張 敏，謝玉林，雷 林，賴宇陽

(1.上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240；2.重慶交通大學(xué) 航運(yùn)與船舶工程學(xué)院，重慶 400074；3.樹優(yōu)信息技術(shù)有限公司，北京 100062)

基于XFlow的渦激振動(dòng)壓電能量收集數(shù)值研究

張 敏1，2，謝玉林2，雷 林2，賴宇陽3

(1.上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240；2.重慶交通大學(xué) 航運(yùn)與船舶工程學(xué)院，重慶 400074；3.樹優(yōu)信息技術(shù)有限公司，北京 100062)

基于格子波爾茲曼無網(wǎng)格方法，利用XFlow對(duì)低質(zhì)量阻尼比的單圓柱進(jìn)行了渦激振動(dòng)的數(shù)值模擬，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。利用XFlow與OpenModelica建立流-機(jī)-電耦合計(jì)算模型求解渦激振動(dòng)與高斯定律聯(lián)立方程，對(duì)渦激振動(dòng)壓電能量收集進(jìn)行了數(shù)值分析，得到不同電阻下的電壓及功率輸出。通過對(duì)振幅及電壓時(shí)程曲線的比較得到兩者相位差的變化規(guī)律。結(jié)果表明：輸出電壓隨著電阻的增大而增大，輸出功率在特定來流速度和電阻時(shí)最大。

機(jī)電工程；XFlow；渦激振動(dòng)；低質(zhì)量阻尼比；壓電能量收集

0 引 言

渦激振動(dòng)的研究已經(jīng)有幾十年的歷史，針對(duì)剛性圓柱的渦激振動(dòng)問題，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者給出了大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析模型，C.H.K.WILLIAMSON等[1]對(duì)渦激振動(dòng)研究進(jìn)行了總結(jié)和分析，并指出鈍體的不同響應(yīng)模式?jīng)Q定于質(zhì)量阻尼系數(shù)，較低的質(zhì)量阻尼系數(shù)具有更大的共振范圍以及更高的振幅，這一特性更有利于進(jìn)行渦激振動(dòng)的能量收集。

壓電能量收集技術(shù)是近年來研究的熱點(diǎn)，眾多學(xué)者對(duì)不同壓電換能裝置的能量收集進(jìn)行了研究[2-3],H.D.AKAYDIN等[4]對(duì)一個(gè)直徑為19.8 mm的空心圓柱加單懸臂梁壓電裝置進(jìn)行了風(fēng)洞試驗(yàn)研究，獲得最大功率為0.1 mW。E. MOLINO-MINERO-RE[5]對(duì)一系列圓柱加單懸臂梁壓電裝置進(jìn)行了水槽渦激振動(dòng)能量收集試驗(yàn)，圓柱直徑為8 mm時(shí)獲得最大功率為0.31 μW。A. MEHMOOD等[6]對(duì)低雷諾數(shù)、高質(zhì)量比的渦激振動(dòng)壓電能量收集進(jìn)行了計(jì)算，獲得的最大功率為10 μW。王軍雷等[7]使用OpenFOAM對(duì)帶有壓電懸臂梁的圓柱及方柱的渦激振動(dòng)問題進(jìn)行了研究，并與試驗(yàn)進(jìn)行了對(duì)比，指出升力系數(shù)隨風(fēng)速單調(diào)遞增，圓柱與方柱發(fā)生鎖定的速度不同。之后將開路電壓方程與渦激振動(dòng)方程耦合，分析了低雷諾數(shù)下電壓的輸出特性，當(dāng)U*=5.6時(shí)，開路電壓為8.42 V[8]。針對(duì)負(fù)載電阻R的研究表明，當(dāng)R為特定值時(shí)，系統(tǒng)的分流阻尼最大，系統(tǒng)可以獲得最高的輸出功率[9]。文獻(xiàn)[10]對(duì)置于鈍體后的PVDF懸臂梁進(jìn)行了數(shù)值研究，研究的重點(diǎn)是PVDF懸臂梁的大變形流固耦合計(jì)算問題，機(jī)電耦合跟流固耦合采用了分步計(jì)算，對(duì)鈍體與懸臂梁的距離對(duì)輸出電壓的影響進(jìn)行了分析。

