任龍華

(江蘇省海安縣大公初中 226600)

初中數(shù)學(xué)教材中有不少關(guān)于直角三角形的相關(guān)知識(shí)，如直角三角形的兩個(gè)銳角互余、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理和逆定理、利用三角函數(shù)解直角三角形、圓周角的推論和直角三角形全等或者相似的判定等等.其中，解決直角三角形問題常見的途徑有勾股定理、直線解析式法和構(gòu)造相似三角形等.下面就一些就有關(guān)直角三角形的一些常見題型加以解析說明，與同行們進(jìn)行探討．

一、運(yùn)用勾股定理解決相關(guān)直角三角形問題

問題1 在Rt△ABC中，AC=3,BC=4,當(dāng)AB等于多少時(shí)，△ABC為直角三角形．

點(diǎn)評本題主要考查了初中數(shù)學(xué)中的勾股定理知識(shí)和分類討論的數(shù)學(xué)思想．勾股定理可以解決直角三角形的一些邊長問題，在現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．同時(shí)，此題要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)審題，弄清楚題意，要分情況加以討論，防止學(xué)生遺漏，只考慮一種情況．

二、運(yùn)用直線解析式法解決有關(guān)直角三角形問題

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊第十四章《正比例函數(shù)》中，通過直線平移，對其解析式的變化規(guī)律，我們可以得出結(jié)論：當(dāng)直線互相平行時(shí)，它們的解析式中的k相等；再進(jìn)一步的觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩條直線互相垂直時(shí)，它們解析式中的k互為負(fù)倒數(shù)，即k1·k2=-1．利用此規(guī)律，我們就可以解決一些有關(guān)的直角三角形或者垂直的相關(guān)問題．

解析我們注意到本題中，直線CD⊥AB，如果它們的直線解析式中的k分別為：k1、k2，我們利用規(guī)律則有k1·k2=-1，從而求出k2=-2．進(jìn)而，我們設(shè)直線CD的解析式為y=-2x+b，再將點(diǎn)C(0,-1)代入，求出b=-1，所以直線CD為y=-2x-1．

點(diǎn)評雖然利用直線解析式k1·k2=-1的結(jié)論解決一些直線互相垂直問題或者直角三角形的問題對于初中生不作一般的要求，到了高中的平面解析幾何中就比較常見．但此結(jié)論在人教版教材的書后習(xí)題中出現(xiàn)了，教者一般都作了補(bǔ)充說明，學(xué)生根據(jù)此結(jié)論解決相關(guān)的題型就會(huì)顯得很簡便．

三、通過構(gòu)造相似三角形解決相關(guān)直角三角形問題

盤點(diǎn)各省市近幾年的中考題，通過構(gòu)造相似三角形解決等腰三角形或者直角三角形的問題經(jīng)常會(huì)不斷涌現(xiàn)，常見于求直角三角形未知點(diǎn)的坐標(biāo)等．

問題3 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0,1),B(5,6)，在x軸上找一點(diǎn)C，使△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，則C點(diǎn)坐標(biāo)為多少？

點(diǎn)評通過作輔助線，我們要善于在題目中發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造基本圖形，利用全等三角形或者相似三角形解決問題．從“三垂直型”到“三角相等型”，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)很多直角三角形題目中都具有“三角相等型”，這類題目顯而易見，選擇構(gòu)造相似三角形解題來得方便．本題中以AB中點(diǎn)為圓心，AB為直徑作圓，如果與x軸有交點(diǎn)，那就是C點(diǎn)．

當(dāng)然，對于上面的問題3，解法并不唯一，除了利用構(gòu)造相似三角形來解決以外，我們也可以利用勾股定理、直線解析式或者根據(jù)中點(diǎn)公式再結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識(shí)來解決．

在解決直角三角形相關(guān)的綜合問題時(shí)，有時(shí)這三種不同的方法都可以運(yùn)用，學(xué)生可以根據(jù)具體情況選擇一種比較簡便的方法來解題或者將這三種方法中的某兩種結(jié)合起來使用，使得解題過程更簡便．

問題4 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(-3,0),B(1,0)，過頂點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H．

(1)直接填寫：a=____,b=____,頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為____；

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)D,使得△ACD為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

解析第(1)問中，直接將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得到關(guān)于a、b的方程組，求出a=-1，b=-2，從而得出拋物線的解析式．再根據(jù)拋物線的軸對稱性，把x=-1代入解析式，得到y(tǒng)=4，所以頂點(diǎn)為C(-1,4)．第(2)問，由于題目沒有指明△ACD中哪個(gè)角是直角，所以要分三種情況進(jìn)行討論，而同時(shí)這三種途徑都可以用來解決本題中的直角三角形問題．

最后，方法三：我們還可以構(gòu)造相似三角形來解題．分三種情況：

當(dāng)然，學(xué)生可以從中選擇其中一種的方法解題，或者當(dāng)C點(diǎn)、A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，學(xué)生可以選擇直線解析式法比較簡便，當(dāng)D點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，選擇構(gòu)造相似三角形解題比較簡便，也就是將其中兩種方法結(jié)合起來解題，這樣比較快捷靈活、簡便易懂．

總而言之，對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要進(jìn)行整理和歸納總結(jié)，把知識(shí)的點(diǎn)、線、面結(jié)合起來交織成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，納入自己的知識(shí)體系，以此引領(lǐng)學(xué)生的真正掌握.

[1]劉輝.初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)現(xiàn)狀研究[D]. 武漢：華中師范大學(xué) ,2013.