江蘇省姜堰第二中學(xué) 朱傳美 (郵編:225500)

增元
——超越方程(組)中的“消元法”

江蘇省姜堰第二中學(xué) 朱傳美 (郵編:225500)

當(dāng)一元方程f(z)＝0的左端函數(shù)?(z)不是z的代數(shù)式時,稱之為超越方程,這類方程除極少數(shù)情形(如簡單的三角方程)外,只能近似地數(shù)值求解．含有超越方程的方程組稱之為超越方程組．在函數(shù)的綜合題中,我們經(jīng)常會遇到超越方程組,往往因為無法消元而不能將試題做到底,筆者在文[1]指出增元能較好地處理某些多元最值問題,經(jīng)探究發(fā)現(xiàn):增元同樣能較好地處理超越方程組問題．

例1設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)＝lnx－ax．

(1)若a＝2,求曲線y＝f(x)在P(1,2)處的切線方程;

(2)若f(x)無零點,求實數(shù)a的取值范圍;

(3)若f(x)有兩個相異零點x1、x2,求證:x1·x2＞e2．

分析此題為函數(shù)綜合題,前兩小題比較常歸,第(3)小題就有點不好辦了,由f(x)有兩個相異零點x1、x2,我們會得到兩個超越方程lnx1－ax1＝0,lnx2－ax2＝0,消元就成了大問題,因為無法一下子將其轉(zhuǎn)化為一元問題,所以很難進(jìn)行到底．對學(xué)生的思維能力提出了一定的挑戰(zhàn),這里我們通過“恒等變形,等價轉(zhuǎn)化,適當(dāng)增元”的策略進(jìn)行了有效的處理．

解(1)當(dāng)a＝2時,切線方程為x＋y＋1＝0;

(3)設(shè)x1＞x2＞0,因f(x1)＝0,f(x2)＝0,所以lnx1－ax1＝0,lnx2－ax2＝0．

從而lnx1＋lnx2＝a(x1＋x2),lnx1－lnx2＝a(x1－x2)．

故函數(shù)g(t)是(1,＋∞)上的增函數(shù)．

評析我們從兩個超越方程lnx1－ax1＝0,lnx2－ax2＝0出發(fā),進(jìn)行了有效的恒等變換,將待證不等式等價轉(zhuǎn)化為經(jīng)過適當(dāng)增元,令從而將二元問題降為一元問題,構(gòu)造新的函數(shù)后,問題迎刃而解．

例2(2016年南京一模)已知函數(shù)在x＝0處的切線方程為y＝x．

(1)求a的值;

(3)若函數(shù)g(x)＝lnf(x)－b的兩個零點為x1、x2,試判斷的正負(fù),并說明理由．

分析此題的第三小題給出了一個探索性問題,首先要判斷,然后再給出證明,同樣不好應(yīng)付,甚至感覺比例1的第三小題還要難,這就需要我們對試題進(jìn)行解剖,好好探究此題真正的意圖,當(dāng)然,增元同樣是關(guān)鍵策略．

解(1)a＝1;

(2)實數(shù)k的取值范圍是[0,e－1);

證明由題意知函數(shù)g(x)＝lnx－x－b,所以

易得函數(shù)g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減．

因為x1、x2是函數(shù)g(x)的兩個零點,所以相減得

評析由于函數(shù)g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以要判斷的正負(fù),實質(zhì)上就是要判斷與1的大小關(guān)系,這與例1的第三小題就一致了,由超越方程組消去 后,得到一個超越方b程,令很自然地引入新的變量t,從而將二元問題降為一元問題．

例3已知函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù))

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)是否存在正實數(shù)x使得f(1－x)＝f(1＋x),若存在,求出x,若不存在,請說明理由;

(3)若存在不等實數(shù)x1、x2,使得f(x1)＝f(x2),證明:

解(1)f(x)在 (－∞,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減．

(2)由(1)知,當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)∈(0,1);當(dāng)x∈ (1,＋∞)時,f(x)∈ (0,1)

所以若存在正實數(shù)x使得f(1－x)＝f(1＋x),則必有x∈(0,1)．

因x∈(0,1),所以F′(x)＞0．

則F(x)在 (0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,F(x)＞F(0)＝0．

所以f(1＋x)＞f(1－x)恒成立．

所以不存在正實數(shù)x使得f(1－x)＝f(1＋x)．

(3)因f(x1)＝f(x2),所以 由(1)可設(shè):0＜x1＜1＜x2則

令φ(t)＝(t－1)2＋2(t－1)－2tlnt,

φ′(t)＝2(t－1)＋2－2(1＋lnt)＝2(t－1－lnt)＞0,所以φ(t)＞φ(1)＝0．

所以h′(t)＞0,h(t)在 (1,＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．

超越方程本就是塊難啃的骨頭,放在中學(xué)數(shù)學(xué)中,更讓廣大師生束手無策,當(dāng)然,兵來將擋,水來土掩,我們總要尋找問題的突破口,通過合適的方式或途徑加以解決,這是拓寬我們數(shù)學(xué)思維能力的好方法．

由此及彼能較好地打開數(shù)學(xué)思維,它能帶領(lǐng)我們由一個蘑菇的發(fā)現(xiàn)得到無數(shù)個蘑菇的發(fā)現(xiàn)．本文由增元在多元最值問題中的成功應(yīng)用而聯(lián)想到增元在超越方程組中的應(yīng)用,只是拋磚引玉．當(dāng)然,探索與發(fā)現(xiàn)總會存在缺憾,留待感興趣的讀者作更全面更深入的研究．

1 朱傳美．山重水復(fù)無元減 柳暗花明在增元[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊(上旬刊),2016(10)

2017-07-06)