設(shè)計(jì)了一種雙壓電懸臂梁裝置，用來收集渦激振動(dòng)的能量。首先使用XFlow進(jìn)行了圓柱渦激振動(dòng)的驗(yàn)證計(jì)算，之后利用XFlow與OpenModelica建立了渦激振動(dòng)壓電耦合計(jì)算模型，計(jì)算系統(tǒng)的能量收集特性及參數(shù)影響。

1 渦激振動(dòng)數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證

XFlow基于無網(wǎng)格/格子波爾茲曼方法(LBM, lattice boltzmann method)，用介觀模型來模擬流體宏觀行為，具有易于使用、無需網(wǎng)格、高效并行、邊界條件處理簡(jiǎn)單、模擬精確等特點(diǎn)。其內(nèi)置的結(jié)構(gòu)求解器，以自然的方式允許完全的流固耦合分析。筆者使用XFlow進(jìn)行圓柱渦激振動(dòng)計(jì)算，計(jì)算域見圖1。

圖1 計(jì)算域(單位：m)Fig.1 Computational region

圓柱渦激振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為：

(1)

式中：m為圓柱質(zhì)量；c為阻尼；k為剛度。各無量綱參數(shù)見表1。

表1 無量綱參數(shù)

計(jì)算參數(shù)選取如下：圓柱的直徑D=0.01 m，質(zhì)量比m*=1.19，固有頻率fn=10 Hz，折合速度范圍U*=4.0～20.0，雷諾數(shù)范圍Re=4 000～20 000，水密度ρ=1 000 kg/m3，動(dòng)力黏度系數(shù)μ=0.001 Pa·s，阻尼比ξ=0.005 02，計(jì)算域?yàn)?.2 m×0.4 m，坐標(biāo)原點(diǎn)位于圓柱中心處，距離上游出口0.4 m，距離下游出口0.8 m，如圖1。

將XFlow數(shù)值計(jì)算得到的振幅比、頻率比隨折合速度的變化規(guī)律R.GOVARDHAN & WILLIAMSON[11]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖2，圖3。當(dāng)U*在3～6，XFlow模擬得到的振幅和頻率偏高；當(dāng)折合速度在6～9，XFlow模擬得到的振幅符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果并在折合速度為7.8時(shí)達(dá)到最大振幅比A*≈1，而頻率相對(duì)偏低；當(dāng)折合速度在9～12，XFlow模擬得到的振幅下降幅度與實(shí)驗(yàn)結(jié)果保持一致；當(dāng)折合速度在12～16，振幅基本保持不變；在此之后，振幅繼續(xù)呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，頻率繼續(xù)上升。計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得很好，結(jié)果表明XFlow可以很好地對(duì)低質(zhì)量比，高雷諾數(shù)的圓柱渦激振動(dòng)進(jìn)行模擬。

圖2 振幅比隨折合速度的變化規(guī)律對(duì)比Fig.2 Comparison of the variations of the amplitude ratio with the reduced velocity

圖3 頻率比隨折合速度的變化規(guī)律對(duì)比Fig.3 Comparison of the variations of the frequency ratio with the reduced velocity

2 渦激振動(dòng)能量收集

2.1 物理模型

筆者設(shè)計(jì)的能量收集裝置是將兩個(gè)壓電懸臂梁固定到圓柱的橫向位移自由度方向上，能量收集裝置的原理如圖4。其中c為系統(tǒng)的阻尼，k為系統(tǒng)剛度，y(t)為圓柱橫向位移，Rl為等效負(fù)載電阻，U為來流速度。圓柱將在流場(chǎng)中產(chǎn)生的振動(dòng)來帶動(dòng)壓電懸臂梁振動(dòng)產(chǎn)生電荷。壓電能量收集裝置的結(jié)構(gòu)圖以及電路連接如圖5，圖6。

