董芳芳

(鹽城市亭湖高級中學(xué) 江蘇 鹽城 224000)

水中直尺像上刻度線的疏密變化研究

董芳芳

(鹽城市亭湖高級中學(xué) 江蘇 鹽城 224000)

由于存在像散，水中放置直尺所成虛像的清晰度將受到破壞.直尺所成虛像一般呈弧形，像上刻度線的疏密程度隨之發(fā)生相應(yīng)變化.數(shù)值計算結(jié)果表明，像上刻度線的疏密程度隨觀察位置變化而變化，在同一位置觀察時像上各部分刻度線的疏密程度也有所不同.一般地，像上刻度線較原尺變密，而在特定情形下，像上刻度線有可能較原尺變疏.

折射 虛像 刻度線 幾何光學(xué)

現(xiàn)將一把直尺放入水中，觀察者在水面上方不同位置觀察水中直尺所成虛像，為簡單起見，不妨假設(shè)直尺、直尺入水點處的法線以及眼睛共面，如圖1所示，顯然，由于存在像散直尺所成虛像的清晰度將受到一定程度的破壞.但直尺所成虛像上刻度線的密度將發(fā)生什么變化？是變疏了還是變密了？

圖1 水下直尺成像光路圖

在圖1中，人眼處于水面上方并在直尺右側(cè)的E點處，其坐標設(shè)為E(xE,yE)，直尺OB傾斜放置時所處直線的方程設(shè)為y=kx，其中k為斜率(當直尺OB豎直放置時k=∞).考慮水下直尺上任意一點P(xP,yP)發(fā)出的兩條相互靠得極近的光線經(jīng)折射所成的虛像為P′(xP′,yP′)，入射光線PA1與法線的夾角為入射角i1，相應(yīng)的折射角為i2.虛像P′的坐標經(jīng)計算可得[1]

(1)

可見,虛像P′的坐標滿足方程

其中入射角i1滿足下列關(guān)系

(2)

其中n1為水的相對折射率，n2為空氣的相對折射率.本文將采用數(shù)值計算的方法給出人眼觀察到水下直尺所成虛像的位置.不妨取水的相對折射率為n1=1.3，空氣的相對折射率n2=1，在計算中取直尺傾斜放置時斜率k=-1，直尺水下部分的長度OB=0.2 m，人眼所處E點的坐標分別為(0.3,0.2)，(0.4,0.2)，(0.5,0.2)(單位：m)，則所觀察到的虛像的位置分別如圖2中B,C,D3條曲線所示，直線A表示水下直尺的成像位置，可見人眼處于不同位置觀察到的虛像的彎曲程度不同，同一虛像上各部分圖像的斜率也不相同，以致水下直尺所成虛像上各部分刻度線的疏密程度也隨之發(fā)生變化.

圖2 人眼處于不同位置觀察到水下傾斜放置直尺所成虛像位置

為比較虛像上刻度線的疏密變化程度，我們將直尺水下部分從O點到B點等分為40段，并分別標為第1～40段，每段的長度為5 mm.圖3中，人眼所處E點的坐標分別為(0.3,0.2)，(0.4,0.2)，(0.5,0.2)(單位：m)時觀察所得各等分段虛像所對應(yīng)長度與尺上原長的比值如圖3中B,C,D3條曲線所示，直線A為比值為1的參考線.由圖3可以看出，如果直尺足夠長，那么直尺水下部分接近水面的地方虛像各段的長度相對于原尺上各等分段的長度變長，沿著直尺向下虛像各段的長度逐漸減小，直至小于直尺等分段的長度，然后逐漸增加.即相對于原尺上的刻度線而言，斜率k=-1的水下直尺所成虛像上的刻度線從入水點開始先變疏，再逐漸變密，但尺的下端稠密程度或有所減小.

圖3 人眼處于不同位置觀察到水下傾斜放置直尺各等分段所成虛像長度與原長之比

作為對比，我們還給出了水下直尺豎直放置時人眼處在不同位置觀察到的虛像位置以及所成虛像上刻度線疏密變化情況，分別如圖4和圖5所示.

圖4 人眼處于不同位置觀察到水下豎直放置直尺所成虛像位置

圖5 人眼處于不同位置觀察到水下傾斜放置直尺各等分段所成虛像長度與原長之比

在圖4中，人眼所處E點的坐標分別為(0.3,0.2)，(0.4,0.2)，(0.5,0.2)(單位：m)時，觀察到的虛像的位置分別如圖中B,C,D3條曲線所示，圖中A表示水下直尺的成像位置.同樣，人眼處于不同位置觀察到的虛像的彎曲程度不同，同一虛像上各部分刻度線的疏密程度也隨之發(fā)生變化.在圖5中，人眼所處E點的坐標分別為(0.3,0.2)，(0.4,0.2)，(0.5,0.2)(單位：m)，觀察到各等分段虛像所對應(yīng)長度與原長之比如圖5中B,C,D3條曲線所示，直線A為比值為1的參考線.可見當原尺水下部分足夠長時，相對于原尺上刻度線，水下直尺豎直放置時所成虛像上的刻度線從入水點開始逐漸變密，但靠近尺的下端稠密程度或有所減小.

總之，相對于原尺上刻度線而言，人眼處于同一位置觀察到的水下直尺上刻度線的密度有可能變疏，也有可能變密；眼睛處于不同位置觀察到水下直尺的像的彎曲程度不同，像上各處刻度線的密度也有所不同.

1 姚啟鈞. 光學(xué)教程.北京：高等教育出版社，2002.160～161

StudyontheChangesofScaleMarkDensityonaRulerImageunderWater

DongFangfang

(TinghuSeniorHighSchool,Yancheng,Jiangsu224000)

The clarity of the virtual image of a ruler underwater reduces due to the astigmatism. The virtual image of the ruler bends to some degree, and the scale mark density of the image changes. The calculation shows that the scale mark density of the image changes with the position of the observer. Even when the observer is at the same position, the scale mark density of the different parts of the ruler is somewhat different. The scale mark density of the image may be greater or smaller than the original density.

refraction; virtual image; scale mark; geometrical optics

董芳芳(1987- ),女，碩士，中教一級，主要從事中學(xué)物理教學(xué).

2016-08-02)