思羽/編譯

物理學家揭秘粒子對撞中的神秘數(shù)字

思羽/編譯

粒子對撞以某種方式與數(shù)學中的“主題”產(chǎn)生了聯(lián)系

● 在位于日內(nèi)瓦的大型強子對撞機中，物理學家繞著一條17英里長的軌道射出質(zhì)子，讓它們以幾乎等于光速的速度對撞在一起。這是全球最需要精細調(diào)節(jié)的科學實驗之一，但是當物理學家試圖理解量子殘骸時，他們開始使用一種異常簡單的名叫“費曼圖”的工具，它與一個小孩描繪這一情況的方式并沒有多少不同。

20世紀40年代，理查德·費曼（Richard Feynman）設(shè)計出了費曼圖。費曼圖中的線條代表基本粒子，它們會合于一處頂點（這代表了對撞），接著從那兒分離，代表對撞中出現(xiàn)的東西。那些線條要么獨自發(fā)射，要么再次會合。連鎖碰撞可以像一位物理學家敢于認為的那么漫長。

物理學家給示意圖添加上代表相關(guān)粒子質(zhì)量、動量和方向的數(shù)字。接下來，他們開始一段費力的計算步驟——求這些量的積分，加上那個量，求這個量的平方。最終的結(jié)果是一個數(shù)，名叫費曼概率，它量化了粒子對撞如示意圖中一樣進行到底的概率。

“在某種程度上，費曼發(fā)明了這種示意圖是為了把復雜的數(shù)學編碼成一種賬目登記方法?！奔又堇砉W院的一位理論物理學家和數(shù)學家謝爾蓋·古科夫（Sergei Gukov）說道。

費曼圖多年以來一直服務于物理學家，不過它們也有局限之處。第一個局限是它需要嚴格的步驟。物理學家在追蹤越來越高能的粒子的對撞，這要求有更高的測量精確度——隨著精確度的提高，需要通過計算來得出預測結(jié)果的費曼圖的復雜程度也隨之增加。

第二個局限是費曼圖的更加基礎(chǔ)的性質(zhì)。費曼圖建立在一條假定之上：越多潛在的粒子碰撞和次碰撞被囊括進來的話，它們的數(shù)字預測值會更加準確。這種計算步驟被稱為“攝動展開”，對于電子的粒子對撞分析的效果非常好。（在這類情況下，弱力和電磁力占據(jù)主導地位。）它對高能對撞分析——如質(zhì)子之間的對撞，在這種情形下，強核力占據(jù)上風——效果就不怎么好。在這些案例中，囊括進更廣泛范圍的碰撞——通過繪制更加錯綜復雜的費曼圖——事實上能讓物理學家誤入歧途。

“我們知道一個事實，到某個節(jié)骨眼上，費曼圖開始（與現(xiàn)實世界的物理學）產(chǎn)生分歧，”牛津大學的一位數(shù)學家弗朗西斯·布朗（Francis Brown）說道，“我們所不知道的是，如何估量到哪個節(jié)骨眼時應該停止計算示意圖?！?/p>

然而，我們有理由保持樂觀。在最近十年里，物理學家和數(shù)學家已經(jīng)在探索一種讓人驚訝的通信方式，有可能會讓可敬的費曼圖獲得新生，在物理和數(shù)學兩個領(lǐng)域都產(chǎn)生影響深遠的洞見。這與一項奇特的事實有關(guān)，即從費曼圖中計算得出的數(shù)值看起來正好與一個名叫“代數(shù)幾何學”的數(shù)學分支中出現(xiàn)的一些最重要數(shù)字相匹配。這些值被稱為“主題周期”（periods of motives），而且沒有明顯的原因表明為何相同的數(shù)字要出現(xiàn)在兩種背景中。實際上，這點的奇特程度堪比你每次測量一杯稻米，觀察到稻米的數(shù)量都是質(zhì)數(shù)這種假設(shè)情況。

“從自然到代數(shù)幾何學再到周期，存在著一種聯(lián)系，以后知之明來看，這并非巧合?！卑亓趾楸ご髮W物理學家迪爾克·克賴默（Dirk Kreimer）說道。

如今，數(shù)學家和物理學家正在合力解開這種巧合。對于數(shù)學家而言，物理學讓一類特別的數(shù)字引起了他們的注意，他們想要弄明白這些發(fā)生在物理學中的周期是否有著一種隱藏的結(jié)構(gòu)？這類數(shù)可能擁有什么特殊的性質(zhì)？對于物理學家而言，那類數(shù)學領(lǐng)悟的回報會是一種全新的先見，幫助預期某些事件在紊亂的量子世界會如何運行。

