生擴(kuò)展和延伸一定的解題思維，提高學(xué)生思維的發(fā)散性，而且可以靈活地運(yùn)用各種變量之間的關(guān)系將復(fù)雜并且綜合性強(qiáng)的數(shù)學(xué)題目進(jìn)行簡(jiǎn)化，讓學(xué)生感受到解答數(shù)學(xué)題的成就感，從而在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中找到樂(lè)趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和動(dòng)力。所以在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，一定要善于運(yùn)用綜合歸納、假設(shè)的思想，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、等量代換等解決各種綜合性強(qiáng)的問(wèn)題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。