新疆烏魯木齊市第八中學 李昌成 (郵編：830002)

由一道教師業(yè)務考試題引發(fā)的思考

新疆烏魯木齊市第八中學 李昌成 (郵編：830002)

2017年10月14日,新疆進行了第三屆教學能手專業(yè)測試.其中一道解析幾何小題引起了準教學能手們的關注.我做了一些思考,或許有拋磚引玉的功效,與大家分享于此.

1 題目

2 分析

這道題之所以被關注,可能是因為點P位置不確定,數量關系不明確.我們可以判斷點P位于第二或三象限,絕不可能在第一、四象限.由于雙曲線具有對稱性,不失一般性,我們選定點P在第二象限,這樣解決了位置問題.至于數量關系,可以從不同角度挖掘,當然也就增加了難度,也是本題的核心.眾所周知,解析幾何的本質是用代數方法研究圖形的幾何性質.因此,本題可以從代數和幾何兩個角度研究本題.

3 解法探究

3.1 從代數的角度入手

解法1 從曲線與方程的關系入手(點在曲線上,點滿足曲線的方程),題目中已知點P在曲線上,利用曲線與方程的關系求解是自然而然的事,完全符合思維邏輯.我們可以利用等面積法,尋找點P坐標.設點P(x0,y0)根據焦點三角面積公式和直角三角形面積公式,可以得借助PF1與漸近線平行得,所以代入雙曲線方程得b＝2a,e＝

解法2 本題還可以利用相似三角形找點P坐標,設點P(x0,y0),由相似三角形得,得b＝2a,e＝5.若再去尋找縱坐標,走解法1的路,就把問題弄復雜了.

這種利用曲線與方程的關系,求解離心率的題,在高考中比比皆是.有圖象的支撐,容易找到解題思路,當然也有一定的運算量,是訓練解析幾何基本功的好素材,我們變形再練練.

11的離心率為( ).(請讀者完成)

解法3 本題明顯在做焦半徑的文章,于是順水推舟,利用焦半徑作答,也不失為一個好辦

法.設點P(x0,y0),由相似三角形得,在Rt△F1PF2中,結合焦半徑公式和勾股定理得 (2c)2＝(－a－ex0)2＋(a－ex0)2,e＝5.

從上面解答中可以發(fā)現x0的表現形式有多種,每種運算也是不同的,甚至出現夭折現象,代數運算能力決定結果,或許這算是解析幾何的一大特色,不一樣的選擇,不一樣過程,展示不一樣的水平.再變式練練.

3.2 從幾何的角度入手

如果說上面的幾種解法都有大小不等的運算量,會有運算失誤的可能,那么從幾何的角度思考就非常有必要.我們研究平行、垂直,都有代數(向量)、幾何兩套辦法.它們有異曲同工之妙.解析幾何本質也是幾何,從幾何入手應該是一種常態(tài).

解法5 從雙曲線的性質入手,雙曲線的焦點到漸近線的距離為b,即 NF2＝b,由中位線知PN ＝b,PF2＝2b,以及 ON＝a,

PF1＝2a,再由雙曲線的定義知,PF2－

PF1＝2a,所以 PF1＝2b－2a,于是2b－2a＝2a,所以b＝2a,e＝ 5.

這種兩種方法,均從幾何角度入手,巧妙的避開了運算,當然增加了思維量.思維代替了運算,思維提高了解題的品質,思維也增加了解題的安全系數,值得提倡.靈活運用幾何知識解題.

4 解后思考

求離心率通常可以從代數和幾何的角度入手,但是方法不同,思維量不同,運算量不同,可以說不同的方法給帶來的“麻煩”不同,解析幾何是幾何,用幾何辦法相對簡潔.另外,求離心率本質就是找a、c的關系,這是這類題的難點所在.往往a、c關系不明確,需要我們去尋找,去建立,當然入口不唯一,但是不容易找到最簡潔的一個.從以上研究發(fā)現,在本題中,解法2、3、4、5均不錯,第一種解法最容易想到,但實際上最麻煩.我們不僅要教會學生解題,更要注意教會學生因題而異,選擇最簡辦法.這是質量提升工程,非一日之功.

離心率的求解通常有兩種,一種是求值,一種是求范圍.求值的方法有：(1)找到a、c的值,利用e＝求解;(2)構建a、c的齊次式,通常為一次齊次或二次其次,在構造e＝整體求解;(3)利用離心率的定義和圓錐曲線的定義求解;(4)利用幾何關系求解;(5)利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解.求范圍通常是建立關于e不等式,求e的范圍,此類問題需建立不等式,往往更難.

求離心率的問題是一個綜合問題,牽涉的面比較廣,用到的知識比較多,可用的技巧也豐富,教無定法,學無訣竅,我們只有多思考,多總結,多實戰(zhàn),方可做到得心應手.

1 張俊.一道期末試題的解答與思考[J].中學數學教學,2017(4)：43-46

2017-10-20)