利用導數(shù)解決含參數(shù)的幾類問題

■山東省菏澤市第一中學 朱雅琪

導數(shù)的應用是高中數(shù)學的重點和難點,其中求參數(shù)的取值范圍的問題是我在學習過程中感覺比較棘手的難點。在大量的練習和反思中,我總結(jié)出了解決這些問題的常見方法,與大家分享。

一、已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)取值范圍

函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+ 6a x+8,其中a∈R。若f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù),求a的取值范圍。

解析：f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a= 6(x-a)(x-1)。

方法1 當a＞1時,f'(x)＞0在(-∞,1),(a,+∞)上成立,符合題意。

當a=1時,f'(x)=6(x-1)2≥0恒成立,f(x)在(-∞,+∞)上遞增。

當a＜1時,f(x)在(-∞,a),(1,+∞)上單調(diào)增,要保證f(x)在(-∞,0)上單調(diào)增,則需0≤a＜1。

綜上所述,當a≥0時,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)增。

方法2 因為f(x)在(-∞,0)上單調(diào)增。所以f'(x)≥0在x∈(-∞,0)上恒成立。

故x(x-1)≥a(x-1)在x∈(-∞,0)上恒成立。因為x＜0,所以x-1＜0,x≤a從而a≥0。

點評：先求f'(x),討論f'(x)=0兩根的大小并判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,也可以利用函數(shù)單調(diào)性的充要條件轉(zhuǎn)化為恒成立問題。

二、已知不等式在某區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的取值范圍

已知函數(shù)f(x)=x3+a x2+時都取得極值。

(1)求a,b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若對x∈[-1,2],不等式f(x)＜c2恒成立,求c的取值范圍。

從而c2＞2+c,解得c＜-1或c＞2。

點評：在利用不等式求參數(shù)取值范圍時,通常要構(gòu)造一個新的函數(shù)g(x),轉(zhuǎn)化為恒成立問題。若類似于a≥g(x),則只要a≥g(x)max;若類似于a≤g(x),則只要a≤g(x)min。

三、已知函數(shù)圖像的交點情況，求參數(shù)的取值范圍。

已知函數(shù)f(x)=a x3+b x2-3x在x=-1,x=1處取得極值。

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)若過點A(1,m)(m≠-2)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實數(shù)m的取值范圍。

解析：(1)易得f(x)=x3-3x。

(2)設切點為M(x0,x30-3x0),因為f'(x)=3x2-3,所以切線方程為y-m= (3x20-3)(x-1)。又切線過點M,所以x30-

因為過點A可作曲線的三條切線,所以關于x0的方程(*)有三個不同的實數(shù)根。

所以g(x0)在(-∞,0),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減,故函數(shù)g(x0)的極值點為x0=0,x0=1。

所以關于x0的(*)式有三個不同實根的充要條件是解得-3＜m＜ -2。實數(shù)m的取值范圍是(-3,-2)。

點評：求解本題的關鍵是將切線的個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程實數(shù)根的個數(shù),進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點的問題。

(責任編輯 徐利杰)