鄭紅波，秦緒佳

（浙江工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，浙江 杭州 310032）

研究型與實(shí)驗(yàn)型相結(jié)合的離散數(shù)學(xué)教學(xué)模式

鄭紅波，秦緒佳

（浙江工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，浙江 杭州 310032）

針對(duì)離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)現(xiàn)狀及存在問題，提出在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中引入研究型和實(shí)驗(yàn)型相結(jié)合的教學(xué)模式。分析和設(shè)計(jì)研究型與實(shí)驗(yàn)型的教學(xué)模式和題庫(kù)，闡述研究型項(xiàng)目和實(shí)驗(yàn)型項(xiàng)目的具體實(shí)施，培養(yǎng)學(xué)生研究問題、分析問題和解決問題的能力。

研究型與實(shí)驗(yàn)型；離散數(shù)學(xué)；計(jì)算思維；教學(xué)模式

1 離散數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀

離散數(shù)學(xué)以形式化、抽象的方法分析問題，研究離散量結(jié)構(gòu)及相互關(guān)系，是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的核心課程和理論基礎(chǔ)課程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力和邏輯推理能力、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力和解決實(shí)際問題的能力起著重要的作用[14]，這些能力的培養(yǎng)正是計(jì)算思維的具體體現(xiàn)和很好的詮釋[5]。擁有計(jì)算思維能力、具備運(yùn)用計(jì)算機(jī)概念和知識(shí)解決工程問題的能力，也是中國(guó)工程教育計(jì)算機(jī)專業(yè)認(rèn)證的產(chǎn)出要求和細(xì)化標(biāo)準(zhǔn)。離散數(shù)學(xué)課程為培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維能力提供了一個(gè)很好的教學(xué)平臺(tái)。然而，筆者作為離散數(shù)學(xué)課程一線授課教師，通過多年的教學(xué)實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)目前離散數(shù)學(xué)教學(xué)還存在以下問題[14]。

1）知識(shí)單元涵蓋的難點(diǎn)多，概念抽象生澀，知識(shí)難于理解和應(yīng)用。

離散數(shù)學(xué)課程概念多、理論性強(qiáng)、高度抽象，是計(jì)算機(jī)學(xué)科的專業(yè)基礎(chǔ)課，在很多后續(xù)專業(yè)課程中有廣泛的應(yīng)用。然而在學(xué)習(xí)這門課程的時(shí)候，大部分專業(yè)課程還未開課，學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用沒有直觀感受，影響了學(xué)習(xí)興趣，這使學(xué)生在學(xué)習(xí)中感覺內(nèi)容脫離應(yīng)用、抽象難理解，影響了學(xué)習(xí)的積極性。

2）課程偏重理論敘述和定理證明，忽視實(shí)驗(yàn)性教學(xué)環(huán)節(jié)。

離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過程忽視實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中無(wú)法體會(huì)離散數(shù)學(xué)的重要作用，不能充分體現(xiàn)專業(yè)基礎(chǔ)課的實(shí)用性，難以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和積極性，影響了創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

3）學(xué)生的計(jì)算機(jī)科學(xué)問題求解能力方面存在不足。

隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，能夠正確理解計(jì)算機(jī)學(xué)科的基礎(chǔ)概念，能夠靈活運(yùn)用各種思想、方法和技術(shù)解決實(shí)際問題，將成為未來(lái)計(jì)算機(jī)專業(yè)人才的必備技能。這些技能正是計(jì)算思維培養(yǎng)的目標(biāo)。但當(dāng)前的課程教材缺乏培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算思維能力的體系建設(shè)，學(xué)生的計(jì)算機(jī)科學(xué)問題求解能力方面存在不足。

作為計(jì)算機(jī)核心課程中最具基礎(chǔ)性和理論性的課程，離散數(shù)學(xué)的教學(xué)問題會(huì)影響學(xué)生的學(xué)習(xí)和培養(yǎng)，改革勢(shì)在必行。因此，在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中引人“研究型和實(shí)驗(yàn)型相結(jié)合的教學(xué)模式”，加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的研究問題、分析問題、解決問題?的能力，加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和專業(yè)技能，就成為課程教學(xué)中重要而迫切的任務(wù)。

