董貴榮

（西安理工大學(xué) 高等技術(shù)學(xué)院，西安 710082）

基于REKF-FPID的復(fù)合材料纏繞張力控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

董貴榮

（西安理工大學(xué) 高等技術(shù)學(xué)院，西安 710082）

復(fù)合材料纖維帶纏繞成型過(guò)程中的張力波動(dòng)嚴(yán)重影響纏繞制品的各種性能指標(biāo)。針對(duì)力矩電機(jī)對(duì)系統(tǒng)外部擾動(dòng)及內(nèi)部參數(shù)變化的敏感性以及摩擦和測(cè)量噪聲等因素對(duì)張力控制精度及系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響，設(shè)計(jì)了一種基于魯棒擴(kuò)展卡爾曼濾波器的模糊PID控制（REKF-FPID）策略。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與傳統(tǒng)模糊PID控制（FPID）相比，REKF-FPID具有較強(qiáng)的抗干擾性和魯棒性，其可將纏繞張力的控制精度提高40%～42%。

復(fù)合材料；纏繞張力；魯棒擴(kuò)展卡爾曼濾波；模糊PID控制；張力控制

0 引言

纖維帶纏繞工藝中所使用材料的性能、成型工藝參數(shù)及纏繞時(shí)環(huán)境的變化都會(huì)使纖維帶纏繞成型過(guò)程的狀態(tài)發(fā)生變化，從而影響產(chǎn)品的最終性能，其中工藝參數(shù)對(duì)纖維帶纏繞制品質(zhì)量的影響最為明顯[1]。纏繞張力是指在纖維帶上施加的正張力，通過(guò)熱壓輥的加熱碾壓來(lái)實(shí)現(xiàn)，其主要作用有：使預(yù)浸膠纖維帶層間加壓粘接、驅(qū)除氣泡；提高纖維層間的粘接強(qiáng)度和制品的致密度；保持粘接層纖維帶的平順[2]。

氣動(dòng)系統(tǒng)連續(xù)可調(diào)、輸出張力范圍大且對(duì)環(huán)境無(wú)污染，其在復(fù)合材料纏繞成型控制系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用。何曉東等[3]基于自適應(yīng)灰色預(yù)測(cè)模糊PID控制器設(shè)計(jì)了復(fù)合材料布帶纏繞張力的精密氣動(dòng)控制?；跉鈮簜鲃?dòng)系統(tǒng)，Rudd和Zhao等分別設(shè)計(jì)了復(fù)合材料纖維帶氣動(dòng)施力機(jī)構(gòu)[4,5]。

本文提出了基于魯棒擴(kuò)展卡爾曼濾波器的在線優(yōu)化模糊PID控制器（REKF-FPID）。REKF是將擴(kuò)展卡爾曼濾波器（EKF）與魯棒預(yù)估技術(shù)相結(jié)合，使得EKF具有一定的魯棒性。然后，采用REKF對(duì)模糊PID控制器（FPID）的輸入輸出隸屬函數(shù)進(jìn)行在線優(yōu)化，從而使得系統(tǒng)的控制誤差函數(shù)最小化。與傳統(tǒng)FPID相比，本文所設(shè)計(jì)的控制器具有較高的控制精度和較強(qiáng)的魯棒性。

1 纏繞張力控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模

纖維帶纏繞張力控制系統(tǒng)如圖1所示，其主要由控制器、執(zhí)行元件、檢測(cè)裝置以及輔助裝置等構(gòu)成。運(yùn)動(dòng)小車(chē)主要起夾具的作用。采用力矩電機(jī)控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)的啟動(dòng)、停止、進(jìn)給和給纖維帶施加阻力矩等。采用張力傳感器實(shí)時(shí)檢測(cè)纖維帶張力，并通過(guò)前置放大器，濾波器和A/D轉(zhuǎn)換等元件對(duì)張力進(jìn)行實(shí)時(shí)反饋。利用帶卷直徑測(cè)量機(jī)構(gòu)實(shí)時(shí)測(cè)量帶盤(pán)直徑變化，通過(guò)電位計(jì)及信號(hào)處理電路對(duì)所測(cè)直徑進(jìn)行反饋，從而為張力控制系統(tǒng)提供精確的數(shù)學(xué)模型。工控機(jī)是張力控制系統(tǒng)的核心部件，其主要完成纏繞過(guò)程的控制，協(xié)調(diào)各部件的運(yùn)動(dòng)，具有分析，運(yùn)算和實(shí)時(shí)處理等功能。

圖1 纏繞張力控制系統(tǒng)

