包日東， 梁 峰

(沈陽化工大學 能源與動力工程學院，沈陽 110142)

兩端彈性支承裂紋管道的非線性動力學特性

包日東， 梁 峰

(沈陽化工大學 能源與動力工程學院，沈陽 110142)

研究兩端彈性支承輸流管道含圓周方向裂紋時的非線性動力學特性。首先，推導出裂紋管道的模態(tài)函數(shù)與局部柔度系數(shù)，然后運用Galerkin離散技術將管道運動方程在模態(tài)空間中展開，采用非線性動力學仿真方法得到管道系統(tǒng)響應隨各參數(shù)變化的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖。數(shù)值結果表明，這種兩端彈性支承的特殊邊界裂紋管道在參數(shù)激勵、自激勵和外激勵聯(lián)合作用下，表現(xiàn)出豐富的非線性動力學特性，分別出現(xiàn)周期運動、概周期運動、陣發(fā)性混沌和混沌等多種響應形式。

彈性支承；裂紋管道；非線性動力學特性；分岔；混沌

管道輸送在能源、化工、航空、動力等工業(yè)領域具有廣泛應用，是流體輸送的最主要方式。管道輸送的安全運行關系著與之相連接裝置的安全，裂紋是較典型的一種損傷形式，裂紋的出現(xiàn)將改變管道結構的剛度、阻尼和質量，從而導致管道系統(tǒng)動力學特性的改變。

無裂紋兩端簡支輸流管道在脈動內流作用的動力學特性，已有許多文獻報道了其研究進展[1-4]；近年來對于含裂紋兩端簡支輸流管道的動力學特性的研究也多有文獻報道。HE等[5]在沒有考慮管內流體影響前提下，研究了裂紋管道的應力集中因子和局部柔度系數(shù)；YOON等[6]研究了兩端簡支裂紋管道在移動載荷作用下的頻率特性和位移響應；蔡逢春等[7]研究了含裂紋兩端簡支管道在振蕩流作用下的非線性動力特性，其模型考慮了瞬變呼吸裂紋和幾何非線性。無裂紋端部既非簡支又非固支的特殊支承邊界輸流管道的動力學特性，作者以前進行了較深入的研究[8-10]，而對于這種特殊支承邊界的含裂紋輸流管道的研究，還未見有相關文獻報道。

兩端簡支管道由于各種原因其端部支撐可能松動而處于彈性支承狀態(tài)。本文研究這種兩端彈性支撐特殊邊界的輸流管道含有圓周方向非貫穿裂紋時的非線性動力特性。

1 裂紋梁模態(tài)函數(shù)與局部柔度系數(shù)

1.1 模態(tài)函數(shù)

如圖1所示，考慮含有一條裂紋的梁，xc是圖示坐標系裂紋坐標，K1和K2是端部彈性支承系數(shù)，從裂紋處將梁分成2段，在裂紋處用扭轉彈簧組裝起來。裂紋梁的模態(tài)函數(shù)可分段表示為：

(1)

(2)

圖1 兩端彈性支承裂紋管道模型Fig.1 Model of a fluid conveying pipe with crack under elastic supporting

兩端彈性支承裂紋管道在端部應滿足線性彈性支承的邊界條件，在裂紋處應滿足位移、彎矩、剪力和轉角四個協(xié)調條件：

(3)

將式(1)～(2)及其各階導數(shù)代入邊界條件和協(xié)調條件式(3)，可得：

(4)

式中:C為裂紋引起的局部柔度系數(shù)?？紤]兩端對稱支承的情形，即：

K1=K2=K

令：

可得：

(5)

式(5)構成關于Ai(i=1,2,…,8)的線性方程組，求解該方程組，可以唯一確定系數(shù)Ai，由此得到裂紋管道的兩段模態(tài)函數(shù)。

1.2 局部柔度系數(shù)

在純彎矩作用下由外壁部分圓周裂紋引起的局部柔度系數(shù)為[3-5]：

(6)

圖2 裂紋管道截面Fig.2 Section of the cracked pipe

進一步將局部柔度系數(shù)化為無量綱形式：

(7)

2 系統(tǒng)運動方程及離散

圖1所示兩端受線性彈簧支承的輸流管道，考慮管道軸線伸長而產(chǎn)生的非線性軸向力、支承基礎的簡諧激勵、管內流體流速和壓力的脈動作用，其無量綱形式的運動方程為[9,10]：

(8)

式中:各符號的意義參見文獻[9-10]。

設方程(8)的解為：

(9)

將式(9)代入式(8)可得

(10)

方程(10)兩邊同乘以φj(ξ),(j=1,2)，然后在區(qū)間[0，1]上進行積分，得到

(11)

進一步將系統(tǒng)運動方程(11)化為：

(12)

式中:

R=-M-1C,S=-M-1K,

(13)

式中:

rij，sij(i,j=1,2)為矩陣R，S的元素，Q1，Q2為向量Q用狀態(tài)參數(shù)表示的元素。

3 非線性動力學特性分析

仿真參數(shù)取α=0.005，β=0.5，Γ=2，p=2，u=4，k=50，d=Di/De=0.925 9，a/δ=0.5，θc=2θ=π/6，ξc=0.5，h=0.1，μ=0.1，ρ=0.1，γ=5，ζ=50，κ=5π，?=5π，ω=5π。當討論某參數(shù)對固有頻率和臨界流速的影響時，該參數(shù)取變化的值(圖中的橫坐標)，有變化的參數(shù)值已標注于圖中。

圖3 系統(tǒng)響應隨流速變化的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.3 Bifurcation diagram and maximal Lyapunov exponent of pipe system for flow velocity