數(shù)學家研究所有周期的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)。假如物理學家能在費曼圖中得出的振幅中發(fā)現(xiàn)同一種數(shù)學結(jié)構(gòu)，他們就能更加容易地計算實驗的概率

再現(xiàn)的主題

今時今日，周期是數(shù)學中最抽象的研究主題之一，但它們一開始誕生是出于更具體的利害關(guān)系。17世紀早期，伽利略·伽利萊等科學家饒有興趣地琢磨要如何計算鐘擺完成一次擺動所需的時間長度。他們意識到，計算可以歸結(jié)為取得一個函數(shù)的積分（一種無限項和），這個函數(shù)里包含了有關(guān)鐘擺長度和釋放角度的信息。同時，約翰內(nèi)斯·開普勒使用類似的計算方法，確定了一顆行星要繞著太陽周轉(zhuǎn)所需的時間。他們稱這些度量值為“周期”，確定它們是與運動相關(guān)的最重要測量值之一。

在18和19世紀，數(shù)學家們普遍變得有興趣來研究周期這回事——不僅是因為周期與鐘擺或行星有關(guān)，也是因為對x2+2x-6和3x3-4x2-2x+6多項函數(shù)求積分而生成的一類數(shù)。在一個多世紀的時間里，諸如卡爾·弗里德里?！じ咚购腿R昂哈德·歐拉等著名數(shù)學家探索了周期的領(lǐng)域，發(fā)現(xiàn)它包含了許多特征，指向某種潛在的秩序。在某種意義上，代數(shù)幾何學——它是研究多項式方程的幾何形式——在20世紀作為一種追蹤那種隱藏結(jié)構(gòu)的方法而得以發(fā)展。

20世紀60年代，這一努力獲得快速發(fā)展。在那時，數(shù)學家已經(jīng)完成了他們經(jīng)常會做的事情：他們把方程式這類相對具體的對象轉(zhuǎn)變成更為抽象的對象，他們希望這樣會允許他們確定起初并不明顯的關(guān)系。

這一步驟首先是要研究多項式函數(shù)類型的解所定義的幾何對象（也被稱為代數(shù)簇），而不是研究函數(shù)本身。接下來，數(shù)學家們試圖理解這些幾何對象的基本性質(zhì)。為了達成這個目的，他們發(fā)展了一種被稱為上同調(diào)理論的工具——用這種方式能確定幾何對象的結(jié)構(gòu)特征，又不用考慮用來生成對象的特定多項式方程。

到了20世紀60年代，上同調(diào)理論已經(jīng)激增到了開枝散葉的程度——奇異上同調(diào)、德拉姆上同調(diào)、平展上同調(diào)，諸如此類?？雌饋砻總€人都對代數(shù)簇的最重要特征有著不同的看法。

在這片混亂的研究領(lǐng)域，2014年過世的前沿數(shù)學家亞歷山大·格羅滕迪克（Alexander Grothendieck）意識到，所有上同調(diào)理論都是同一樣東西的不同版本。

“格羅滕迪克觀察到的東西是，在代數(shù)簇的例子里，無論你如何計算這些不同的上同調(diào)理論，你總是不知怎么地發(fā)現(xiàn)相同的答案?！备ダ饰魉埂げ祭收f。

這個相同的答案是所有這些上同調(diào)理論核心的獨一無二的東西，被格羅滕迪克稱之為“motive”?！霸谝魳分?，motive的意思是再三出現(xiàn)的主題。對于格羅滕迪克而言，主題是以不同形式反復出現(xiàn)、但其實一模一樣的東西。”皮埃爾·卡蒂埃（Pierre Cartier）說道，他是一位在法國高等科學研究所工作的數(shù)學家，也是格羅滕迪克的昔日同事。

主題在某種意義上來說是多項式方程的基本建筑材料，正如質(zhì)因子是更大的數(shù)的基本成分。主題也有與它們相關(guān)的數(shù)據(jù)。正如你可以把物質(zhì)分解成元素，指明每種元素的特征——原子數(shù)、原子質(zhì)量，諸如此類——數(shù)學家們也把本質(zhì)的測度歸屬于某個主題。在這些測度中，最重要的一項是主題的周期。假如某個多項式方程的系統(tǒng)中產(chǎn)生的主題的周期等同于另一個不同系統(tǒng)中產(chǎn)生的主題的周期，你就知道這兩個主題是一樣的。

