☉江蘇省溧陽市溧陽中學(xué) 楊珍輝

教學(xué)要注重思想方法的整合
——以函數(shù)思想為例

☉江蘇省溧陽市溧陽中學(xué) 楊珍輝

中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開解題，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)都是通過不斷解題獲得提升和增加的.在這一學(xué)習(xí)過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)更多是停留在問題的解決上，大多數(shù)學(xué)生是不會(huì)思考問題為什么這樣解，這樣的解決方式是通性通法還是誤打誤撞？浙江大學(xué)金蒙偉教授這樣評(píng)價(jià)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)：現(xiàn)在的教學(xué)總欠缺點(diǎn)兒一針見血的味道，在那里繞來繞去，教師把最核心的知識(shí)點(diǎn)和思想講透就輕松解決了，這說明我們教學(xué)還沒有能夠做到很好的梳理.

筆者可以這樣理解教授的話：從高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來說，中學(xué)數(shù)學(xué)是為其打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，主要是在運(yùn)算能力和思維發(fā)散方面，而不是在技巧和技能上要求過高，縱觀模擬卷和高考真卷，最大的不同在于模擬卷往往在技巧上的要求高之又高，而高考真題卻是樸實(shí)無華.這反映了我們的教學(xué)不能再拘泥于技能和技巧，要從知識(shí)的本質(zhì)和思想的深度上做出合適的調(diào)整，這樣的教學(xué)是有啟發(fā)的、有思維的、有導(dǎo)向的，這樣的教學(xué)是符合課程標(biāo)準(zhǔn)理念的，是對(duì)學(xué)生的將來發(fā)展負(fù)責(zé).本文以函數(shù)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用為切入點(diǎn)，結(jié)合案例談一談教學(xué)中思想方法的滲透.

一、教學(xué)亟需注重整合

眾所周知，當(dāng)下的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)主要是依賴這樣的套路：其一，用快速的節(jié)奏將必須的教材上完，因?yàn)檫M(jìn)度快導(dǎo)致不少學(xué)生難以跟上知識(shí)的進(jìn)展，大多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)中處于一種“半成熟”狀態(tài)，更讓筆者困惑的是：現(xiàn)在不少教師的一般教學(xué)過程變得更為簡(jiǎn)單，新課更多的講題型、講解題技巧，復(fù)習(xí)課用各種教輔資料進(jìn)行反復(fù)訓(xùn)練；其二，用高三一整年的時(shí)間進(jìn)行反復(fù)訓(xùn)練，達(dá)到基本知識(shí)熟練的目的，但是對(duì)于難題教學(xué)并沒有仔細(xì)的思考和有效的校本化整合，屬于重復(fù)勞動(dòng)過度，有效開發(fā)整合太少.正是基于這兩方面的因素，學(xué)生學(xué)習(xí)非常勞累，獲得效果也比較低微.筆者認(rèn)為要使得教學(xué)，特別是復(fù)習(xí)教學(xué)更為高效，需要橫向縱向?qū)χR(shí)進(jìn)行開發(fā)，將教學(xué)資源進(jìn)行有效整合，這是提高效率最好的辦法.筆者以數(shù)學(xué)思想一課為例進(jìn)行校本化整合，首先關(guān)注選材：

選材：（1）方程（log4x）2+alog4x+4-2a=0在［16，+∞）上有兩不等實(shí)根，求a的取值范圍.

（2）對(duì)于任意α∈［-π，π］，不等式cos2α+（4-a）sinα+2a-5＜0恒成立，求a的取值范圍.

（3）等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=m，前m項(xiàng)和Sm=n（m≠n），求前m+n項(xiàng)的和Sm+n.

意圖：筆者在一次數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)過程中，以函數(shù)思想為例進(jìn)行了課程校本化設(shè)計(jì)，即做到了針對(duì)學(xué)情的有效開發(fā)，更是通過不同問題的展示，將函數(shù)思想方法融入到教學(xué)中，提升學(xué)生對(duì)于問題的理解和深思.筆者選擇的三個(gè)基本問題涉及方程問題、不等式問題、數(shù)列問題.這些問題在基本處理方式上都有各自獨(dú)立的基本處理方式，筆者選擇這些問題的目的，是引導(dǎo)學(xué)生思考如何在中學(xué)數(shù)學(xué)最為核心的知識(shí)架構(gòu)上解決問題，這才是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最需要向?qū)W生滲透的知識(shí)本質(zhì)——函數(shù).

二、方程問題中的函數(shù)思想

方程與函數(shù)本身就是一個(gè)整體，但是不少學(xué)生總是在這里缺乏足夠的聯(lián)系思考，方程問題一味的方程解決，不善于利用函數(shù)思想去思考、辯解，導(dǎo)致問題解決效率低下.如方程根與系數(shù)關(guān)系中不少類似的問題用方程角度是非常煩瑣的，比如x2+mx-2m+1=0的兩根分別分布在區(qū)間（-1，0）和（1，2）內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.用函數(shù)思想就比較輕松的建立這種聯(lián)系，獲得了高效的解決.讓我們回頭思考選材中的第一個(gè)問題：方程（log4x）2+alog4x+4-2a=0在［16，+∞）上有兩不等實(shí)根，求a的取值范圍.