2 研究型與實(shí)驗(yàn)型相結(jié)合的教學(xué)模式改革

應(yīng)采用研究型教學(xué)，了解課程中內(nèi)容的應(yīng)用領(lǐng)域、相關(guān)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立探索能力，提高學(xué)生的興趣，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中感受到學(xué)有所用;設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，提高學(xué)生的動(dòng)手能力和解決問題能力，讓學(xué)生對(duì)離散課程知識(shí)點(diǎn)有更深人的理解。本改革的理念是：基于培養(yǎng)計(jì)算思維能力的產(chǎn)出要求[5]，優(yōu)化離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容和方式，增強(qiáng)離散數(shù)學(xué)的研究型教學(xué)和實(shí)驗(yàn)性教學(xué)，突出離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用，加強(qiáng)學(xué)生實(shí)踐的鍛煉，旨在提升其以問題分析能力、程序設(shè)計(jì)能力和基礎(chǔ)創(chuàng)新及工程實(shí)踐能力為標(biāo)志的計(jì)算思維能力，使學(xué)生通過課程的學(xué)習(xí)和鍛煉提升實(shí)踐能力的培養(yǎng)。

教學(xué)過程中，教師要注重啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，將以往被動(dòng)式教學(xué)模式改變?yōu)橐詫W(xué)生為主體的教學(xué)模式;激勵(lì)學(xué)生積極思考問題，探討未知知識(shí)，研究知識(shí)的應(yīng)用，營(yíng)造雙向、互動(dòng)的教學(xué)氛圍;加強(qiáng)對(duì)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際、實(shí)踐動(dòng)手能力和創(chuàng)新精神的培養(yǎng);采用多層次教學(xué)方式，因材施教，使各層次的學(xué)生獲得更多的知識(shí)和鍛煉。

3 研究型與實(shí)驗(yàn)型相結(jié)合的教學(xué)模式設(shè)計(jì)

3.1 研究型教學(xué)設(shè)計(jì)

一般的離散數(shù)學(xué)課程分兩個(gè)學(xué)期開展，分別為離散數(shù)學(xué)Ⅰ和離散數(shù)學(xué)Ⅱ。離散數(shù)學(xué)Ⅰ的教學(xué)內(nèi)容為數(shù)理邏輯、集合與關(guān)系、函數(shù)，離散數(shù)學(xué)Ⅱ的教學(xué)內(nèi)容為代數(shù)系統(tǒng)、圖論[4]。每個(gè)學(xué)期每個(gè)學(xué)生需要參加一個(gè)研究型項(xiàng)目和一個(gè)實(shí)驗(yàn)型項(xiàng)目。

布置課前閱讀題目，讓學(xué)生了解與課程內(nèi)容相關(guān)的背景知識(shí)、前沿知識(shí)和應(yīng)用實(shí)例;也可為一些知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)課后研究型題目，讓學(xué)生通過查閱資料、撰寫學(xué)習(xí)報(bào)告來(lái)加深對(duì)新概念的理解，同時(shí)嘗試用所學(xué)理論和方法解決實(shí)際問題。在研究型教學(xué)設(shè)計(jì)中，選擇哪些主題和項(xiàng)目是設(shè)計(jì)的難點(diǎn)。學(xué)生沒有學(xué)過離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用知識(shí)，看不懂或不太理解太難太深?yuàn)W的知識(shí)或應(yīng)用。因此，在設(shè)計(jì)研究型主題時(shí)，可以采用教師布置規(guī)定和學(xué)生自主設(shè)計(jì)兩種方式。筆者在離散數(shù)學(xué)Ⅰ部分設(shè)計(jì)了邏輯和關(guān)系的相關(guān)應(yīng)用，在離散數(shù)學(xué)Ⅱ部分設(shè)計(jì)了圖論的應(yīng)用，見表1。

表1 離散數(shù)學(xué)研究型項(xiàng)目表

對(duì)于這些研究型的知識(shí)和實(shí)例，教師可以布置為學(xué)生小組、團(tuán)隊(duì)研究項(xiàng)目，也可以要求學(xué)生自己探索感興趣的項(xiàng)目或有疑問的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題的能力，強(qiáng)化學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨(dú)立鉆研能力。課前十分鐘可以讓學(xué)生講解、討論和分析這些研究型的項(xiàng)目，也可以集中到學(xué)期末進(jìn)行研討并提交研究報(bào)告。