“一旦你知道了周期（這是特定的數(shù)字），那幾乎等于知道了主題本身?！迸＝虼髮W的一位數(shù)學家金明迥（Minhyong Kim）說道。

要看到相同的周期在出人意料的背景下出現(xiàn)，一個直接的方式是看π的情況?！斑@是獲得周期的最著名的例子。”卡蒂埃說道。π在幾何學的許多偽裝中出現(xiàn)：在定義單維圓的函數(shù)的積分中，在定義雙維圓的函數(shù)的積分中，在定義球體的函數(shù)的積分中。這個相同的值會在看起來如此不同的積分中反復出現(xiàn)，對于古代的思想家來說，這很可能是個謎團?！艾F(xiàn)代的解釋是，球體和實心圓有著相同的主題，因此必定有著基本上相同的周期?！辈祭试谝环怆娻]中寫道。

費曼的艱辛之路

如果說在很久以前，好奇的頭腦想要知道為什么π這類數(shù)值在圓形和球體的計算中突然出現(xiàn)，那么今天的數(shù)學家和物理學家們會想要知道為什么那些值在不同種類的幾何對象（費曼圖）中出現(xiàn)。

費曼圖有著基本的幾何學特征，由線段、射線和頂點構(gòu)成。為了理解它們是如何構(gòu)造的，它們?yōu)楹卧谖锢韺W上有用處，請想象一個簡單的實驗安排，一個電子與一個正電子對撞，生成一個渺子和一個反渺子。為了計算這種結(jié)果發(fā)生的概率，一名物理學家會需要知道每個入射粒子的質(zhì)量和動量，也要對粒子所沿的路徑有所了解。在量子力學中，粒子所走的路徑可以想成是它可能遵循的所有可能路徑的平均。計算那條路徑變成了對所有路徑的集合求積分，這個積分被稱為費曼路徑積分。

粒子對撞從開始到結(jié)束可能遵循的每一條路徑能用一張費曼圖來代表，每一張費曼圖都有它與自身相關(guān)的積分。（費曼圖與它的積分是等同的。）要從一組特定的起始情況中計算某種特定的結(jié)果的發(fā)生概率，得要考慮能描述對撞過程的所有可能的費曼圖，求得每個積分，再把那些積分相加。那個數(shù)字是費曼圖的振幅。物理學家接著求這個數(shù)的平方，獲得概率。

對于一個電子和一個正電子入射、一個渺子和一個反渺子射出的情況，這個計算步驟很容易執(zhí)行。但那屬于無聊的物理學。物理學家真正關(guān)心的實驗是和帶圈的費曼圖有關(guān)的實驗。所謂的圈代表這種情況：粒子射出后重新吸收額外的粒子。當一個電子與一個正電子對撞，在最終的那對渺子和反渺子出現(xiàn)之前，可能有無數(shù)次的中間碰撞發(fā)生。在這些中間碰撞中，光子之類新粒子被創(chuàng)造出來，它們在被觀察到之前就湮滅了。入射和射出的粒子與之前描述中一樣，但事實是那些沒有被觀察到的碰撞仍然對最終產(chǎn)物有著細微的影響。

“這就像 Tinkertoy玩具。一旦你畫了一幅費曼圖，根據(jù)理論規(guī)則，你就能連接上更多線條?！备ダ铡に岫啵‵lip Tanedo）說道，他是加州大學河濱分校的一位物理學家，“你可以連上更多的短棒、更多的節(jié)點，讓它變得更加復雜?！?/p>

通過把圈考慮進去，物理學家們提高了實驗的精確度。（增加1圈就像把1個值計算到重要的位數(shù)。）但他們每次增加1圈，需要考慮的費曼圖的數(shù)量——相應的積分的難度——隨之急劇增加。譬如說，一個簡單系統(tǒng)的2圈版本可能只需要1張費曼圖。同個系統(tǒng)的兩圈版本需要7張費曼圖。3圈版本就需要72張費曼圖。增加到5圈的話，計算要求考慮大約12 000個積分——這個計算量簡直要用幾年時間來解決。

相比于費力地計算這么多乏味的積分，物理學家會想要光看下某個給定的費曼圖的結(jié)構(gòu)，就能對最終的振幅有所感覺——正如數(shù)學家可以將周期與主題建立聯(lián)系。

“這個步驟如此復雜，積分是如此困難，所以我們想要做的事是只用看一眼費曼圖，就能窺見最終的答案，最終的周期積分?！辈祭收f。

令人驚訝的關(guān)聯(lián)

1994年，周期和振幅被首次呈現(xiàn)在一起，這是迪爾克·克賴默和英國公開大學的一位物理學家大衛(wèi)·布羅德赫斯特（David Broadhurst）合作的成果，他們在1995年發(fā)表了一篇論文。這一工作讓數(shù)學家們推斷，所有振幅都是混合泰特主題的周期，泰特主題是一種以哈佛大學榮休教授約翰·泰特（John Tate）命名的特定主題，其中所有周期都是數(shù)論中最具影響力的黎曼ζ函數(shù)的多值。在1對電子-正電子入射、1對渺子和反渺子射出的情況下，振幅的主要部分結(jié)果是黎曼ζ函數(shù)在賦值為3時計算結(jié)果的6倍。