力矩電機(jī)的傳遞函數(shù)為：

其中，Ua為輸入電壓，Ra為電樞電阻，La為電樞電感，Ia為電樞電流，Ic為感應(yīng)電流，Cm為電機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)，為電機(jī)磁通量，M為輸出轉(zhuǎn)矩。

當(dāng)力矩電機(jī)輸出一定時(shí)，帶盤(pán)半徑的變化將導(dǎo)致纖維帶所受張力隨之改變。因此必須對(duì)帶盤(pán)卷徑進(jìn)行實(shí)時(shí)檢測(cè)，為控制系統(tǒng)提供實(shí)時(shí)精確的數(shù)學(xué)模型以提高張力的控制精度，帶卷直徑測(cè)量機(jī)構(gòu)如圖2(a)所示。

考慮到L＞＞AB，則有tanθ=BC/OB，BC≈Rmax-R(t), OB=L，即θ=arctan[(Rmax-R(t))/L]，其中，L為桿件OB的長(zhǎng)度，R(t)為帶卷的實(shí)時(shí)半徑。設(shè)齒輪系統(tǒng)的總傳動(dòng)比為i，則小齒輪的轉(zhuǎn)角可表示為由電位計(jì)原理其中，U和Us分別為電位計(jì)的輸出電壓和供電電壓為電位計(jì)轉(zhuǎn)角范圍。由以上可得：

當(dāng)小車(chē)向芯模送帶時(shí)，電位計(jì)開(kāi)始測(cè)量帶盤(pán)的實(shí)時(shí)半徑。電位計(jì)電壓的變化實(shí)時(shí)反應(yīng)帶盤(pán)半徑的變化，隨著半徑逐步減小，輥?zhàn)幼罱K返回C點(diǎn)，此時(shí)電位計(jì)電壓為零。小車(chē)隨后退回到起始位置，輥?zhàn)臃祷谺點(diǎn)。

張力測(cè)量系統(tǒng)包括測(cè)力機(jī)構(gòu)，張力傳感器和前置放大器三部分，如圖2(b)所示。設(shè)F為作用在張力傳感器上的張力，則T2=F/2，由于傳感器的輸出電壓可以極快地跟蹤輸入信號(hào)，因此，其可視為比例環(huán)節(jié)。前置放大器主要是對(duì)傳感器的輸出信號(hào)進(jìn)行放大并去除噪聲，此外還要具有濾波作用，這里采用有較大阻尼的二階巴特沃次低通濾波器，其傳遞函數(shù)為：

圖2 測(cè)量系統(tǒng)

式中，K3和K6分別為張力傳感器常數(shù)和低通濾波器常數(shù)。

以纖維帶帶盤(pán)為研究對(duì)象，其動(dòng)態(tài)力矩平衡方程為：

式中，M（Nm）為電機(jī)阻力矩，T2（N）為纖維帶拉力，R（m）為帶盤(pán)的實(shí)時(shí)半徑，Mf（Nm）為粘性摩擦力矩，J（kgm2）為帶盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，v（rad/s）帶的線速度，M0（Nm）為干性摩擦力矩。

由式(4)可知，其為復(fù)雜的多變量時(shí)變系統(tǒng)，為了便于控制器的設(shè)計(jì)，需對(duì)被控對(duì)象模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。纏繞系統(tǒng)中干性和粘性摩擦力矩很小，因此，Mf和M0可以忽略不計(jì)；帶的瞬時(shí)慣量變化極小，可忽略（dJ/dt）（v/R）對(duì)張力的影響；假定纏繞過(guò)程中帶盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒定。則方程(4)可簡(jiǎn)化為：

考慮到纖維帶的彈性及導(dǎo)輪摩擦等因素，需對(duì)方程(5)進(jìn)行補(bǔ)充。設(shè)纖維帶密度和長(zhǎng)度分別為ρ和Lb（帶盤(pán)中心到張力檢測(cè)中心之間的長(zhǎng)度），恒線速度纏繞時(shí)，若忽略帶與導(dǎo)輪間的摩擦力，則帶上張力處處相等，即T1=T2。當(dāng)帶作加速或減速運(yùn)動(dòng)時(shí)（纏繞開(kāi)始或結(jié)束時(shí)），由于彈力的存在，帶上各處張力均不相同，則有：

設(shè)纏繞系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)加速度為α，則有：

由以上各環(huán)節(jié)可得纏繞張力控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，如圖3所示，其為復(fù)雜的多回路反饋系統(tǒng)，包括帶盤(pán)半徑測(cè)量及張力檢測(cè)，視感應(yīng)電流為系統(tǒng)干擾。