3.2 實(shí)驗(yàn)型教學(xué)設(shè)計(jì)

實(shí)行以應(yīng)用為主體、多層次的實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式，開設(shè)實(shí)驗(yàn)和課程設(shè)計(jì)是加強(qiáng)實(shí)踐性教學(xué)的重要手段。由教師設(shè)計(jì)好實(shí)驗(yàn)題目要求，然后布置給學(xué)生去實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)要考慮學(xué)生的編程能力和先修課程，一般以小組、團(tuán)隊(duì)的形式課外進(jìn)行。離散數(shù)學(xué)一般在大一開課，和學(xué)生的程序設(shè)計(jì)課程同步進(jìn)行，學(xué)生的編程能力有限，因此設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)以基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)為主。筆者在離散數(shù)學(xué)Ⅰ部分設(shè)計(jì)了集合與關(guān)系方面的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，在離散數(shù)學(xué)Ⅱ部分設(shè)計(jì)了群的綜合實(shí)驗(yàn)，如表2所示。

表2 離散數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)型項(xiàng)目表

4 研究型與實(shí)驗(yàn)型相結(jié)合的教學(xué)實(shí)施示例

4.1 研究型項(xiàng)目教學(xué)

邏輯應(yīng)用到生活中的例子很多，可以讓學(xué)生自行查找資料，然后分析討論結(jié)果。我們利用課前十分鐘讓學(xué)生講解、討論和總結(jié)，分析用到的命題及其邏輯定律，分析與教學(xué)內(nèi)容的銜接，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題的能力，強(qiáng)化學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨(dú)立鉆研能力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力。以下是學(xué)生探究的一個(gè)案例。

蓋亞、瑞亞、赫拉和雅典娜是古希臘少女，她們正在接受訓(xùn)練以便當(dāng)一個(gè)預(yù)言家。實(shí)際上，只有一個(gè)人成了預(yù)言家，并在特爾斐城謀得一個(gè)職位，其余3個(gè)人，一個(gè)當(dāng)了職業(yè)舞蹈家，一個(gè)當(dāng)了宮廷女侍，一個(gè)當(dāng)了演奏家。一天，她們?cè)诰毩?xí)講預(yù)言。

蓋亞預(yù)言：“瑞亞無(wú)論如何也成不了職業(yè)舞蹈家?！?/p>

瑞亞預(yù)言：“赫拉將成為特爾斐城的預(yù)言家。”

赫拉預(yù)言：“雅典娜不會(huì)成為演奏家?！?/p>

雅典娜預(yù)言：“我自己將嫁給一個(gè)叫阿特的男人?！?/p>

事實(shí)上她們只有一個(gè)人的預(yù)言是正確的，而正是這個(gè)人當(dāng)了特爾斐城的預(yù)言家。

請(qǐng)用邏輯解之：她們四個(gè)人中誰(shuí)當(dāng)了什么？雅典娜和阿特結(jié)婚了嗎？

解題思路：將簡(jiǎn)單命題符號(hào)化。

A：蓋亞是預(yù)言家 。

B：瑞亞是預(yù)言家。

C：赫拉是預(yù)言家 。

D：雅典娜是預(yù)言家。

只有一個(gè)人的預(yù)言正確且只有一人是預(yù)言家，所以A、B、C、D只有一個(gè)為真。若B為真，則C也為真，這與只有一人是預(yù)言家的前提相矛盾，所以B為假。因?yàn)锽為假，所以瑞亞的預(yù)言為假，則赫拉不是預(yù)言家，即C為假，那么赫拉的預(yù)言也是錯(cuò)的，即“雅典娜不會(huì)成為演奏家”是假的。根據(jù)雙重否定定律，則“雅典娜是演奏家”是真的。既然雅典娜是演奏家，那么D為假，則雅典娜不會(huì)和阿特結(jié)婚。

由此可知，命題B、C、D為假，只有命題A為真，即蓋亞是預(yù)言家。因此蓋亞的預(yù)言為真，瑞亞不是職業(yè)舞蹈家。根據(jù)事實(shí)的排他性，瑞亞是宮廷女侍，赫拉是職業(yè)舞蹈家。綜上，蓋亞是預(yù)言家，瑞亞是宮廷女侍，赫拉是職業(yè)舞蹈家，雅典娜是演奏家，且雅典娜沒有和阿特結(jié)婚。