假如所有振幅都乘以ζ值，這會給予物理學家一類定義良好的數(shù)字，讓他們可以著手工作。但在2012年，布朗與他的合作者奧利弗·施內(nèi)茨（Oliver Schnetz）證明實情不是那樣。盡管今日的物理學家們遇到的所有振幅都可能是混合泰特主題的周期，“有一些怪物潛藏在暗處，會給研究造成阻礙?！辈祭收f，那些怪物“肯定是周期，但它們不是人們所企盼的那種美妙和簡單的周期?！?/p>

物理學家和數(shù)學家們確鑿知道的是，看起來費曼圖的圈數(shù)和數(shù)學中稱為“權(quán)”的概念之間存在著關(guān)聯(lián)。權(quán)是一個與被積分空間的維度有關(guān)的數(shù)字：在一維空間上的周期積分可以有0，1或2的權(quán)；在二維空間上的周期積分可以有最高為4的權(quán)，依此類推。權(quán)也可以用來把周期分成不同類型：所有權(quán)為0的周期據(jù)推測是代數(shù)數(shù)，可能是多項式方程的解（這還未被證明）；鐘擺的周期的權(quán)總是為1；π是權(quán)為2的周期；黎曼ζ函數(shù)的值的權(quán)總是為輸入值的2倍（所以ζ函數(shù)在賦值為3時有著為6的權(quán)）。

這種依照權(quán)對周期的分類可以沿用到費曼圖上，費曼圖中的圈數(shù)不知為何與它的振幅的權(quán)相關(guān)。沒有圈的費曼圖有著權(quán)為0的振幅；帶1圈的費曼圖的振幅都是混合泰特主題的周期，有著至多為4的權(quán)。對于圈數(shù)更高的費曼圖，數(shù)學家們懷疑這種關(guān)系會延續(xù)下去，盡管他們還無法窺見其中的奧秘。

“我們研究到更高的圈數(shù)，我們看見更為普遍類型的周期，”克賴默說道，“數(shù)學家對此真的很感興趣，因為他們對不屬于混合泰特主題的主題了解不多?！?/p>

數(shù)學家和物理學家們目前在前溯后推，試圖為這個問題建立范圍，尋找精巧的解答。數(shù)學家們向物理學家們推薦使用函數(shù)（和它們的積分）來描述費曼圖。物理學家構(gòu)思出粒子對撞的配置方案，以此來超越數(shù)學家得要提供的方程?！翱吹剿麄兡敲纯斓匚障喈斁哂屑夹g(shù)性的數(shù)學想法，這點讓人驚奇，”布朗說，“我們已經(jīng)用完了經(jīng)典的數(shù)和方程，沒什么好給物理學家了。”

大自然的群

自從微積分在17世紀創(chuàng)立起，在物理學世界中出現(xiàn)的數(shù)字推動了數(shù)學進步。如今也是這樣。事實是，從物理學中得出的周期“有點上帝賜予的味道，來自于物理學理論意味著它們有許多結(jié)構(gòu)，一位數(shù)學家一定不會想到或試圖創(chuàng)造的便是結(jié)構(gòu)?！辈祭收f道。

克賴默補充說：“看起來，大自然想要的周期是比數(shù)學家能定義的周期更小的集合，但我們無法非常清楚地定義這個子集其實是什么?！?/p>

布朗指望能證明有一種數(shù)學群——一種伽羅瓦群——對來自費曼圖的周期集合發(fā)揮影響?！霸谥两衩恳粋€被計算過的案例中，這種解答看起來都很正確。”他說道，但要證明這種關(guān)系絕對成立仍然是遙不可及的事情?！凹偃邕@是真的，確實存在一個群對出自物理學的數(shù)施加影響力，那意味著你尋找到一類數(shù)目龐大的對稱?！辈祭收f，“假如那是真的，那么下一步是探問為何存在這么大的對稱群，它可能具有什么潛在的物理學含義。”

此外，它會從兩個十分不同的背景下加深基礎(chǔ)幾何構(gòu)造間早已存在的刺激關(guān)系：一個是主題，它是數(shù)學家在50年前設(shè)計出的，為的是理解多項式方程的解答；一個是費曼圖，它是對粒子對撞如何進行的圖解呈現(xiàn)。每一張費曼圖都有附著的主題，但某個主題的結(jié)構(gòu)對于相關(guān)費曼圖的結(jié)構(gòu)到底能告訴我們什么內(nèi)容，這點仍然未知，有待各位的猜想。

[資料來源：Wired][責任編輯：彥 隱]