圖3 纏繞張力控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

2 REKF-FPID控制器設(shè)計(jì)

2.1 FPID控制器設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)PID控制的時(shí)域表達(dá)式為：

式中，e(t)為控制誤差，de(t)為誤差變化率，u為電機(jī)控制信號(hào)，Kp為比例增益，Ki為積分增益，Kd為微分增益。

傳統(tǒng)PID控制難以適應(yīng)纖維帶纏繞張力控制系統(tǒng)復(fù)雜多變的工況，這里采用模糊控制對(duì)PID控制參數(shù)Kp，Ki和Kd按下式進(jìn)行調(diào)節(jié)。

式中，Ua為模糊控制器輸出，ΔKa=Kamax-Kamin為Ka的允許偏差。Kamin和Kamax分別為通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到的Ka的最小值和最大值。

模糊控制器的兩個(gè)輸入變量分別為張力控制誤差的絕對(duì)值|e(t)|和誤差變化率的絕對(duì)值|de(t)|。輸入變量的范圍為[0,1]，其由輸入變量的絕對(duì)值和針對(duì)該張力控制系統(tǒng)所選量化因子的大小決定[6]。為了保證模糊控制的簡(jiǎn)單性和PID控制的平滑性，兩個(gè)輸入變量均采用5個(gè)三角形隸屬函數(shù)，其表達(dá)式如式(10)所示。5個(gè)隸屬函數(shù)對(duì)應(yīng)的模糊集合{Z,V,S,M,B}表示{零,很小,小,中,大}，初始化設(shè)置使5個(gè)隸屬函數(shù)全等，且重心間距相等，如圖4(a)所示。

圖4 模糊變量的隸屬函數(shù)

三個(gè)獨(dú)立模糊控制器的輸出分別為Up,Ui和Ud。對(duì)輸入變量的模糊集合利用MAX-MIN算子進(jìn)行聚合運(yùn)算，通過(guò)控制規(guī)則進(jìn)行推理，最終采用重心法進(jìn)行解模糊計(jì)算可得控制器的輸出結(jié)果。模糊控制器的輸出可通過(guò)式(11)進(jìn)行計(jì)算。

式中，wv為控制輸出的權(quán)重，M為輸出變量模糊集合的數(shù)目，mf(wv)為模糊輸出函數(shù)，其表達(dá)式如下：

式中，δij為激活因子，當(dāng)|e(t)|處于第i個(gè)模糊集合，|de(t)|處于第j個(gè)模糊集合時(shí)，其被激活。

模糊控制器的輸出Ua為單值，設(shè)置輸出值的初始間隔相同，如圖4(b)所示。由模糊輸入輸出變量及相應(yīng)的隸屬函數(shù)，可得如表1所示的模糊控制規(guī)則。

表1 模糊控制規(guī)則

定義控制誤差函數(shù)為：

式中，yr和y分別為系統(tǒng)指定張力和系統(tǒng)實(shí)際輸出張力。

2.2 REKF設(shè)計(jì)

本文所設(shè)計(jì)纏繞張力控制器的目的為通過(guò)調(diào)節(jié)隸屬函數(shù)的參數(shù)使得控制誤差函數(shù)最小化。通過(guò)EKF來(lái)調(diào)節(jié)輸入變量隸屬函數(shù)的形狀和位置以及輸出變量的權(quán)重，即不斷自動(dòng)更新和wv來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)FPID控制器的在線優(yōu)化。

設(shè)系統(tǒng)在tk(k=1,2,…)時(shí)刻的狀態(tài)向量為xk，則系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間的變化可用如下隨機(jī)微分方程表述[7]。

系統(tǒng)的觀測(cè)向量yk為：

式中，g(·)與h(·)為關(guān)于狀態(tài)變量xk連續(xù)、可微的多元向量函數(shù)；qk與vk分別表示過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲。Qk為過(guò)程噪聲的協(xié)方差，Rk為測(cè)量噪聲的協(xié)方差。假定初始狀態(tài)x0和噪聲qk, vk均服從白色零均值高斯分布，且相互獨(dú)立。

考慮到噪聲qk, vk為加性高斯白噪聲序列，則EKF得到的是一個(gè)近似解析解。狀態(tài)方程和觀測(cè)方程可按(18)進(jìn)行線性化。

REKF的系統(tǒng)模型可近似表示為：

時(shí)間更新方程為：

測(cè)量更新方程為：

式中，Kk為卡爾曼增益矩陣，其表達(dá)式如下：

2.3 REKF-FPID控制器設(shè)計(jì)

采用REKF對(duì)三個(gè)獨(dú)立模糊控制器的參數(shù)分別進(jìn)行調(diào)節(jié)，控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 基于REKF-FPID的張力控制器