圖4 壓電能量收集裝置示意Fig.4 Schematic of the piezoelectric energy harvester

圖5 壓電能量收集裝置Fig.5 Energy harvesting system with circuit,Fig.6

圖6 壓電懸臂梁剖視圖Fig.6 cross-sectional view of a bimorph cantilever

2.2 數(shù)學(xué)模型

該系統(tǒng)的控制方程為彈性支撐的剛性圓柱振動(dòng)與高斯公式[12]的耦合方程：

(2)

(3)

式中：θ為有效機(jī)電耦合系數(shù)；R為等效負(fù)載電阻；C為壓電層的等效電容；V為等效負(fù)載電阻的電壓。

上述參數(shù)的表達(dá)式為[13]

θ=2θp=e31(hp+hs)b

(4)

R=Rl

式中：Cp為單壓電層的電容；θp為單個(gè)雙晶懸臂梁的機(jī)電耦合系數(shù)；Rl為負(fù)載電阻；e31為壓電常數(shù)；ε0為真空電容率；εr為相對(duì)電容率；hp，b和L分別代表壓電層的厚、寬和長(zhǎng)；hs為基層的高度。

在開路電壓的分析中，令R=∞，由式(3)可得圓柱橫向位移與開路電壓Voc之間的關(guān)系：

(5)

開路時(shí)壓電耦合可在形式上看成在原結(jié)構(gòu)中附加了一個(gè)剛度項(xiàng)：

(6)

對(duì)于有負(fù)載電阻的情況，筆者使用XFlow與OpenModelica進(jìn)行耦合計(jì)算。由XFlow計(jì)算圓柱所受的流體激振力F(t), OpenModelica編制的程序用來求解方程(2)、方程(3)，并將計(jì)算得到的圓柱位移y傳回XFlow。對(duì)于開路情況，根據(jù)公式(6)在XFlow中設(shè)置渦激振動(dòng)方程進(jìn)行計(jì)算。

3 渦激振動(dòng)能量收集計(jì)算

能量收集計(jì)算中，系統(tǒng)機(jī)電耦合系數(shù)θ=2.022e-4(V/N)，單壓電層電容Cp=6.130e-8(F)。

圖7，圖8為帶不同負(fù)載電阻與不帶壓電的振幅比與頻率比變化規(guī)律的對(duì)比圖。選取負(fù)載電阻分別為R=1e7 Ω，R=2e5 Ω，R=1e3 Ω。結(jié)果表明開路時(shí)系統(tǒng)的振幅與不帶壓電時(shí)的基本一致，頻率比也沒有顯著的變化，由式(6)可知開路計(jì)算時(shí)，只是在方程中增加了一個(gè)較小的剛度項(xiàng)，因此系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)沒有明顯變化是合理的。當(dāng)有電路連接負(fù)載電阻時(shí)，3個(gè)不同電阻的振幅在共振區(qū)域有不同程度的降低。當(dāng)R=1e7 Ω時(shí)，最大振幅比A*=0.95；當(dāng)R=2e5 Ω時(shí)，最大振幅比A*=0.9；當(dāng)R=1e3 Ω時(shí)，最大振幅比A*=0.92。壓電效應(yīng)對(duì)本系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)的影響不強(qiáng)，振幅比與頻率比分布規(guī)律相同。

圖7 不同負(fù)載電阻時(shí)的振幅比曲線Fig.7 Amplitude ratio curves for different values of load resistance

圖8 不同負(fù)載電阻時(shí)的頻率比曲線Fig.8 Frequency ratio curves for different values of load resistance

若假設(shè)圓柱的振動(dòng)為正弦振動(dòng)：

y(t)=A× sin ωt

(7)

