劉春梅

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從《Fourier analysis: an introduction》談大學(xué)數(shù)學(xué)問題驅(qū)動教學(xué)

劉春梅

（湖南科技學(xué)院 理學(xué)院，湖南 永州 425199）

問題驅(qū)動教學(xué)在國外大學(xué)的課堂和教材中已得到廣泛應(yīng)用。文章以國外優(yōu)秀教材《Fourier analysis: an introduction》為研究對象，從教學(xué)和認(rèn)知兩個角度分析該教材運用問題驅(qū)動達(dá)到了突出教學(xué)主旨，合理教學(xué)安排，促進(jìn)學(xué)生思考，增強實踐環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和促進(jìn)學(xué)生科學(xué)研究等目標(biāo)。這將對今后的大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)和教材編寫等工作產(chǎn)生積極的指導(dǎo)作用。

大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)；問題驅(qū)動；教材

1　引　言

基于問題的學(xué)習(xí)方法（Problem-based learning，PBL）可以追溯到上世紀(jì)60年代的MchMaster大學(xué)，自該大學(xué)首次提出這個概念起就風(fēng)靡整個北美大陸和世界其他高校[1]Barrows和Tamblyn在上世80年代在許多醫(yī)科大學(xué)就已開始提倡含有PBL的課程改革實踐。這種方法強調(diào)以問題為學(xué)習(xí)的起點，而不像傳統(tǒng)教學(xué)那樣先學(xué)習(xí)理論知識再嘗試解決問題。正因如此，這種學(xué)習(xí)方法一經(jīng)提出就受到了各專業(yè)領(lǐng)域教育者的好評，并被廣泛應(yīng)用于其他專業(yè)的教學(xué)和實踐中。李大潛院士于2006 年在文[2]中提出，“除了繼續(xù)有力支持由數(shù)學(xué)家探索數(shù)學(xué)奧秘的好奇心驅(qū)動的數(shù)學(xué)研究之外，還要大力提倡和推動以問題(而不是以文獻(xiàn)) 驅(qū)動的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究”。數(shù)學(xué)教育家張奠宙教授也對問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)教育觀十分推崇，在文[3]中寫道：“問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)教學(xué)，旨在把隱藏在‘冰冷的形式’后面的數(shù)學(xué)思想呈現(xiàn)出來”。

文章將以一本國外優(yōu)秀教材——《Fourier analysis: an introduction》[4]為研究對象，對該教材中理論知識點的有序架構(gòu)，合理安排等各方面所呈現(xiàn)出來的的問題驅(qū)動式教育方法展開研究，并總結(jié)教材編寫的優(yōu)勢特點?！禙ourier analysis: an introduction》是由國際著名的調(diào)和分析大師E.M.Stein 教授（第一作者）為本科生所寫的四本分析學(xué)系列教材之一。E.M.Stein是1999年Wolf獎獲得者，也是一位卓越的教師。至今，他已有兩位學(xué)生獲得了Fields獎。這套教材已在Princeteon大學(xué)和UCLA 等名校中使用多年。一本優(yōu)秀教材不但要適合教師課堂講授，而且要適合學(xué)生自學(xué)。教師課堂講授的知識主線脈絡(luò)和學(xué)生課外自學(xué)的思維牽引都應(yīng)當(dāng)源于教材自身知識點的有機組織和系統(tǒng)構(gòu)成。縱觀整本教材，問題驅(qū)動教學(xué)這一主要方法貫穿始終。

