廣西壯族自治區(qū)欽州市北部灣職業(yè)技術(shù)學(xué)校(535000) 高曉兵

浙江省臺(tái)州市黃巖區(qū)高橋中學(xué)(318025) 蔡歷亮

平面直角坐標(biāo)系是數(shù)與形之間聯(lián)系的一座橋梁,也是今后學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ),本文對(duì)坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行了梳理與歸納,供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

1.象限內(nèi)的點(diǎn)的符號(hào)特征

象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)：第一象限(+,+),第二象限(-,+),第三象限(-,-),第四象限(+,-).

例1如果(x+2)2+|y-3|=0,則點(diǎn)p(x,y)在第幾象限?

解析因?yàn)?x+2)2+|y-3|=0,

所以(x+2)2=0,|y-3|=0,

從而x=-2,y=3,

p(x,y)為p(-2,3)在第二象限.

例2已知點(diǎn)A(m,n)在第一象限,那么點(diǎn)B(n+2,-m)在第___象限.

解析因?yàn)锳(m,n)在第一象限,

所以m＞0,n＞0,

從而n+2＞0,-m＜0,

點(diǎn)B(n+2,-m)在第四象限.

2.同一橫線或同一縱線上的點(diǎn)的符號(hào)特征

同一橫線(與x軸平行或共線)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,同一縱線(與y軸平行或共線)上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.

例3已知點(diǎn)A(x,3)、B(-2,y),且AB//y軸,則x=___,y的取值范圍是___.

解析因?yàn)锳B//y軸,

所以A、B兩點(diǎn)在同一縱線上,橫坐標(biāo)相等,

從而x=-2.

又考慮到點(diǎn)A與點(diǎn)B是不同的點(diǎn),

所以y的取值范圍是y/=3.

例4點(diǎn)B與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)不同,則直線BC與x軸的關(guān)系是()

A.相交但不垂直 B.垂直

C.平行 D.以上都不正確

解析由于點(diǎn)B與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)不同,

所以B、C兩點(diǎn)在同一縱線上,

直線BC是一條縱線,與y軸平行或共線,

故直線BC與x軸垂直,選B.

3.坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征

橫坐軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0,縱軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.

例5已知M(a,b)在坐標(biāo)軸上,則a、b滿足( )

A.a=0 B.b=0

C.a=0且b=0 D.a=0或b=0

解析M(a,b)在坐標(biāo)軸上,

則M可能在橫軸(x軸)上,也可能在縱軸(y軸)上.

當(dāng)M(a,b)在橫軸上時(shí),縱坐標(biāo)b=0;

當(dāng)M(a,b)在縱軸上時(shí),橫坐標(biāo)a=0.

故選D.

這里要注意不能選C,因?yàn)楫?dāng)a=0且b=0時(shí),M(a,b)只能是原點(diǎn),而不能是坐標(biāo)軸上的其它點(diǎn).

例6已知點(diǎn)A(-2,n)在x軸上,則點(diǎn)B(n-1,n+1)在( )

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析點(diǎn)A(-2,n)在x軸(橫軸)上,

所以縱坐標(biāo)n=0,

所以n-1＜0,n+1＞0,

故點(diǎn)B(n-1,n+1)在第二象限,選B.

4.點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的幾何特征

平面直角坐標(biāo)系中,一個(gè)點(diǎn)到橫軸的距離就是這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值,一個(gè)點(diǎn)到縱軸的距離就是這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值.即P(x,y)到x軸的距離是|y|,P(x,y)到y(tǒng)軸的距離是|x|.

例7若點(diǎn)P到x軸的距離是2011,到y(tǒng)軸的距離是2012,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是____.

解析設(shè)P(x,y),則

由P到x軸的距離是2011知|y|=2011,y=±2011.

由P到y(tǒng)軸的距離是2012知|x|=2012,x=±2012.

P(x,y)共有四種情況(2012,2011),(2012,-2011),(-2012,2011),(-2012,-2011),這四個(gè)點(diǎn)分別位于四個(gè)不同象限中.

例8第四象限中,點(diǎn)A(a+1,a-8)到y(tǒng)軸的距離是點(diǎn)A到x軸的距離的2倍,分別求出點(diǎn)A到x軸、y軸的距離.

解析

因?yàn)辄c(diǎn)A在第四象限,

所以a+1＞0,a-8＜0,

因此點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為|a+1|=a+1,

點(diǎn)A到x軸的距離為|a-8|=-(a-8)=8-a.