REKF-FPID張力控制器的狀態(tài)向量可表示為：

狀態(tài)向量x中的元素可表示為：

式中，n, m分別為兩個(gè)輸入變量的三角形隸屬函數(shù)的數(shù)目。

根據(jù)式(10)給出的輸入變量隸屬函數(shù)的定義可知，每個(gè)輸入變量最多落在兩個(gè)隸屬函數(shù)的重疊區(qū)域，此時(shí)，稱(chēng)該隸屬函數(shù)被激活。這樣，兩個(gè)輸入變量最多激活4個(gè)不同的隸屬函數(shù)，由排列組合原理可知，最多有4條控制規(guī)則被激活，這4條控制規(guī)則分別對(duì)應(yīng)4個(gè)輸出量。因此，式(24)可簡(jiǎn)化為：

y表示系統(tǒng)實(shí)際輸出，h(x)表示系統(tǒng)輸出的目標(biāo)向量?；赗EKF的非線性系統(tǒng)模型可以表示為：

式中，h(xk)表示系統(tǒng)輸出與模糊參數(shù)集合的映射關(guān)系。此外，將噪聲qk和vk加入系統(tǒng)模型可以避免算法的數(shù)值發(fā)散和局部極小值問(wèn)題。

由式(16)～式(17)可知，Qk為對(duì)角協(xié)方差矩陣，其可表示為：

Qk中的元素可表示為：

對(duì)于該FPID控制的狀態(tài)向量，式(18)所示的測(cè)量函數(shù)可通過(guò)對(duì)參數(shù)a,b-,b+,wk求偏導(dǎo)來(lái)計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果代入REKF的方程來(lái)更新控制器。

3 仿真分析與試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 仿真分析

基于所建立的纖維帶纏繞張力控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，對(duì)所設(shè)計(jì)的REKF-FPID控制算法進(jìn)行仿真分析，以檢驗(yàn)算法的自適應(yīng)性、抗干擾性和魯棒性。PID控制參數(shù)的初始值分別取Kp=1.5，Ki=1.0，Kd=0.01，采樣時(shí)間為0.02s，纏繞張力設(shè)定值為50N?；诋?dāng)前控制誤差，當(dāng)前狀態(tài)向量和當(dāng)前信息，REKF可以直接估計(jì)FPID控制器下一步的理想狀態(tài)向量。然后，隸屬函數(shù)和模糊規(guī)則同時(shí)在線更新可使得系統(tǒng)誤差函數(shù)取得最小值。圖6(a)和圖6(c)分別為基于FPID和REKF-FPID的纏繞張力跟蹤響應(yīng)，由圖6(b)和圖6(d)可知，其控制誤差分別為4.095N和2.125N，即REKF-FPID將張力控制精度提高了48.1%。

圖6 纏繞張力控制系統(tǒng)仿真結(jié)果

3.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

纏繞張力控制系統(tǒng)采用全閉環(huán)控制，閉環(huán)回路的輸入包括：張力傳感器、功率放大器、濾波板、PCL 812PG數(shù)據(jù)采集卡；控制部分采用IPC-810-H研華工控機(jī)；輸出部分包括：PWM板和功率放大板；執(zhí)行機(jī)構(gòu)為力矩電機(jī)。在實(shí)驗(yàn)前要對(duì)A/D、D/A轉(zhuǎn)換板、功率放大器、張力傳感器等硬件設(shè)備進(jìn)行初始化設(shè)置。圖7(a)和圖7(c)分別為基于FPID和REKF-FPID的纏繞張力跟蹤響應(yīng)，由圖7(b)和圖7(d)可知，其控制誤差分別為4.003N和2.298N，即REKF-FPID將張力控制精度提高了42.6%。對(duì)比可知，試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果基本吻合，由此證明了所設(shè)計(jì)的REKF-FPID控制算法的有效性和可行性。

圖7 纏繞張力控制系統(tǒng)試驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié)論

針對(duì)復(fù)合材料纖維帶纏繞張力控制系統(tǒng)中各種非線性和不確定性因素對(duì)控制精度的影響，本文設(shè)計(jì)了REKF-FPID控制器，其中，隸屬函數(shù)的形狀和位置可通過(guò)REKF算法進(jìn)行實(shí)時(shí)在線調(diào)節(jié)，從而使控制器具有良好的控制性能和較高的控制精度。與FPID控制相比，本文所設(shè)計(jì)的控制器具有良好的跟蹤性能及較強(qiáng)的魯棒性和抗干擾性。

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Tension system design for the composites winding based on REKF-FPID control

DONG Gui-rong

TP273

：A

1009-0134(2017)01-0018-06

2016-09-07

董貴榮（1983 -），女，山東招遠(yuǎn)人，講師，碩士，主要從事數(shù)控機(jī)床及模具制造等方面的教學(xué)和科研工作。