4.2 實(shí)驗(yàn)型項(xiàng)目教學(xué)

實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目一般采取團(tuán)隊(duì)、小組的形式在課外進(jìn)行，安排學(xué)生在學(xué)期末進(jìn)行實(shí)驗(yàn)演示、報(bào)告、答辯。課程最后，學(xué)生要遞交實(shí)驗(yàn)報(bào)告，報(bào)告中寫明實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?nèi)容、編程思想、重要代碼段及其分析、實(shí)驗(yàn)結(jié)果等，最好在報(bào)告中說(shuō)明小組成員的工作分配。教師可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)的難易程度分析實(shí)驗(yàn)型項(xiàng)目，如果項(xiàng)目比較簡(jiǎn)單（如集合的運(yùn)算），就不用分析，讓學(xué)生自己實(shí)現(xiàn);如果項(xiàng)目較難（如代數(shù)系統(tǒng)的群），教師可以幫助學(xué)生分析系統(tǒng)及其數(shù)據(jù)。根據(jù)群的數(shù)學(xué)定義，假定輸人n個(gè)有限的元素集合G，G中有運(yùn)算*，不同的元素通過運(yùn)算*產(chǎn)生不同的結(jié)果，運(yùn)算結(jié)果構(gòu)成一個(gè)n*n的二維運(yùn)算表，通過檢查運(yùn)算表中的元素，判斷此代數(shù)系統(tǒng)是否為群。因?yàn)榇藭r(shí)大部分學(xué)生沒學(xué)過C++的單文檔和多文檔，數(shù)據(jù)輸人需要采用控制臺(tái)程序的鍵盤輸人，輸出可以用二維數(shù)組表示，輸人后判定此代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)。要判定代數(shù)系統(tǒng)性質(zhì)，先要判定封閉性、結(jié)合律、有幺元、每個(gè)元素有逆元，可以編寫幾個(gè)函數(shù)進(jìn)行判定，如isClosure函數(shù)(用來(lái)判斷是否封閉)、isAssociativity函數(shù)(用來(lái)判斷是否具有結(jié)合性)、isExchange函數(shù)(用來(lái)判斷是否具有交換律)、ifIdentityElement函數(shù)(用來(lái)判斷是否含有幺元)、isEveryInverseElement函數(shù)(含有幺元時(shí)，是否每個(gè)元素都存在逆元)等。具體的函數(shù)實(shí)現(xiàn)，課程中已經(jīng)講得比較清楚，學(xué)生自行實(shí)現(xiàn)即可，圖1是一組學(xué)生實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。

5 結(jié) 語(yǔ)

通過研究型與實(shí)驗(yàn)型相結(jié)合的教學(xué)模式，大大提高了學(xué)生參與研究、討論、主動(dòng)思考和實(shí)踐項(xiàng)目執(zhí)行在課程中的比重，學(xué)生的主動(dòng)性與創(chuàng)新實(shí)踐能力大大加強(qiáng)，提高了學(xué)生分析問題和解決問題的能力。該教學(xué)模式要求教師對(duì)研究項(xiàng)目和實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目有較多研究，并投人大量的時(shí)間和精力，才能使離散課程改革落到實(shí)處，真正惠及廣大學(xué)生。

圖1 代數(shù)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)

[1] 陳光喜, 古天龍.“離散數(shù)學(xué)”精品課程教學(xué)改革實(shí)踐[J]. 桂林電子科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2007(4): 300-302.

[2] 常亮, 徐周波, 古天龍.離散數(shù)學(xué)教學(xué)中的計(jì)算思維培養(yǎng)[J]. 計(jì)算機(jī)教育, 2011(14): 90-94．

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（編輯：孫怡銘）

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浙江工業(yè)大學(xué)校級(jí)教學(xué)改革精品課程項(xiàng)目（JG201512）；浙江工業(yè)大學(xué)科研啟動(dòng)金項(xiàng)目（119005029）。

鄭紅波，女，講師，研究方向?yàn)樾问交椒?、虛擬現(xiàn)實(shí)，zhb@zjut．eud．cn。