2　以問題驅(qū)動開展教學(xué)符合教學(xué)規(guī)律和認(rèn)知規(guī)律

2.1以問題驅(qū)動突出教學(xué)主旨

古人對于科學(xué)研究，稱之為“學(xué)問”?？梢?，古人在學(xué)習(xí)研究過程中非常重視利用“問”這一手段來達(dá)到學(xué)有所得，學(xué)有所成?！皢枴边@一手段既可以是教師的提問，學(xué)生的疑問，還可以是教材讀本的自問。在《Fourier analysis:an introduction》中，“問”這一手段以問題的形式得到了廣泛的應(yīng)用。它經(jīng)常出現(xiàn)在章節(jié)的引言部分，某些個知識點傳授完畢后引出新知識點的階段，定理、推論或性質(zhì)證明的前后等。比如，教材的第2章推論2.3指出，“當(dāng)函數(shù)在圓周上連續(xù)且的Fourier級數(shù)絕對收斂，則該Fourier 級數(shù)一致收斂于”，隨后，作者就提出問題，“什么條件能夠保證的Fourier 級數(shù)絕對收斂?”。又如，在第3章的引言中教材給出了一個關(guān)于Fourier 級數(shù)的逐點收斂性問題，“給定，的Fourier級數(shù)是否收斂于（）?”。這些問題的提出十分清晰地告知學(xué)生本次課程章節(jié)的主旨和線索。學(xué)生會很清楚地認(rèn)識到，接下來的教學(xué)內(nèi)容就是圍繞這些個問題，闡述作者是如何想方設(shè)法去解決這些問題的。這樣做可以使得在教學(xué)活動中避免學(xué)生思想處于一種游離的狀態(tài)，即老師講了半天，寫了一大堆，學(xué)生不知所云，不知道老師在干什么。

2.2以問題驅(qū)動合理安排教學(xué)

俗話說，“萬事開頭難”。為了能使本科學(xué)生能快速適應(yīng)并且掌握Fourier 分析的理論和方法，作者在教材撰寫前對教材內(nèi)容的選擇與安排作了非常深入的思考。在序言中，作者就提出了如何對教材進(jìn)行撰寫和編排的三個基本問題:

（1）從哪里開始講起？

（2）哪些應(yīng)作為最基本的主題？

（3）依什么順序來發(fā)展相關(guān)的概念和基本技巧？

這三個問題的回答實際上就是給出了教材所蘊含知識體系的一個整體性的基本脈絡(luò)。作者依據(jù)Fourier分析在分析學(xué)中的重要作用和它的思想方法如何滲透至現(xiàn)代分析的過程，將教材分為8章，其中第1章介紹Fourier分析的產(chǎn)生，第2-4章講述Fourier級數(shù)的基本性質(zhì)、收斂性和一些應(yīng)用，第6-7章闡述R和Rd上的Fourier變換，第7-8章闡述有限Fourier分析及應(yīng)用。這個基本脈絡(luò)符合Fourier分析的發(fā)展歷史，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的邏輯性和系統(tǒng)性。

它是否能表示成

在學(xué)完第1章后，學(xué)生基本掌握計算函數(shù)的Fourier級數(shù)展開式，很自然地，一個關(guān)于Fourier級數(shù)展開式的唯一性問題“具有相同F(xiàn)ourier系數(shù)的兩個函數(shù)是否相等？”，在第二章前言中被提出。作者以此為契機，馬上提出探討Fourier級數(shù)的部分和，并進(jìn)一步給出Fourier級數(shù)求和的各種計算方法。這些理論恰好作為第2章的組成。有了第1章和第2章的基礎(chǔ)，第3章很自然地會讓學(xué)生想到，下面應(yīng)當(dāng)要解決Fourier級數(shù)的收斂性問題。

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂中各知識點的教學(xué)經(jīng)常帶給學(xué)生的印象是生硬，呆板，沉重和它們之間聯(lián)系太少，有時一些概念，性質(zhì)，定理出現(xiàn)得非常突兀。如果將這些知識點以多個問題的形式表現(xiàn)出來，那么將有助于學(xué)生理清知識點之間的來龍去脈，有助于使知識點展現(xiàn)出層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣等生動、活潑的形象。這種形象也將促使學(xué)生在頭腦中形成一根知識的紅線將各知識點有機的串接和起來，在常期的數(shù)學(xué)訓(xùn)練下將會使學(xué)生更加熟悉和理解的知識架構(gòu)體系，并掌握其所蘊含的數(shù)學(xué)的思想和方法。