式中：ω為振動(dòng)頻率，A為振幅。將式(7)代入式(3)并整理可得：

由式(8)可知負(fù)載電阻的電壓幅值與系統(tǒng)的振幅、頻率、機(jī)電耦合系數(shù)以及壓電裝置等效電容有關(guān)。對(duì)于特定結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)的等效電容及機(jī)電耦合系數(shù)固定，當(dāng)電阻值一定時(shí)，系統(tǒng)振幅及振動(dòng)頻率相對(duì)穩(wěn)定時(shí)，電壓輸出曲線應(yīng)為平滑曲線。圖9～圖12為折合速度為4，8，10，14時(shí)不同電路連接的振幅以及電壓輸出時(shí)程曲線，分別位于鎖定區(qū)域前、中、后的位置。隨著折合速度的增加，振動(dòng)頻率隨之增加，而振幅與電壓先增大后減小。折合速度為4，14時(shí)，振幅并不穩(wěn)定，這與渦街頻率與系統(tǒng)固有頻率差距較大有關(guān)；當(dāng)折合速度為8，10時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)相對(duì)穩(wěn)定，特別在折合速度為10時(shí)，4種情況振幅與電壓的輸出曲線都比較平滑，而其它速度下除了開路情況，3個(gè)電阻的電壓曲線尖峰處都出現(xiàn)不同程度的振蕩。

由式(8)可知，振幅曲線與電壓曲線之間的相位差除了與負(fù)載電阻、振動(dòng)頻率有關(guān)，還與壓電裝置等效電容有關(guān)。由圖9，當(dāng)折合速度為4時(shí)，開路情況下振幅曲線與電壓曲線反相；R=1e7 Ω時(shí)，相位差約為0.009 πrad;R=2e5 Ω時(shí)，相位差約為0.31 πrad;R=1e3 Ω時(shí)，相位差約為0.5π rad。綜合圖9～圖12可知：開路情況下，電阻無窮大，振幅與電壓僅是反相；有負(fù)載電阻時(shí)，隨著電阻的增大，相位差減??；同一電阻時(shí)，隨著折合速度的增大或者振動(dòng)頻率的提高，相位差減小。

圖9 U*=4時(shí)振幅和電壓時(shí)程曲線Fig.9 Amplitude and voltage time traces when U*=4

圖10 U*=8時(shí)振幅和電壓時(shí)程曲線Fig.10 Amplitude and voltage time traces when U*=8

圖11 U*=10時(shí)振幅和電壓時(shí)程曲線Fig.11 Amplitude and voltage time traces when U*=10

圖12 U*=14時(shí)振幅和電壓時(shí)程曲線Fig.12 Amplitude and voltage time traces when U*=14

開路以及3種負(fù)載電阻情況下，電壓隨折合速度的變化曲線如圖13。折合速度為8時(shí)，即圓柱的振幅達(dá)到最大時(shí)，系統(tǒng)所產(chǎn)生的電壓也最大，且隨著電阻增大，電壓也增大。當(dāng)電阻R=1e7 Ω時(shí)電壓與開路電壓已較為接近；當(dāng)電阻R=2e5 Ω時(shí)，最大電壓由開路的32.5 V降低為21 V。

圖13 不同負(fù)載電阻時(shí)的電壓曲線Fig.13 Voltage curves for different values of load resistance

圖14 不同負(fù)載電阻時(shí)的功率曲線Fig.14 Power curves for different values of load resistance

從圖14可知系統(tǒng)電阻過大或電阻過小都會(huì)使功率減小，當(dāng)電阻R=2e5 Ω時(shí)功率達(dá)到最大值2 205 μW。這是由于負(fù)載電阻要與壓電材料的阻抗相匹配才能得到最高的輸出功率[14]，因此在一個(gè)較窄的頻率范圍內(nèi)，最大功率輸出并不出現(xiàn)在輸出電壓最高的負(fù)載電阻上，而是有一個(gè)最佳負(fù)載電阻。