圖3所示為系統(tǒng)響應隨平均流速變化的分岔圖和對應的最大Lyapunov指數(shù)圖。從圖中看出，當流體流速較小時，系統(tǒng)響應是周期運動，隨著流速的增大，系統(tǒng)響應出現(xiàn)分岔，流速u=3.8時，系統(tǒng)響應出現(xiàn)混沌，爾后，隨著流速的進一步增大，系統(tǒng)響應交替出現(xiàn)陣發(fā)性混沌和p-k運動。

圖4 θc=2π時系統(tǒng)響應隨流速變化的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.4 Bifurcation diagram and maximal Lyapunov exponent of pipe system for flow velocity under condition of θc=2π

圖5 系統(tǒng)響應隨彈性支承系數(shù)k變化的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.5 Bifurcation diagram and maximal Lyapunov exponent of pipe system for elastic supporting coefficient k

圖4所示為裂紋角θc=2π即管道圓周方向貫穿時系統(tǒng)響應隨流速變化的分岔圖和對應的最大Lyapunov指數(shù)圖。從圖4(a)和圖4(b)可以看出，u<2.5時系統(tǒng)響應為周期1運動；u∈[2.5,3.5]區(qū)間時，系統(tǒng)響應為陣發(fā)性混沌運動；流速u在[5.15,5.35]的窄小區(qū)間內，系統(tǒng)響應表現(xiàn)為混沌運動；流速u>5.35后，系統(tǒng)響應又表現(xiàn)為陣發(fā)性混沌運動。

圖5顯示的是系統(tǒng)響應隨彈性支承系數(shù)k變化的分岔圖和相應的最大Lyapunov指數(shù)圖。從圖中可以得出，隨著管道端部彈性支承系數(shù)的變化，系統(tǒng)響應分別出現(xiàn)混沌運動、周期運動、擬周期運動、陣發(fā)性混沌等多種響應形式。k∈[20,22]∪[30,37]∪[38,46]∪[78,80]的各區(qū)間內，系統(tǒng)響應為混沌；k∈[22,23.5]∪[26,28]∪[37,38]∪[65,67]的各區(qū)間內，系統(tǒng)響應為周期運動；k∈[23.5,26]∪[46,65]的二個區(qū)間內，系統(tǒng)響應表現(xiàn)為擬周期運動形式，除上述的各區(qū)內的彈性支承系數(shù)外的其它彈性支承系數(shù)，系統(tǒng)響應則表現(xiàn)為陣發(fā)性混沌響應形式。

圖6 系統(tǒng)響應隨裂紋圓周角θc變化的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.6 Bifurcation diagram and maximal Lyapunov exponent of pipe system for angle of crack

圖6顯示的是系統(tǒng)響應隨裂紋圓周角θc變化的分岔圖和對應的最大Lyapunov指數(shù)圖。從圖中得出，裂紋圓周角θc<π/8時，系統(tǒng)響應表現(xiàn)為混沌運動，裂紋圓周角7π/8<θc<9π/8區(qū)間內系統(tǒng)響應出現(xiàn)陣發(fā)性混沌現(xiàn)象，裂紋角除上述外的其它二個區(qū)間內則表現(xiàn)為P-3和P-1運動形式。

圖7 系統(tǒng)響應隨裂紋相對深度a/δ變化的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.7 Bifurcation diagram and maximal Lyapunov exponent of pipe system for depth of crack

圖7顯示的是系統(tǒng)響應隨裂紋相對深度a/δ變化的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖。從圖中看出，裂紋相對深度a/δ<0.42時，除在a/δ=0.2附近的窄小范圍內出現(xiàn)周期響應外，表現(xiàn)出了混沌響應的特性；裂紋相對深度處于0.420.95區(qū)間時，系統(tǒng)響應則為周期運動形式；裂紋相對深度處于0.75

4 結 論

通過研究兩端受線彈簧支承的彈性支承輸流管道含圓周非貫穿裂紋，并在自激勵-參數(shù)激勵-外激勵作用下的系統(tǒng)非線性動力學特性，主要分析了平均流速u、端部彈性支承系數(shù)k、裂紋圓周角θc、裂紋相對深度a/δ對該系統(tǒng)非線性動態(tài)特性的影響。隨著這些參數(shù)的變化，系統(tǒng)響應表現(xiàn)出豐富的動力學特性，分別出現(xiàn)周期運動、概周期運動、陣發(fā)性混沌和混沌多種響應形態(tài)。

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Nonlinear dynamic characteristics of a cracked pipe conveying fluid under two-end elastic supports

BAO Ridong, LIANG Feng

(School of Energy and Power Engineering, Shenyang University of Chemical Technology, Shenyang 110142, China)

The nonlinear dynamical characteristics of a two-end elastically supported pipe with circular crack conveying fluid were studied. Firstly, the expressions of vertical vibration modal functions and the local flexibility coefficients of the cracked pipe were derived. Then, its equations of motion were discretized in the modal space with Galerkin method. Bifurcation diagrams and the maximum Lyapunov exponents of the pipe system responses versus various parameters were acquired by using the nonlinear dynamic simulation technique. The simulation results showed that the cracked piping system has abundant nonlinear dynamical characteristics; it exhibits multiple response forms, such as, periodic motion, quasiperiodic motion, intermittent chaos and chaotic motion and so on.

elastic supports; cracked pipe; non-linear dynamic characteristics; bifurcation; chaos

國家自然科學基金資助項目(51275315)

2015-10-22 修改稿收到日期：2016-01-06

包日東 男，博士，教授，1967年6月生

O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.01.010