2.3以問題驅(qū)動促進(jìn)學(xué)生主動思考

古人早在幾千年前就認(rèn)識到，“授人以魚，不如授人以漁”。它清楚地告訴我們，教師在進(jìn)行教學(xué)活動時，僅僅著眼于具體的知識點傳授，這是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，而應(yīng)當(dāng)教會人如何去做，更深層次的，應(yīng)當(dāng)教會人去思考。同理，一本優(yōu)秀的教材不應(yīng)當(dāng)只是停留在正確表述出本課程的各個理論的表面，也不應(yīng)當(dāng)是作者炫耀技巧的舞臺，而應(yīng)當(dāng)能揭露出該課程數(shù)學(xué)理論與方法的本質(zhì)，將這些理論所蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法能展示出來，即將“冰冷的美麗”的數(shù)學(xué)，還原為對數(shù)學(xué)“火熱的思考”[3]。在國內(nèi)，數(shù)學(xué)之所以難學(xué)，原因主要有兩方面。一是數(shù)學(xué)的理論和方法本身確實有其獨到之處，有些理論不會簡單得讓毫無基礎(chǔ)或基礎(chǔ)不扎實的人迅速理解。另一方面是國內(nèi)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)以及教材大多都沒有能夠最大程度的揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)。例如，國內(nèi)有關(guān)于《高等數(shù)學(xué)》的教材及教輔就有幾千種，但大部分教材都是左抄右抄，或者簡單的改變下順序，很少含有作者自己獨立的思考，甚至有些教材錯誤百出。即使是一些所謂的“十二五”規(guī)劃教材，它們對高等數(shù)學(xué)的知識體系也是停留在平鋪直敘，機械的將知識點進(jìn)行復(fù)述，簡單乏味，毫無樂趣而言。顯然，這無法調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和興趣了，更無法促成學(xué)生展開火熱的思考。

(2) 這個區(qū)域面積的幾何定義是怎樣的？這個定義與本章中（1）相符合嗎?

(3)這些結(jié)果能夠推廣到一般的簡單可求長的閉合曲線類嗎?

另外，在學(xué)生思考的關(guān)鍵時候還應(yīng)當(dāng)給學(xué)生一些適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和幫助，讓學(xué)生體會到通過自身的積極思考并運用知識和技能能夠戰(zhàn)勝困難，從而增強自信心，獲得勝利的體驗和滿足感。

2.4以問題驅(qū)動增強應(yīng)用實踐環(huán)節(jié)

數(shù)學(xué)的推理嚴(yán)格遵循形式邏輯的原則，是一門高度抽象的學(xué)科。它的很多概念、思想、理論和方法都能在現(xiàn)實生活中找到原型。在介紹Fourier級數(shù)的產(chǎn)生時，教材給出了這樣一個問題，即“如何對兩端固定且能自由振動的弦振動現(xiàn)象進(jìn)行描述?”，并用它對相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行引領(lǐng)。為回答這一問題，教材分別對簡諧振動，直波和傳遞波，以及諧波的疊加等物理現(xiàn)象進(jìn)行了數(shù)學(xué)描述。比如，為了利用數(shù)學(xué)描述簡諧振動，作者首先假設(shè)有一個彈簧，其左端連著一個質(zhì)量為的物體，右端固定在墻上，將它們放置在水平的光滑平面上。然后，在彈簧處于平衡狀態(tài)（即彈簧無壓縮和拉伸）的時，建立以物體的質(zhì)心為原點的水平坐標(biāo)軸y。接下來，當(dāng)用外力將物體偏移初始狀態(tài)（平衡狀態(tài)）后釋放，則彈簧將呈現(xiàn)出簡諧振動。利用Hooke定律和Newton第一運動定律，建立簡諧運動方程

其中為彈簧系數(shù)。最后，給定初始條件，利用微分方程的理論，得到方程的解

這個過程是從現(xiàn)實中的一個物理現(xiàn)象出發(fā)，通過假設(shè)建立起數(shù)學(xué)方程來描述現(xiàn)象，最后利用數(shù)學(xué)知識來求解得到方程解的過程，就是數(shù)學(xué)建模過程。近些年來，廣大的高校數(shù)學(xué)教師達(dá)成了一個共識，那就是數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實際應(yīng)用的必要途徑和關(guān)鍵環(huán)節(jié)[5]。將數(shù)學(xué)建模的思想與方法融入大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革實踐中去，將可能使大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)改革呈現(xiàn)出一個新的面貌。