又因?yàn)辄c(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離是點(diǎn)A到x軸的距離的2倍,

所以a+1=2(8-a),

所以a+1=16-2a,3a=15,a=5.

此時(shí)A(a+1,a-8)為A(6,-3)的確在第四象限,點(diǎn)A到x軸的距離為3,點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為6.

5.象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征

第一、三象限的角平分線上的點(diǎn)P(x,y)的橫坐標(biāo)等于縱坐標(biāo),即x=y.第二、四象限的角平分線上的點(diǎn)P(x,y)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù),即x=-y.

例9已知點(diǎn)M(2a+b,a-b-3)在第二、四象限的角平分線上,求a2011+a的值.

解析因點(diǎn)M在第二、四象限的角平分線上,

所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù),

即(2a+b)+(a-b-3)=0,3a-3=0,a=1,

所以a2011+a=1+1=2.

例10已知點(diǎn)P(b+1,-a)在第一、三象限兩坐標(biāo)軸夾角的平分線上,Q(2b,c)在第二、四象限兩坐標(biāo)軸夾角的平分線上,PQ//y軸,求點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)間的距離.

解析由PQ//y軸,知P、Q兩點(diǎn)在同一縱線上,

b+1=2b,-a/=c.

由b+1=2b知b=1,

所以P(2,-a),Q(2,c).

又因?yàn)镻在第一、三象限兩坐標(biāo)軸夾角的平分線上,

Q在第二、四象限兩坐標(biāo)軸夾角的平分線上,

所以P(2,-a)為P(2,2),Q(2,c)為Q(2,-2),

P、Q兩點(diǎn)間的距離為2-(-2)=4.

6.坐標(biāo)系中平移變換下點(diǎn)的坐標(biāo)變化特征

向右平移橫坐標(biāo)增加,向左平移橫坐標(biāo)減少,向上平移縱坐標(biāo)增加,向下平移縱坐標(biāo)減少.

例11已知點(diǎn)M(a,b),將點(diǎn)M向右平移c個(gè)單位長度,得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是( )

A.(a-c,b) B.(a+c,b)

C.(a,b-c) D.(a,b+c)

解析向右平移c個(gè)單位長度,則點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加c.

當(dāng)c＞0時(shí),實(shí)際向右平移;

當(dāng)c=0時(shí),實(shí)際沒有平移;

當(dāng)c＜0時(shí),實(shí)際向左平移.

不管c＞0,還是c=0、c＜0,點(diǎn)M(a,b)向右平移c個(gè)單位長度后,所得點(diǎn)的坐標(biāo)一定是(a+c,b),答案選B.

例12將△ABC先向右平移,再向上平移,得到△A′B′C′.點(diǎn)A(-2,3)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(5,5),則點(diǎn)C(-3,2)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為____.

解析坐標(biāo)系中,個(gè)體(△ABC中的任意一點(diǎn))與整體(整個(gè)△ABC)的平移方式是相同的.由A(-2,3)經(jīng)過平移后得A′(5,5)知該平移是：先向右平移7個(gè)單位長度(橫坐標(biāo)加7),再向上平移2個(gè)單位長度(縱坐標(biāo)加2).所以C(-3,2)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(4,4).

7.關(guān)于坐標(biāo)軸或原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特征

如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于橫軸對(duì)稱,那么它們的橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù);如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于縱軸對(duì)稱,那么它們的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相等;如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,那么它們的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)也互為相反數(shù).即點(diǎn)(a,b)關(guān)于x軸對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是(a,-b),點(diǎn)(a,b)關(guān)于y軸對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是(-a,b),點(diǎn)(a,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是(-a,-b).

例13小穎同學(xué)將點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)誤認(rèn)為是關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn),得點(diǎn)(3,4),求點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).

解析因點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(3,4),所以A(-3,4),從而點(diǎn)A(-3,4)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(3,-4).

例14已知A、B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,A、C兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,則B、C兩點(diǎn)()

A.關(guān)于x軸對(duì)稱

B.關(guān)于y軸對(duì)稱

C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

D.上述三個(gè)選項(xiàng)都不對(duì)

解析設(shè)A(a,b),

由A、B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱知B(a,-b),

再由A、C兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱知C(-a,b),

此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)B、C兩點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)也互為相反數(shù),

所以B、C兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,選C.