■江蘇省奔牛高級(jí)中學(xué)高三（1 1(班 胡 益)指導(dǎo)老師 張 瑞

對(duì)一道推理證明題的多解探究與推廣

■江蘇省奔牛高級(jí)中學(xué)高三（1 1(班 胡 益)指導(dǎo)老師 張 瑞

在學(xué)習(xí)推理與證明一節(jié)內(nèi)容時(shí),筆者對(duì)一道填空題進(jìn)行了多解探究,并將結(jié)論進(jìn)行了推廣?，F(xiàn)整理成文,與大家分享。

題目 若a,b,c是R t△A B C的三條邊,其中c為斜邊,則an+bn與cn(n>2,n∈N)的大小關(guān)系為____。

解法1：(構(gòu)造冪函數(shù)法)在R t△A B C中,a2+b2=c2,且a2,n∈N時(shí),an-2

點(diǎn)評(píng):本解法利用了同向不等式的可加性,將an+bn傳遞到cn,其中不等式an-22,n∈R也成立,所以我們可以得到推論1。

推論1：若a,b,c是R t△A B C的三條邊,其中c為斜邊,則有an+bn2,n∈R)成立。解法2：(構(gòu)造指數(shù)函數(shù)法)在 ︶R t△A B C中,a2+b2=c2,且a

點(diǎn)評(píng):本解法同樣利用了同向不等式的可加性,只不過后面用到了指數(shù)函數(shù)y=

解法3：(解直角三角形,邊角轉(zhuǎn)換法)在R t△A B C中,a=cs i nA,b=cc o sA,則an+bn=cns i nnA+cnc o snA=cn(s i nnA+c o snA),因?yàn)榻茿為銳角,所以s i nA∈(0,1),當(dāng)n>2,n∈N時(shí),則s i nnA

點(diǎn)評(píng):解三角形的本質(zhì)是將三角形的邊與角進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。本解法巧妙地運(yùn)用a=cs i nA,b=cc o sA,將問題轉(zhuǎn)化為比較s i nnA與s i n2A,c o snA與c o s2A的大小,從而利用三角恒等式s i n2A+c o s2A=1解決問題。

解法4：(二項(xiàng)式定理法)在R t△A B C中,a

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),設(shè)n=2k,k≥2且k∈N*,則cn=(a2+b2)k>a2k+b2k=an+bn;

綜上,對(duì)任意n>2,n∈N,都有an+bn

點(diǎn)評(píng):不等式(p+q)n>pn+qn(p>0,q>0,n≥2,n∈N)可由二項(xiàng)式定理推導(dǎo)證明。考慮到在鈍角三角形A B C中,若C為鈍角,且a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,有a2+b2

推論2：在鈍角三角形A B C中,若C為鈍角,且a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,則有an+bn

在學(xué)習(xí)類比推理時(shí),曾經(jīng)將勾股定理推廣到直四面體S-A B C中,過頂點(diǎn)S的三條棱 兩 兩 垂 直,則S2△SCA。聯(lián)想此結(jié)論可得到推論3。

推論3：對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1,a2,a3,…,an均小于c,且(證明留給讀者思考)

美國著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說:“當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇或做出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后,再四處看看,它們總是成群生長的?！笨傊?在平時(shí)解題時(shí)我們不能僅僅滿足于得出答案,而應(yīng)該從不同視角去思考問題,甚至可以將問題進(jìn)行一般化推廣,往往會(huì)有橫看成嶺側(cè)成峰的效果,一題多解其樂融融。

(責(zé)任編輯 劉鐘華)