☉江蘇省啟東市匯龍中學(xué) 樊 勇

例談均值不等式的運(yùn)用

☉江蘇省啟東市匯龍中學(xué) 樊 勇

不等式內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn).教學(xué)中，我們跟學(xué)生一再強(qiáng)調(diào)利用均值不等式求最值必須滿足三個(gè)條件“一正二定三相等”，但教學(xué)效果欠佳.究其原因，“用均值不等式求最值”，是“均值不等式”和“最值”兩個(gè)內(nèi)容的交匯點(diǎn)，對學(xué)生的綜合能力要求較高.學(xué)生首先要有這兩個(gè)內(nèi)容的儲備，才可以自然過渡.事實(shí)上，很多學(xué)生沒這種認(rèn)識，他們大多簡單地把“用均值不等式求最值”看成一個(gè)知識點(diǎn).很多學(xué)生不理解用均值不等式求最值三個(gè)條件中的“定值”，他們解題一般都是嚴(yán)格按照“一正二定三相等”的步驟.下面通過幾例說明均值不等式的運(yùn)用及注意事項(xiàng).

一、解題時(shí)常用結(jié)論

（5）對兩個(gè)正數(shù)a，b，若它們的和是定值S，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，積P=ab有最大值；若它們的積P=ab為定值，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)它們的和S取得最小值

二、題型分析

題型一：a＞0，b＞0，a+b≥2直接使用

例1已知x＞0，y＞0，2x+y=1，則xy的最大值為____________.解析：因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)2x=y時(shí)等號成立，即，解得當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)等號成立.

題型二：兩次使用不等式

例2已知a＞b＞0，求的最小值.

解析：，當(dāng)且僅當(dāng)b=a-b，即a=2b時(shí)，等號成立.

評注：兩次使用重要不等式時(shí)，注意兩次的等號能否同時(shí)取得到，若取不到，則本題不能2次使用不等式.

題型三：“添項(xiàng)”構(gòu)造使用不等式的條件

例3當(dāng)x＞2時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

解析：因?yàn)閤＞2，所以x-2＞0，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)即x=3時(shí)，等號成立.

題型四：“乘項(xiàng)”構(gòu)造使用不等式的條件

例4已知x＞0，y＞0，且求x+y的最小值.

誤解：所以xy≥36，當(dāng)且僅當(dāng)即y=9x時(shí)，等號成立.

誤解原因：兩次等號成立的條件不能同時(shí)成立，故結(jié)果有誤.

正解：因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)即y=3x時(shí)，等號成立，所以x+y的最小值為16，此時(shí)x=4，y=12.

三、均值不等式失效時(shí)處理策略

例5已知x+y=-1，且x＜0，y＜0，求的最小值.

策略一：令xy=t，則0＜t＜1，又因?yàn)閤+y=-1，所以y=-1-x，代入xy=t得x2+x+t=0.

策略二：因?yàn)閤+y=-1，且x＜0，y＜0，所以設(shè)，即，再令為此等價(jià)構(gòu)造新函數(shù)，求它的最小值.以下同策略一.

策略三：由x+y=-1得y=-1-x，又因?yàn)閥＜0，即-1-x＜0，得-1＜x＜0，所以為此等價(jià)構(gòu)造新函數(shù)求其最小值.h′（x）=-1-得或x=（舍），故時(shí)，函數(shù)h（x）取得最小值否則無最小值），即的最小值為

當(dāng)均值不等式失效時(shí)，一般情況下，可以化為對勾函數(shù)，利用其單調(diào)性解決，也可考慮通過換元，把已知與結(jié)論聯(lián)系起來，等價(jià)轉(zhuǎn)化為一個(gè)新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解它.

反思高一新課教學(xué)或高三復(fù)習(xí)，老師要想學(xué)生學(xué)會用均值不等式求最值，首先要讓學(xué)生回顧最值的定義，讓學(xué)生知道題目求最值究竟是要得到什么，從而有意識地利用條件往需要的方向整理，否則學(xué)生只是生搬硬套“一正二定三相等”.高中數(shù)學(xué)大部分都是概念教學(xué)，先下定義，學(xué)生再用定義去辦事.從上面的例子看到，其實(shí)學(xué)生到最后都不是按定義辦事，而是按口訣辦事，口訣重在形式，到最后學(xué)生都學(xué)糊涂了.原因可能是我們強(qiáng)調(diào)定義的次數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于強(qiáng)調(diào)口訣的次數(shù).要改變這一現(xiàn)狀，我們要做到兩點(diǎn)，不能只看重學(xué)生的成績，更要教會學(xué)生思考.定義有時(shí)很抽象，但高中三年，如果我們一直強(qiáng)調(diào)，學(xué)生還是會慢慢地理解的.還有，強(qiáng)調(diào)口訣的前提請?jiān)偬嵋幌露x.“形式”方便記憶，但要在數(shù)學(xué)上走得更遠(yuǎn)，必須要理解“本質(zhì)”.