4 結(jié) 論

采用流體力學(xué)模擬軟件XFlow對(duì)低質(zhì)量比、高雷諾數(shù)下二維圓柱的渦激振動(dòng)進(jìn)行數(shù)值模擬，并與國(guó)外實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，然后計(jì)算了不同負(fù)載時(shí)的圓柱渦激振動(dòng)壓電能量收集情況，研究了不同負(fù)載下系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)以及電壓、功率輸出情況，得到如下結(jié)論：

1)根據(jù)Govardhan & Williamson實(shí)驗(yàn)參數(shù)對(duì)質(zhì)量比為1.19，直徑d為0.01 m的單圓柱在高雷諾數(shù)環(huán)境下進(jìn)行了渦激振動(dòng)的數(shù)值模擬，計(jì)算得到的振幅-速度曲線與實(shí)驗(yàn)吻合，振動(dòng)圓柱振幅峰值出現(xiàn)的位置基本一致，說明利用XFlow對(duì)圓柱渦激振動(dòng)進(jìn)行數(shù)值模擬是可行的。

2)通過對(duì)帶壓電裝置和不帶壓電裝置圓柱進(jìn)行模擬，并將兩種情況下的圓柱渦激振動(dòng)響應(yīng)特性進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)帶壓電圓柱與不帶壓電圓柱的振幅及頻率基本保持一致，只在有負(fù)載電阻時(shí)，振幅有較小的減少。說明本系統(tǒng)的壓電效應(yīng)對(duì)圓柱渦激振動(dòng)的影響較小，在該系統(tǒng)中進(jìn)行能量收集比較穩(wěn)定。

3)通過對(duì)振幅及電壓時(shí)程曲線的比較分析得到：開路情況下，振幅與電壓反相；有負(fù)載電阻時(shí)，隨著電阻的增大，相位差減?。煌浑娮钑r(shí)，隨著折合速度的增大或者振動(dòng)頻率的提高，相位差減小。

4)使用XFlow與OpenModelica建立了渦激振動(dòng)壓電能量收集的流-機(jī)-電耦合模型，得到了系統(tǒng)在不同負(fù)載電阻的工況下，振幅、頻率、電壓、功率隨速度的變化規(guī)律。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在負(fù)載電阻R=2e5 Ω，折合速度為7.8時(shí)系統(tǒng)獲得最高的輸出功率為2 205 μW。

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(責(zé)任編輯 朱漢容)

Numerical Research of Piezoelectric Energy Harvesting from VIV Based on XFlow

ZHANG Min1，2，XIE Yulin2，LEI Lin2，LAI Yuyang3

(1. School of Mechanical Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240，P.R.China;2. Shipping and Marine Engineering College, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074，P.R.China;3. Soyotec Limited, Beijing 100062，P.R.China)

The VIV numerical simulations of a circular cylinder with low mass damping ratio is done by using XFlow based on lattice Boltzmann meshless method. The numerical results are in good agreement with the experimental results. The fluid-mechanical-electric coupled model is established in XFlow and OpenModelica to solve the VIV and Gauss simultaneous equations. The output voltage and power of different values of load resistance are obtained through the numerical analysis. The change rule of the phase difference between the amplitude and voltage is obtained through comparing the amplitude and voltage time traces. The results show that the output voltage increased with the resistance load, the maximum output power can be obtained at a certain stream velocity and load resistance.

electromechanical engineering; XFlow; VIV; low mass damping ratio; piezoelectric energy harvesting

10.3969/j.issn.1674-0696.2017.01.19

2015-09-12；

2015-12-15

重慶市社會(huì)民生科技創(chuàng)新專項(xiàng)項(xiàng)目(cstc2015shmszx30031)；重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(KJ1705142)；重慶交通大學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)改革與研究基金項(xiàng)目(syjg201513)

張 敏(1982—)，男，山東人，講師，博士研究生，主要從事計(jì)算流體力學(xué)、能量收集方面的工作。E-mail: zhangmin@cqjtu.edu.cn。

U661.1；TK 79；TN 384

A

1674-696(2017)01-103-07