分析：站在系統(tǒng)的高度，首先跟學(xué)生一起思考問題解決的方向?yàn)槭裁词呛瘮?shù)思想的介入，如何讓函數(shù)思想介入成為解決問題的主流和必然.不妨分解問題來看：第一步，顯然是換元思想的介入，關(guān)于x的方程可用換元的思想，設(shè)log4x=t，則方程就等價(jià)于t2+at+4-2a=0在t∈［2，+∞）上有不同兩解；第二步，根與系數(shù)的關(guān)系利用函數(shù)模型解決成為一種常態(tài)，所以等價(jià)于函數(shù)f（t）=t2+at+4-2a有兩個(gè)大于等于2的零點(diǎn)，則需滿足解得

不難發(fā)現(xiàn)，這里函數(shù)思想的滲透是一種必然趨勢(shì)，這是因?yàn)閾Q元之后的問題是方程問題，而方程是函數(shù)的特殊情形，因此用函數(shù)思想解決本問題是水到渠成的事.

三、不等式問題中的函數(shù)思想

不等式與函數(shù)也是緊密聯(lián)系的，從初中學(xué)習(xí)的一元二次方程、一元二次不等式以及二次函數(shù)之間緊密的聯(lián)系可知，不等式問題的解決中全面滲透著函數(shù)思想，將不等式問題轉(zhuǎn)換為函數(shù)問題是解決問題的常用方法.以上述設(shè)計(jì)問題為例：對(duì)于任意α∈［-π，π］，不等式cos2α+（4-a）sinα+2a-5＜0恒成立，求a的取值范圍.

分析：要解決本題，首先思考的正是換元角度的介入，設(shè)cosα=x，α∈［-π，π］，則x∈［-1，1］，原題就等價(jià)于對(duì)于任意x∈［-1，1］，不等式x2+（a-4）x+4-2a＞0恒成立，求a的取值范圍.這一步是學(xué)生基本能想到的.接下去的問題涉及二次不等式恒成立問題的處理，請(qǐng)學(xué)生思考如何處理二次不等式.教師引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，并利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值或者變參分離為a＞f（x）max或a＜f（x）min解題.

解法1：（利用函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化為最值求解）可令函數(shù)f（x）=x2+（a-4）x+4-2a，題意等價(jià)于f（x）min＞0，x∈［-1，1］，函數(shù)

綜上得a＜1.

解法2：（利用二次函數(shù)圖像特點(diǎn)及二次方程根的分布）函數(shù)f（x）=x2+（a-4）x+4-2a=（x-2）（x+a-2）的兩根為2和2-a，因?yàn)槎魏瘮?shù)開口向上，所以只需f（x）＜0的解集與［-1，1］的交集為空集即可，則x2=2-a＞1，即a＜1.

解法3：（參變分離）x2+（a-4）x+4-2a＞0?a（2-x）＜x2-4x+4，因?yàn)閤∈［-1，1］，則2-x＞0，則解決該函數(shù)最小值），易得2-x的最小值為1，所以a＜1.

不難發(fā)現(xiàn)，該不等式恒成立問題的處理是比較常見的轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)問題，從問題的解決來看，筆者將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，這是函數(shù)思想貫穿于知識(shí)始終的體現(xiàn)，不同的是三種解決方式體現(xiàn)了函數(shù)思想介入后不同函數(shù)模型的使用，用解法1的二次函數(shù)模型是常態(tài)，但是需要分類討論思想幫助；解法2利用了函數(shù)的零點(diǎn)，其難度在于學(xué)生自身是否善于觀察；解法3是隨著函數(shù)思想的深入，最受學(xué)生歡迎的參變分離方式，該方式研究的函數(shù)是確定的，因此最值的求解自然也就簡(jiǎn)單多了.在不等式中滲透函數(shù)思想，成為函數(shù)思想方法教學(xué)中較為主導(dǎo)的方向.

四、數(shù)列問題中的函數(shù)思想

數(shù)列的本質(zhì)恰恰是函數(shù)，因此數(shù)列問題往往可以從函數(shù)角度切入，而且函數(shù)思想的運(yùn)用大大簡(jiǎn)化了數(shù)列運(yùn)算的量，從而獲得了較為簡(jiǎn)單的計(jì)算方式.以上述選擇的問題為例：等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=m，前m項(xiàng)和Sm=n（m≠n），求前m+n項(xiàng)的和Sm+n.

分析：本題對(duì)于一般學(xué)生而言，基本量的運(yùn)算思路是不言而喻的，但是學(xué)生往往難以算到最后的狀態(tài)，究其原因是基本量a1和d的計(jì)算稍顯煩瑣，導(dǎo)致了不少學(xué)生無法理清之間的關(guān)系，從函數(shù)思想的角度來說，等差數(shù)列求和公式的本質(zhì)是一種特殊的函數(shù)模型，有了這一層面的深刻理解，函數(shù)思想解決本問題也是自然而然的事.等差數(shù)列求和公式，即用二次函數(shù)的觀點(diǎn)來看待.利用函數(shù)思想，理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn滿足的關(guān)系，從函數(shù)的角度而言，是必過（0，0）點(diǎn)的二次函數(shù)，借此突破高效省事.設(shè)Sn=An2+Bn（n∈N*），則

還有諸如等比數(shù)列的函數(shù)模型是與指數(shù)函數(shù)休戚相關(guān)，即Sn=A+B·qn且A+B=0，還有諸如an+1=pan+f（n）中構(gòu)造必需根據(jù)函數(shù)f（n）模型來確定等，這些扎實(shí)的基本知識(shí)鑄造了函數(shù)思想的形成，有助于學(xué)生在后續(xù)問題解決過程中獲得更好的體驗(yàn)，從而形成知識(shí)和思想方法的統(tǒng)一.

總之函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的知識(shí)板塊，函數(shù)思想是思想方法中最根本的思想方法，因此在教學(xué)中切勿泛泛而談，要以有選擇的試題類型進(jìn)行思想方法的教學(xué)，將不同問題進(jìn)行有效的組合，讓學(xué)生體會(huì)這種思想方法的滲透成為新一輪教學(xué)校本化研究的導(dǎo)向.

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