2.5以問題驅(qū)動推動創(chuàng)新教育和科學(xué)研究

任何一門學(xué)科的發(fā)展都離不開問題，也只有在提出問題和解決問題兩者相互促進(jìn)中不斷的前進(jìn)[6]。數(shù)學(xué)教學(xué)如果只是要求學(xué)生看例題、做習(xí)題、答考題，而不是讓學(xué)生主動地提出問題，那么最終結(jié)果是，數(shù)學(xué)教學(xué)與問題驅(qū)動分離，將會使得創(chuàng)新教育漸行漸遠(yuǎn)[3]。筆者研讀這本教材時發(fā)現(xiàn)該教材在每一章后都設(shè)置兩類習(xí)題: 練習(xí)題(exercises)和問題(problem(s))。設(shè)置練習(xí)題的目的是對學(xué)生在課后進(jìn)行一定量的數(shù)學(xué)基本訓(xùn)練，訓(xùn)練他們掌握相應(yīng)章節(jié)重要知識要點的基本概念，方法和技巧。它是一種傾向于對數(shù)學(xué)理論的熟悉和理解。設(shè)置課后的問題的目的則不僅僅停留在基本概念，方法和技巧訓(xùn)練這一層面，它更側(cè)重于深層次提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，需要學(xué)生能創(chuàng)造性地運用概念，方法和技巧來自我分析問題，解決問題的能力。因此，它實際上是一種研究性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)訓(xùn)練。有時，我們也稱這種課后問題為課后思考題。例如，在第二章習(xí)題中作者給出了三個問題，其中第一個問題是構(gòu)造在區(qū)間[0,1]上的Riemann可積函數(shù)，且該函數(shù)的不連續(xù)點構(gòu)成[0,1]的稠密子集，第三個問題是對Tauber定理的一個簡化。在第一個問題中，作者將其分為兩個小問題，并對這兩個問題進(jìn)行了條件限制。第一小問是限定這個Riemann可積函數(shù)單調(diào)有界，而第二小問則要求構(gòu)造的這個函數(shù)在[0,1]的任何一個子區(qū)間上都不單調(diào)。顯然，第二小問的難度要比第一小問大得多。但第一小問的解決過程又將給第二小問帶來一些解題線索。

雖然這些都是一些已知結(jié)論，但對于學(xué)生而言，卻是新鮮的。學(xué)生帶著這樣的問題去思考，反復(fù)錘煉自己掌握的知識與技能，這樣既開拓了學(xué)生的視野，又將學(xué)生“一不小心”帶入到了一個又一個的科學(xué)研究訓(xùn)練中。最終，學(xué)生解決這樣的問題，對于自身來說就是一種“創(chuàng)新”。當(dāng)然，這種“創(chuàng)新”并不是真正意義上的創(chuàng)新，但對學(xué)生而言確實一種具有開創(chuàng)意義的創(chuàng)新。它是創(chuàng)新的一個必經(jīng)階段。事實上，如果學(xué)生的思維能從思考題題目本身跳出來，再次進(jìn)行知識重構(gòu)和組合并大膽嘗試研究一些自己感興趣的東西。這種嘗試就是一種創(chuàng)新，因此，也將極大地推動學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

3　結(jié)束語

作為一本國外優(yōu)秀教材，《Fourier analysis:an introduce-tion》除了系統(tǒng)闡述Fourier 分析的精妙理論外，還呈現(xiàn)了作者所提倡的以問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)教育觀。本文以該教材利用問題設(shè)置來進(jìn)行安排教學(xué)內(nèi)容，從教學(xué)主旨，教學(xué)安排，促進(jìn)學(xué)生思考，理論聯(lián)系實際，創(chuàng)新教育和科學(xué)研究方面進(jìn)行了一些總結(jié)。但是，本文對于學(xué)生如何能提出正確的、積極的問題，教師如何有效引導(dǎo)學(xué)生思考去解決問題等方面并沒有涉及。我們將把這些作為今后的主要研究目標(biāo)和任務(wù)。

[1]M.A.Albanese and S.Mitchell.Problem-based learning:a review of literature on its outcomes and implementation issues[J].Academic Medicine Journal of the Association of American Medical Colleges,1993,(1):52-81.

[2]李大潛.關(guān)于大力提倡和推動以問題驅(qū)動的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究的建議[J].中國科學(xué)基金,2006,(4):223-226.

[3]張奠宙,張蔭南.新概念:用問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)教學(xué)[J].高等數(shù)學(xué)研究,2004,(3):8-10.

[4]E.M.Stein and R.Shakarchi.Fourier analysis:an introduction [M].Princeton:Princeton University Press,2003.

[5]李大潛.漫談大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)與方法[J].中國大學(xué)教學(xué),2009,(1):7-10.

[6]劉春梅.以問題驅(qū)動化生類專業(yè)高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)[J].湖南科技學(xué)院學(xué)報,2014,(5),19-21.

（責(zé)任編校：何俊華）

2017－05－16

劉春梅（1981－），女，山西五臺人，現(xiàn)為湖南科技學(xué)院理學(xué)院教師，副教授，博士，研究方向為偏微分方程數(shù)值解和數(shù)學(xué)教學(xué)。

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